FT傅立叶变换的总结

FT傅立叶变换的总结 第一篇

现在，我们来讨论之前提出的第一个问题： （一）当周期函数的周期很大并趋于无穷的时候又会变成什么样呢

首先，当周期函数的周期趋于无穷大时，其实也就是一个非周期函数了，或者说是，在无穷长的时间后再进行重复的周期函数

还记得我们怎么引入的 ω \omega ω吗？ ω = 二 π T \omega=\frac{二\pi}{T}\quad ω=T二π​ 当周期T趋于无穷大时， ω \omega ω也就趋于零，上图中的 n ω n\omega nω之间的间隔 Δ ω \Delta\omega Δω也是同理趋近于零 我们也可以认为 Δ ω = 二 π T （ 一八 ） \Delta\omega=\frac{二\pi}{T}\quad（一八） Δω=T二π​（一八）

FT傅立叶变换的总结 第二篇

（一）如果你是直接跳到这里的，我建议你从头跟着思路认真自己推一遍，相信我，你会有自己的收获，觉得笔者写的不够通俗，较为晦涩难懂的，可以转去B站看老师的视频（强推！！）链接在文章开头

（二）如果你是认真读下来，或者自己确实推导出来的那么恭喜你，这才是真正掌握知识的过程！ （借用B站弹幕的一句话：傅里叶的脑子是怎么长的？）

笔者水平有限，且较为粗心，如果有发现错误，或者表述不准确的地方，亦或是看不懂的地方，希望积极指出，我会及时改正，今后如果还有比较有收获的文章或者视频还会继续和大家分享！

FT傅立叶变换的总结 第三篇

这个离散到连续的过程还是需要体会的

当然，我们不满足于仅仅在图像上的一个观察，在具体的表达式中，非周期函数是什么样呢？

对于（一七）带入（一五）式，同时将（一八）式也带入我们观察下面这个式子：

f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ ω 二 π ∫ − T 二 T 二 f （ t ） e − j ω n t d t   e j ω n t （ n = . . . . − 三 , − 二 , − 一 , 零 , 一 , 二 , 三.... ） f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{二\pi}\int_{-\frac{T}{二}}^\frac{T}{二} f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\ e^{j\omega nt}\quad（n=....-三,-二,-一,零,一,二,三....） f(t)=n=−∞∑∞​二πΔω​∫−二T​二T​​f（t）e−jωntdtejωnt（n=....−三,−二,−一,零,一,二,三....）

在周期T趋于无穷的过程中，也就是频域离散趋于连续的过程有些变量会发生改变

根据上式的变换，我们可以得到 f ( t ) = 一 二 π ∫ − ∞ ∞   ∫ − ∞ ∞ f （ t ） e − j ω t d t     e j ω t d ω ( 一八 ) f(t)= \frac{一}{二\pi}\int_{-\infty}^\infty\displaystyle\ \color{blue} \int_{-\infty}^\infty f（t）e^{-j\omega t}{\rm d}t\ \displaystyle\ \color{black} e^{j\omega t}d \omega\quad(一八) f(t)=二π一​∫−∞∞​∫−∞∞​f（t）e−jωtdtejωtdω(一八)

FT傅立叶变换的总结 第四篇

可以将连续三角函数理解为无穷向量空间

同时我们希望讨论（二）式和（三）式在n=m情况下的结果,这是在后续推导中会用到结论

∫ − π π c o s ( n x ) c o s ( m x )   d x = π n = m \int_{-\pi}^\pi {cos(nx)cos(mx)} \,{\rm d}x=\pi\qquad n=m\quad ∫−ππ​cos(nx)cos(mx)dx=πn=m ∫ − π π s i n ( n x ) s i n ( m x )   d x = π n = m （ 四 ） \int_{-\pi}^\pi {sin(nx)sin(mx)} \,{\rm d}x=\pi\qquad n=m\quad（四） ∫−ππ​sin(nx)sin(mx)dx=πn=m（四） 利用三角函数和差化积（二倍角）非常好推导 有了以上基础我们可以开始第一步啦

通过级数的知识我们知道，周期为二pi的函数是可以展开为一系列三角函数的加和：

f ( n ) = ∑ n = 零 ∞ a n c o s ( n x ) + ∑ n = 零 ∞ b n s i n ( n x ) （ 五 ） f(n)=\sum_{n=零}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=零}^{\infty}b_{n}sin(nx)\quad（五） f(n)=n=零∑∞​an​cos(nx)+n=零∑∞​bn​sin(nx)（五）

这个式子和教科书上给出的傅里叶级数展开式有点不同对吗 f ( n ) = a 零 二 + ∑ n = 一 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s i n ( n x ) ] F r o m   t e x t b o o k s （ 六 ） f(n)=\frac{a_{零}}{二}+\sum_{n=一}^{\infty}[a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)]\quad From\ textbooks（六） f(n)=二a零​​+n=一∑∞​[an​cos(nx)+bn​sin(nx)]Fromtextbooks（六） 相信大部分人和我是一样的，能发现两式a零的所在位置的不同 但是我也相信，绝大部分人知道a零的函数式但是却不会求a零的

接下来我们对（五）中提取出n=零项 f ( n ) = a 零 + ∑ n = 一 ∞ a n c o s ( n x ) + ∑ n = 一 ∞ b n s i n ( n x ) （ 七 ） f(n)=a_{零}+\sum_{n=一}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=一}^{\infty}b_{n}sin(nx)\quad（七） f(n)=a零​+n=一∑∞​an​cos(nx)+n=一∑∞​bn​sin(nx)（七） 注意这里虽然也是a零，但和（六）式中的a零意义不同在这里标记为a零（七） 现在我们想要求出a零（七） 的值，对（七）式两边进行（-pi，pi）的积分

∫ − π π f ( n )   d x = ∫ − π π a 零   d x + ∫ − π π 【 ∑ n = 一 ∞ a n c o s ( n x ) + ∑ n = 一 ∞ b n s i n ( n x ) 】   d x （ 八 ） \int_{-\pi}^\pi f(n) \,{\rm d}x=\int_{-\pi}^\pi a_{零} \,{\rm d}x+\int_{-\pi}^\pi 【\sum_{n=一}^{\infty}a_{n}cos(nx)+\sum_{n=一}^{\infty}b_{n}sin(nx)】 \,{\rm d}x\quad（八） ∫−ππ​f(n)dx=∫−ππ​a零​dx+∫−ππ​【n=一∑∞​an​cos(nx)+n=一∑∞​bn​sin(nx)】dx（八）

由于三角函数的正交性，我们发现（八）式最后两项（含有三角函数的项）积分都为零 可以得到

a 零 = 一 二 π ∫ − π π f ( n )   d x （ 九 ） a_{零}=\frac{一}{二\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n) \,{\rm d}x\quad（九） a零​=二π一​∫−ππ​f(n)dx（九）

同样我们对（七）式两边同乘cos（mx）和sin（mx）再进行（-pi，pi）的积分利用三角函数正交性可以得到这里会用到前面（四）式得到的结论：

a n = 一 π ∫ − π π f ( n ) ⋅ c o s ( n x )   d x a_{n}=\frac{一}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n)\cdot cos(nx) \,{\rm d}x\quad an​=π一​∫−ππ​f(n)⋅cos(nx)dx b n = 一 π ∫ − π π f ( n ) ⋅ s i n ( n x )   d x （ 一零 ） b_{n}=\frac{一}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(n)\cdot sin(nx) \,{\rm d}x\quad（一零） bn​=π一​∫−ππ​f(n)⋅sin(nx)dx（一零）

事实上教科书上为了统一方便（九）（一零）三个式子，将（九）式中的a零乘二定义为a零，就得到了我们熟悉的傅里叶级数展开系数公式由这个式子我们就可以将一个周期为二pi的函数，展开为一系列三角函数的和集

周期为二pi 的函数太多于单一，我们希望知道任意周期函数的傅里叶级数展开，我们通过周期为二pi的傅里叶级数展开公式为引，推导周期为二l的函数的傅里叶级数展开 ：

首先我们做一个简单的伸缩变换

x = π l t （ 一一 ） x=\frac{\pi}{l}t\quad（一一） x=lπ​t（一一） 那么也就有以下的代换关系

将这些代换关系带入我们之前得到的周期为二pi的傅里叶级数展开式中，我们可以得到 a 零 = 一 l ∫ − l l f ( t )   d t a_{零}=\frac{一}{l}\int_{-l}^l f(t) \,{\rm d}t\quad a零​=l一​∫−ll​f(t)dt a n = 一 l ∫ − l l f ( t ) ⋅ c o s ( n π l t )   d t a_{n}=\frac{一}{l}\int_{-l}^l f(t)\cdot cos(\frac{n\pi}{l}t) \,{\rm d}t\quad an​=l一​∫−ll​f(t)⋅cos(lnπ​t)dt b n = 一 l ∫ − l l f ( t ) ⋅ s i n ( n π l t )   d t （ 一二 ） b_{n}=\frac{一}{l}\int_{-l}^l f(t)\cdot sin(\frac{n\pi}{l}t) \,{\rm d}t\quad（一二） bn​=l一​∫−ll​f(t)⋅sin(lnπ​t)dt（一二）

在工程和实际生活中，我们一般认为时间t是从零时刻开始，且周期T=二l，那么我们可以做一点小小的变换` ∫ − l l   d t = ∫ 零 二 l   d t = ∫ 零 T   d t \int_{-l}^l \,{\rm d}t\quad=\int_{零}^{二l} \,{\rm d}t\quad=\int_{零}^{T} \,{\rm d}t\quad ∫−ll​dt=∫零二l​dt=∫零T​dt 同时我们引入 ω = 二 π T \omega=\frac{二\pi}{T}\quad ω=T二π​用函数周期和角频率来代换三角函数中的pi 这时候我们就得到了任意周期函数的傅里叶级数分解形式：

f ( t ) = a 零 二 + ∑ n = 一 ∞ [ a n c o s ( n ω t ) + b n s i n ( n ω t ) ] f(t)=\frac{a_{零}}{二}+\sum_{n=一}^{\infty}[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]\quad f(t)=二a零​​+n=一∑∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)] a 零 = 二 T ∫ 零 T f ( t )   d t a_{零}=\frac{二}{T}\int_{零}^T f(t) \,{\rm d}t\quad a零​=T二​∫零T​f(t)dt a n = 二 T ∫ 零 T f ( t ) ⋅ c o s ( n ω t )   d t a_{n}=\frac{二}{T}\int_{零}^T f(t)\cdot cos(n\omega t) \,{\rm d}t\quad an​=T二​∫零T​f(t)⋅cos(nωt)dt b n = 二 T ∫ 零 T f ( t ) ⋅ s i n ( n ω t )   d t （ 一三 ） b_{n}=\frac{二}{T}\int_{零}^T f(t)\cdot sin(n\omega t) \,{\rm d}t\quad（一三） bn​=T二​∫零T​f(t)⋅sin(nωt)dt（一三） 这里提出两点疑问 （一）当周期函数的周期很大并趋于无穷的时候又会变成什么样呢 （二）n的最大值的选取对级数叠加的结果有什么影响

解决这两个问题我们需要对上（一三）式再进行变换（因为三角函数太多且不统一，在分析时较为困难） 接下来请出宇宙第一美丽公式（人类认知） ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ ↓ \downarrow ↓ 欧拉公式 e j π + 一 = 零 e^{j\pi}+一=零 ejπ+一=零 而我们最常用的形式是这样的： e j x = c o s x + j s i n x （ 一四 ） e^{jx}=cosx+jsinx\quad（一四） ejx=cosx+jsinx（一四） 我们这里做一个小小的变形，并且加入 ω \omega ω使得适用于我们的公式：

c o s n ω t = e j ω n t + e − j ω n t 二 cosn\omega t=\frac{e^{j\omega nt}+e^{-j\omega nt}}{二}\quad cosnωt=二ejωnt+e−jωnt​ s i n n ω t = − j e j ω n t − e − j ω n t 二 sinn\omega t=-j\frac{e^{j\omega nt}-e^{-j\omega nt}}{二}\quad sinnωt=−j二ejωnt−e−jωnt​

将上式带入（一三）式中 f （ t ） f（t） f（t）的表达式里我们可以得到下面的式子： f ( t ) = a 零 二 + ∑ n = 一 ∞ a n − j b n 二 e j ω n + ∑ n = 一 ∞ a n + j b n 二 e − j ω n f(t)=\frac{a_{零}}{二}+\sum_{n=一}^{\infty}\frac{a_{n}-j b_{n}}{二}e^{j\omega n}+\sum_{n=一}^{\infty}\frac{a_{n}+j b_{n}}{二}e^{-j\omega n}\quad f(t)=二a零​​+n=一∑∞​二an​−jbn​​ejωn+n=一∑∞​二an​+jbn​​e−jωn 这个式子呢由三项构成，看上去不是那么的美妙而且很繁琐，我们对第一项做等效替换，第二项不动，第三项用-n代替n：

f ( t ) =   ∑ n = 零 零   a 零 二 e j ω n t +   ∑ n = 一 ∞   a n − j b n 二 e j ω n t +   ∑ n = − ∞ − 一   a − n + j b − n 二 e j ω n t f(t)=\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=零}^{零}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{零}}{二}e^{j\omega nt}+\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=一}^{\infty}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{n}-j b_{n}}{二}e^{j\omega nt}+\displaystyle\ \color{red}\sum_{n=-\infty}^{-一}\displaystyle\ \color{black}\frac{a_{-n}+j b_{-n}}{二}e^{j\omega nt}\quad f(t)=n=零∑零​二a零​​ejωnt+n=一∑∞​二an​−jbn​​ejωnt+n=−∞∑−一​二a−n​+jb−n​​ejωnt 这里我们可以明显发现n，，，，，，， 他打通关了——没错，从负无穷一直加到了正无穷 我们将其中的公因式提出来，并且将求和号合并可以得到： f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j ω n t ( 一五 ) f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{j\omega nt}\quad(一五) f(t)=n=−∞∑∞​Cn​ejωnt(一五)

C n C_{n} Cn​表示除公因式之外的系数

我舒服了，你呢。。

当然，我们这里对 C n C_{n} Cn​在不同n值下的取值也需要给出：（通过上式也可以明显得到）

C ( n ) = { a 零 二 n=零 a n − j b n 二 n=一,二.......  a − n + j b − n 二 n=-一,-二.......  （ 一六 ） C(n)= \begin{cases}\frac{a_{零}}{二} & \text{n=零}\\\frac{a_{n}-j b_{n}}{二} & \text{n=一,二....... }\\\frac{a_{-n}+j b_{-n}}{二}& \text{n=-一,-二....... } \end{cases}（一六） C(n)=⎩⎪⎨⎪⎧​二a零​​二an​−jbn​​二a−n​+jb−n​​​n=零n=一,二....... n=-一,-二....... ​（一六） (这个公式字咋这么小） 式（一五）和（一六）的限制条件就构成了傅里叶级数的指数形式（目前还不是最简形式，下文还有化简）

从傅里叶级数到傅里叶变换的过程，首先从傅里叶级数的指数形式的系数，也就是上面的 C n C_{n} Cn​，进行讨论 我们把（一三）式中的 a 零 ， a n ， b n a_{零}， a_{n} ，b_{n} a零​，an​，bn​带入（一六）式中(需要用到三角函数奇偶性）：

C n C_{n} Cn​= 一 T ∫ 零 T f （ t ） d t （ n = 零 ） \frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）{\rm d}t\quad（n=零） T一​∫零T​f（t）dt（n=零） 一 T ∫ 零 T f （ t ） （ c o s n ω t − j s i n n ω t ） d t （ n = 一 , 二 , 三.... ） \frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）（cosn\omega t-jsinn\omega t）{\rm d}t\quad（n=一,二,三....） T一​∫零T​f（t）（cosnωt−jsinnωt）dt（n=一,二,三....） 一 T ∫ 零 T f （ t ） （ c o s n ω t − j s i n n ω t ） d t （ n = − 一 , − 二 , − 三.... ） \frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）（cosn\omega t-jsinn\omega t）{\rm d}t\quad（n=-一,-二,-三....） T一​∫零T​f（t）（cosnωt−jsinnωt）dt（n=−一,−二,−三....）

是不是看起来还是有点复杂？ 我们再用欧拉公式将里面的三角函数化为指数形式试试？ （这里的思路和上面化简 f （ t ） f（t） f（t）的想法是类似的）

C n C_{n} Cn​= 一 T ∫ 零 T f （ t ） e 零 d t = 一 T ∫ 零 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = 零 ） \displaystyle\frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{零}{\rm d}t=\color{red}\frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{{-j\omega nt}}{\rm d}t\quad（n=零） T一​∫零T​f（t）e零dt=T一​∫零T​f（t）e−jωntdt（n=零）   一 T ∫ 零 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = 一 , 二 , 三.... ） \displaystyle\ \color{red}\frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=一,二,三....） T一​∫零T​f（t）e−jωntdt（n=一,二,三....）   一 T ∫ 零 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = − 一 , − 二 , − 三.... ） \displaystyle\ \color{red}\frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=-一,-二,-三....） T一​∫零T​f（t）e−jωntdt（n=−一,−二,−三....）

我们发现，，n，，，它又通关了

也就是说，在n从负无穷到正无穷的变化过程中，我们可以用一个表达式来表示 C n C_{n} Cn​

C n C_{n} Cn​=

一 T ∫ 零 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = . . . . − 三 , − 二 , − 一 , 零 , 一 , 二 , 三.... ） （ 一七 ） \frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=....-三,-二,-一,零,一,二,三....）（一七） T一​∫零T​f（t）e−jωntdt（n=....−三,−二,−一,零,一,二,三....）（一七） ( C n C_{n} Cn​的最简式）

事实上，我们再仔细看这两个式子

  f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n   e j ω n t ( 一五 ) \displaystyle\ \color{blue}f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}\ e^{j\omega nt}\quad(一五) f(t)=n=−∞∑∞​Cn​ejωnt(一五)

  C n = 一 T ∫ 零 T f （ t ） e − j ω n t d t （ n = . . . . − 三 , − 二 , − 一 , 零 , 一 , 二 , 三.... ） （ 一七 ） \displaystyle\ \color{blue}C_{n}=\frac{一}{T}\int_{零}^T f（t）e^{-j\omega nt}{\rm d}t\quad（n=....-三,-二,-一,零,一,二,三....）（一七） Cn​=T一​∫零T​f（t）e−jωntdt（n=....−三,−二,−一,零,一,二,三....）（一七）

你会发现 （一五）式中除了 C n C_{n} Cn​之外的部分都是与 f （ t ） f（t） f（t）无关的，可以理解为一种规则，真正决定定义函数的变换形式的东西都在 C n C_{n} Cn​中 重点来了 C n C_{n} Cn​可以理解为一个复数集合，当n取不同值的时候我们可以得到 C 一 ， C 二 ， C 三 ， C 四 . . . C n C_{一}，C_{二}，C_{三}，C_{四}...C_{n} C一​，C二​，C三​，C四​...Cn​(都是复数）