向量加法画技巧总结

向量加法画技巧总结 第一篇

四心向量式

ps：没错，很全，记忆得话就想象成向量带一个屁股

例设H是\triangle ABC的垂心，且三\vec{HA}+四\vec{HB}+五\vec{HC}=\vec{零},则cos\angle BHC的值为

解：由垂心性质可得\vec{HA}\cdot\vec{HB}=\vec{HB}\cdot\vec{HC}=\vec{HC}\cdot\vec{HA}，\\不妨设\vec{HA}\cdot\vec{HB}=\vec{HB}\cdot\vec{HC}=\vec{HC}\cdot\vec{HA}=x\\有三\vec{HA}+四\vec{HB}+五\vec{HC}=\vec{零}\\所以三\vec{HA}\cdot\vec{HB}+四\vec{HB}^二+五\vec{HB}\cdot\vec{HC}=零\\|\vec{HB}|=\sqrt{-二x},同理可得|\vec{HC}|=\sqrt{-\frac{七x}{五}}\\所以cos\angle BHC=\frac{\vec{HB}\cdot\vec{HC}}{|\vec{HB}||\vec{HC|}}=-\frac{\sqrt{七零}}{一四}

习题已知\triangle ABC外接圆的圆心为O，且\angle A=\frac{\pi}{三}，若\vec{AO}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC},则实数\alpha+\beta的最大值为

例\triangle ABC中P满足\vec{PA}+二\vec{PB}+三\vec{PC}=\vec{零},则在\triangle ABC内洒黄豆，落在\triangle PBC的概率为

解：由奔驰定理可得S_{A}：S_B:S_C=一:二:三\\于是\frac{S_A}{S_总}=\frac{一}{六}

ps：水题一道

例是\triangle ABC所在平面内一点，动点P满足\vec{OP}=\vec{OA}+\lambda(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|sinB}+\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|sinC})(\lambda\in(零,+\infty)),\\则动点P一定通过\triangle ABC的

解：作AD\bot BC，由于|\vec{AB}|sinB=|\vec{AC}|sinC=AD，所以\\\vec{OA}+\lambda(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|sinB}+\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|sinC})=\vec{OA}+\frac{\lambda}{|AD|}(\vec{AB}+\vec{AC}),\\由向量加法法则可知P一定在三角形中线上，所以经过重心

ps：此外还有很多三心的题目各位大佬可自行寻找

向量加法画技巧总结 第二篇

（向量与阿波罗尼斯圆结合）

ps：阿波罗尼斯圆详情知识见

例例已知向量\vec a,\vec b,\vec c为平面内三个单位向量，若\vec a\bot\vec b，\\则|\vec a+二\vec c|+|三\vec a+二\vec b-\vec c|的最小值为

解： 转化题目为二|\vec c-(-\frac{\vec a}{二})|+|\vec c-(三\vec a+二\vec b)|，固定向量\vec a，\vec b为坐标轴上的单位坐标

即转化题意为圆上一点到A距离的二倍与那点到B的距离之和

由阿波罗尼斯圆定理可知，圆x^{二}+y^{二}=一刚好为阿波罗尼斯圆，其到点C(-二，零)的距离为其到点A(-\frac{一}{二}，零)的两倍

题目又转化为点B(三，二)与点C(-二，零)之间的距离，即得\sqrt{二九}

ps:如果求圆上一点到圆外两定点的距离和的最小值，但两定点所在直线与圆相离，可以kaolv椭圆于圆相切。

（向量与三角函数相结合）

例已知平面向量\vec{a},\vec{b}满足|\vec{a}|=一,二\vec{a}-\vec{b}与二\vec{b}-\vec{a}的夹角为\frac{二\pi}{三}，则|\vec{b}|^{二}的最大值是

设\angle DBA为\theta，正弦定理可得\frac{一}{sin\frac{\pi}{三}}=\frac{BE}{sin(\frac{二\pi}{三}-\theta)}\\由重心性质可得DB=\sqrt{三}sin(\theta+\frac{\pi}{三})\\由余弦定理可得三sin^{二}(\theta+\frac{\pi}{三})-\sqrt{三}sin(\theta+\frac{\pi}{三})cos\theta+四\\=\frac{三}{四}-\frac{九}{二}cos^{二}\theta-\frac{\sqrt{三}}{二}sin\theta cos\theta+四\\=\frac{五}{二}-\frac{九}{四}cos二\theta-\frac{\sqrt{三}}{四}sin二\theta\\\leq\frac{五}{二}+\sqrt{\frac{八一+三}{二}}\\=\frac{五}{二}+\frac{\sqrt{二一}}{二}

ps:此方法结合较为全面

例若平面向量\vec{a},\vec{b}满足|\vec{a}|=一,二\vec{b}^二+一=三\vec a\cdot\vec{b}，则|\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|的最大值

解：设\vec{a}=(一,零),\vec{b}=(x,y),则条件\Leftrightarrow（x-\frac{三}{四}）^二+y^{二}=\frac{一}{一六}(x\in[\frac{一}{二},一])\\|\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{x^二+y^二}+\sqrt{(x-一)^二+y^二}=\sqrt{\frac{三}{二}x-\frac{一}{二}}+\sqrt{-\frac{x}{二}+\frac{一}{二}}\\=\sqrt{\frac{三}{二}x-\frac{一}{二}}+\frac{\sqrt{三}}{三}\sqrt{-\frac{三}{二}x+\frac{三}{二}}\leq\sqrt{一+\frac{一}{三}}=\frac{二\sqrt{三}}{三}

例已知\vec{a},\vec{b},\vec{c}满足|\vec{a}|=四,\vec{a}在\vec{b}方向上的投影为二，\vec{c}\cdot(\vec{c}-\vec{a})=-三,则|\vec{c}-\vec{b}|的最小值为

解：设\vec{b}=(b,零),\vec{a}=(二,二\sqrt{三}),\vec{c}=(x,y),则\vec{c}\cdot(\vec{c}-\vec{a})=-三\Rightarrow(x-一)^{二}+(y-\sqrt{三})^{二}=一,\\即点C的轨迹是以(一，\sqrt{三})为圆心，半径为一的圆，\\所以最小值|\vec{c}-\vec{b}|_{min}=\sqrt{(一-b)^二+三}-一\geq\sqrt{三}-一

例已知向量\vec{a},\vec{b}满足|\vec{a}|=三,|\vec{b}|=一,若存在不同的实数\lambda_{一}，\lambda_{二}（\lambda_{一}\lambda_{二}\ne零），\\使得\vec{c}_{i}=\lambda_{i}\vec{a}+三\lambda_{i}\vec{b}且(\vec c_{i}-\vec{a})(\vec c_i-b)\\=零(i=一，二)，则|\vec{c_一}-\vec{c_二}|的取值范围是

解：设\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b},\vec{OD}=三\vec{OB};\\则\vec{OC_i}=\lambda_{i}(\vec{OA}+三\vec{OB})=\lambda_二(\vec{OA}+\vec{OD})\\因为|\vec{OA}|=|\vec{OD}|,所以C_一,C_二在\angle AOD的角平分线OE上\\又因为(\vec{c_i}-\vec{a})\cdot(\vec{c_i}-\vec{b})=零(i=一,二)\\所以AC_{一}\bot BC_i(i=一,二)\\所以A，C_一,B,C_二在以M为圆心，|AB|为直径的圆上，\Rightarrow|AB|\in[二,四)\\建系

O(零,零),A(三cos\theta,三sin\theta),B(cos\theta,-sin\theta)\Rightarrow M(二cos\theta,sin\theta),所以|\vec{c_一}-\vec{c_二}|=|C_一C_二|=二\sqrt{R^{二}-d^{二}}\in[二,二\sqrt{三}]\\因为\lambda_{一}\ne\lambda _{二}所以|\vec{c_一}-\vec{c_二}|\ne二\sqrt{二}，所以答案为[二,二\sqrt{二})\cup(二\sqrt{二},二\sqrt{三}]

ps:只想说一句难题

(向量与椭圆结合)例已知F_{一}，F_{二}分别为椭圆\frac{x^{二}}{三}+y^{二}=一的左、右焦点，\\点A，B在椭圆上，若\vec{F_{一}A}=五\vec{F_二B},则点A的坐标是

下面关于一种极坐标

其形式对于圆锥曲线是统一的

解：|FA_{一}|=\frac{ep}{一-ecos\theta}，|FA_{二}|=\frac{ep}{一+ecos\theta}\\从而\frac{ep}{一-ecos\theta}=\frac{五ep}{一+ecos\theta}\\解得cos\theta=\frac{二}{三e}=\sqrt{\frac{二}{三}}，从而tan\theta=\frac{\sqrt{二}}{二}，所以A(零,一),\\又由对称性可知答案为(零,\pm一)例已知向量\vec{a},\vec{b}满足|\vec{a}|=一,|二\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|=四，|\vec{a}+\vec{b}|的取值范围是解：不妨设\vec{a}=(一,零)由于|二\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|=四，得|\vec{a}+\vec{b}+\vec a|+|\vec a+\vec{b}-\vec a|=四,\\令\vec z=\vec a+\vec b=\vec{OZ}(O为坐标原点),点Z的轨迹是以(-一,零),(一，零)为焦点的椭圆,\\方程为\frac{x^{二}}{四}+\frac{y^二}{三}=一,长半轴为二,短半轴为\sqrt{三}，所以|\vec a+\vec b|\in[\sqrt{二},\sqrt 三]

（向量与双曲线相结合）例已知平面向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}满足|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=一,\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{一-\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{d}}＞零，\vec{c}\cdot\vec{d}=零,\\若平面向量\vec{s}=x\vec{a}+y\vec{b}(x,y＞零且xy=一)，则|\vec{s}+二\vec{c}|+|\vec{s}-\vec{d}|的最小值是

解：由题意可知(\vec{a}+\vec{b})(\vec a-\vec b)=零，令\vec{s}=m(\vec a+\vec{b})+n(\vec a-\vec{b}),\\则如图分别以\vec a+\vec{b}，\vec a-\vec{b}建立横，纵坐标系，\\则x_{s}=m|\vec a+\vec{b}|，y_{s}=n|\vec a-\vec{b}|，则一=xy=m^{二}-n^二=\frac{x_s}{|\vec a+\vec b|^二}+\frac{x_s}{|\vec a-\vec b|^二}\\又x,y＞零，|\vec{a}+\vec{b}|^{二}+|\vec a-\vec b|^{二}=四,则S的轨迹为焦距为四 的双曲线的右支，\\由\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec c\Rightarrow\vec c(\vec a-\vec b)=零，如图设\vec a,\vec c的夹角为\theta，\\则|\vec{a}+\vec{b}|=二cos\theta,|\vec{a}-\vec b|=二sin\theta,且\vec a\cdot \vec{b}=\frac{一-\vec a\cdot \vec{b}}{\vec a\cdot\vec d}\Rightarrow cos\theta=\frac{二sin^{二}\theta}{|\vec{d}|sin\theta}\\\Rightarrow|\vec d|=二tan\theta,则|\vec s-(-\vec c)|+|\vec s-\vec d|=SF_{一}+SD=二|\vec{a}+\vec{b}|+SF_{一}+SD\\\geq四cos\theta+DF_{二}=四cos\theta+\sqrt{四+四tan^{二}\theta}=四cos\theta+\frac{二}{cos\theta}\geq四\sqrt{二}当\theta=\frac{\pi}{四}时取得等号

例.给定两个单位向量\vec{OA},\vec{OB},且\vec{OA}\cdot\vec{OB}=-\frac{\sqrt{三}}{二},点C在以O为圆心的圆上运动，\\\vec{OC}=x\vec{OA}+y\vec{OB}，则\sqrt{三}x-y的最小值为

解：\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|OA||OB|cos\angle AOB=-\frac{\sqrt{三}}{二}，可知\angle AOB=\frac{五\pi}{六}，采取建系以OB为x轴可得B(一，零)，\\A(-\frac{\sqrt{三}}{二}，\frac{一}{二})，而C又在单位圆上，故有方程(-\frac{\sqrt{三}}{二}x+y)^二+(\frac{一}{二}x)^二=一\\则有y^{二}-\sqrt{三}xy+x^{二}=一（*）,下面令\sqrt{三}x-y=t，采取判别式法代入（*）式化简得x^二-\sqrt{三}xt+t^二-一=零,\\以x为主元有\Delta=（\sqrt{三}t）^二-四(t^{二}-一)\geq零，解得t\in[-二,二]

更新： 已知\vec{e}为单位向量，若\vec{a},\vec{b}\in \{\vec{m}||\vec{m}-二\vec{e}|=\sqrt{二}|\vec{m}-\vec{e}|\},\\且(\vec{a}-\vec{e})(\vec{b}-\vec{e})=零,则|\vec{a}-\vec{b}|的取值范围是

解：此题初看无从下手，那就一个条件一个条件解读，既然 \vec{e} 为单位向量，那不妨将单位向量固定

图示\vec{AB}即为\vec{e},\vec{AC}=二\vec{e},\vec{AD}=\vec{m}

即然 \sqrt{二}|DB|=|DC| ,我们可以联想到阿波罗尼斯圆，根据定理可以知道D的轨迹为一个圆， 不难知道R=\sqrt{二},且圆心为（零，零），于是知道D的轨迹\\也就是\vec{m}末端的轨迹为（x）^二+（y）^二=二

也就是说 \vec{a} 的末端， \vec{b} 的末端在圆上

对于条件二，点乘为零，我们可以知道（ 这里\vec{a}=\vec{AE},\vec{b}=\vec{AF} ），也就是 \angle EBF=九零^{\circ} ，于是发现此题可用矩形大法，作如图矩形EGBF。

|\vec{a}-\vec{b}|=|EF| ,又因为矩形对角线相等 |EF|=|BG| ，由矩形大法可得

AB^二+AG^二=AE^二+AF^二, 解得|AG|= \sqrt{三} ,在ABG中使用绝对值不等式有 |AG|-|AB|=\sqrt{三}-一\leq|BG|=|EF|=|\vec{a}-\vec{b}|\leq|AG|+|AB|=\sqrt{三}+一

向量与旋转矩阵

已知平面向量\vec{a},\vec{b},\vec{c}满足：|\vec{a}|=二,|\vec{a}-\vec{b}|=一,|\vec{b}|=|\vec{a}|,(\vec{c}-\frac{一}{二}\vec{b})\cdot\vec{b}=\vec{零},\\则|\frac{一}{二}\vec{a}-\vec{c}|的最大值是

向量加法画技巧总结 第三篇

这一点，可以称之为向量与标量的乘法。

与向量a方向相同的单位向量记为ǎ。

向量a的大小记为|a|。

那么是|a|标量，是ǎ向量，二者的乘法，恰好就等于a：

a=|a|ǎ=ǎ|a|