高中函数的考法总结
高中函数的考法总结 第一篇
一. 函数的奇偶性
(一)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;
(二)若f(x)是奇函数，零在其定义域内，则 f(零)=零(可用于求参数);
(三)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=零或 (f(x)≠零);
(四)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(五)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
二. 复合函数的有关问题
(一)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(二)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
三.函数图像(或方程曲线的对称性)
(一)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(二)证明图像C一与C二的对称性，即证明C一上任意点对称中心(对称轴)的对称点仍在C二上，反之亦然;
(三)曲线C一：f(x,y)=零,y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C二的方程为f(y-a,x+a)=零(或f(-y+a,-x+a)=零);
(四)曲线C一:f(x,y)=零点(a,b)的对称曲线C二方程为：f(二a-x,二b-y)=零;
(五)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像直线x=a对称;
(六)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像直线x= 对称;
四.函数的周期性
(一)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-二a )=f(x) (a>零)恒成立,则y=f(x)是周期为二a的周期函数;
(二)若y=f(x)是偶函数，其图像又直线x=a对称，则f(x)是周期为二︱a︱的周期函数;
(三)若y=f(x)奇函数，其图像又直线x=a对称，则f(x)是周期为四︱a︱的周期函数;
(四)若y=f(x)点(a,零),(b,零)对称，则f(x)是周期为二 的周期函数;
(五)y=f(x)的图象直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为二 的周期函数;
(六)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为二 的周期函数;
五.方程
(一)方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
(二)a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,;
a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
(三)(a>零,a≠一,b>零,n∈R+);
log a N= ( a>零,a≠一,b>零,b≠一);
(四)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
a log a N= N ( a>零,a≠一,N>零 );
六.映射
判断对应是否为映射时，抓住两点：
(一)A中元素必须都有象且唯一;
(二)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
七.函数单调性
(一)能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性;
(二)依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
八.反函数
对于反函数，应掌握以下一些结论：
(一)定义域上的单调函数必有反函数;
(二)奇函数的反函数也是奇函数;
(三)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(四)周期函数不存在反函数;(五)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(五) y=f(x)与y=f-一(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--一(x)]=x(x∈B),f--一[f(x)]=x(x∈A).
九.数形结合
处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
一零. 恒成立问题
恒成立问题的处理方法：
(一)分离参数法;
(二)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
高中函数的考法总结 第二篇
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结
若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于零的实数。同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-一）或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。
那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。
步骤/方法以下是反比例函数知识点总结
一、反比例函数的表达式
X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·一/x
xy=k
y=k·x^（-一）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）
y=kx(k为常数且k≠零，x≠零）若y=k/nx此时比例系数为：k/n
二、函数式中自变量取值的范围
①k≠零；②在一般的情况下，自变量x的'取值范围可以是不等于零的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于零的一切实数
y=k/x=k·一/x
xy=k
y=k·x^（-一）
y=kx(k为常数(k≠零），x不等于零）
三、反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠零）。
四、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？
过反比例函数y=k/x（k≠零），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
五、反比例函数性质有哪些？
一.当k>零时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<零时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
;零时，函数在x<零上同为减函数、在x>零上同为减函数；k<零时，函数在x<零上为增函数、在x>零上同为增函数。定义域为x≠零；值域为y≠零。
三.因为在y=k/x(k≠零)中，x不能为零，y也不能为零，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
四.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S一，S二则S一=S二=|K|
五.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
六.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点原点对称。
七.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^二+四k·m≥（不小于）零。
八.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
九.反比例函数正比例函数y=x，y=-x轴对称，并且原点中心对称.
一零.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
一二.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
一三.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点
高中函数的考法总结 第三篇
二次函数知识点总结
二次函数概念
一般地，把形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠零，b，c可以为零)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是二。二次函数图像是轴对称图形。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数公式大全
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠零)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²;+bx+c(a，b，c为常数，a≠零)
顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x一)(x-x二) [仅限于与x轴有交点A(x一，零)和 B(x二，零)的抛物线]
注：在三种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/二a k=(四ac-b²;)/四a x一,x二=(-b±√b²;-四ac)/二a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
一.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/二a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=零时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=零)
二.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/二a ，(四ac-b²;)/四a ]。
当-b/二a=零时，P在y轴上;当Δ= b²-四ac=零时，P在x轴上。
三.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>零时，抛物线向上开口;当a<零时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
四.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>零)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<零)，对称轴在y轴右。
五.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(零，c)
六.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-四ac>零时，抛物线与x轴有二个交点。
Δ= b²-四ac=零时，抛物线与x轴有一个交点。
Δ= b²-四ac<零时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax²;+bx+c，
当y=零时，二次函数为x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax²;+bx+c=零
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
高中函数的考法总结 第四篇
正比例函数知识点总结
—正比例函数公式
正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠零)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数的性质
定义域：R(实数集)
值域：R(实数集)
奇偶性：奇函数
单调性：
当>零时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;
当k<零时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。
周期性：不是周期函数。
对称性：无轴对称性，但原点中心对称。
图像：
正比例函数的图像是经过坐标原点(零，零)和定点(一，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为零。正比例函数的图像是一条过原点的.直线。
正比例函数y=kx(k≠零)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。
正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠零)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
正比例函数图像的作法
一、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;
二、根据第一步求的x、y的值描出点;
三、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。
温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
高中函数的考法总结 第五篇
一、一次函数定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=零时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠零)
二、一次函数的性质：
一、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
二、当x=零时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
一、作法与图形：通过如下三个步骤
(一)列表;
(二)描点;
(三)连线，可以作出一次函数的.图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道二点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
二、性质：(一)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(二)一次函数与y轴交点的坐标总是(零，b)，与x轴总是交于(-b/k，零)正比例函数的图像总是过原点。
三、k，b与函数图像所在象限：
当k>零时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<零时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>零时，直线必通过一、二象限;
当b=零时，直线通过原点
当b<零时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(零，零)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>零时，直线只通过一、三象限;当k<零时，直线只通过二、四象限。
高中函数的考法总结 第六篇
函数性质知识点总结
一.函数的单调性(局部性质)
(一)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x一，x二，当x一二时，都有f(x一)二)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x一，x二，当x一二 时，都有f(x一)>f(x二)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(二) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(三).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
一 任取x一，x二∈D，且x一二;
二 作差f(x一)-f(x二);
三 变形(通常是因式分解和配方);
四 定号(即判断差f(x一)-f(x二)的正负);
五 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
八.函数的奇偶性(整体性质)
(一)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(二).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(三)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象y轴对称;奇函数的图象原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
一首先确定函数的定义域，并判断其是否原点对称;
二确定f(-x)与f(x)的关系;
三作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 零，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 零，则f(x)是奇函数.
注意：函数定义域原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(一)再根据定义判定; (二)由 f(-x)±f(x)=零或f(x)/f(-x)=±一来判定; (三)利用定理，或借助函数的图象判定 .
九、函数的解析表达式
(一).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(二)求函数的解析式的主要方法有：
一) 凑配法
二) 待定系数法
三) 换元法
四) 消参法
一零.函数最大(小)值(定义见课本p三六页)
一 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
二 利用图象求函数的最大(小)值
三 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题：
一.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
二.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _
三.若函数 的定义域为 ，则函数的定义域是
四.函数 ，若 ，则 =
五.求下列函数的值域：
⑴ ⑵
(三) (四)
六.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
七.已知函数 满足 ，则 = 。
八.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
九.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵ ⑶
一零.判断函数 的单调性并证明你的结论.
一一.设函数 判断它的奇偶性并且求证： .
高中函数的考法总结 第七篇
反比例函数知识点总结
一、 背景分析
一. 对教材的分析
本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。
本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念 。函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其内在规定性的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。
传统教材在内容和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步性质的探索打下良好的基础。因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体性认识。在旧教材中对反比例函数性质只是简单观察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注重从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。
(一) 教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和;逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
(二) 重点：会作反比例函数的图象;探索并掌握反比例函数的主要性质。
(三) 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
二、对学情的分析
九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采用Z+Z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。
教学过程
一、忆一忆
师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗?一次函数的图象是什么图形?
生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：(一)列表(二)描点(三)连线。
生乙：一次函数的图象是一条直线。
师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=四/x 是什么函数?
生：反比例函数。
师：你们能作出它的图象吗?
生：可以。
点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。
二、作图象，试比较
师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。
师：再按照上述方法作y=-四/x的图象。
(学生动手操作)
师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。
(学生讨论交流，教师参与)
师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法?
生一：它们的图象都是由两支曲线组成的。
生二：y=四/x 的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=-四/x 的图象的两支曲线分布在二、四象限内。
点评：这里让学生自己上台操作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。
三、细观察，找规律
师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数 y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。
(展示图象，让学生观察y=k/x 的图象，按下动画按钮，在运动中观察 值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论)
师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。
生：我发现函数图象的变化与k 的值有关：当 k>零 时，在每一象限内，y随 x的增大而减小，当 k<零 时，在每一象限内 ，y随x 的增大而增大。
师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。
(一)反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。
(二)当 k>零时，两支曲线分别在一、三象限;当k<零时，两支曲线分别在二、四象限。
(三)当k>零 时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k<零时，在每一象限内 ，y随x 的增大而增大。
师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转一八零后，你会发现什么现象?这说明了什么问题?
(由学生在电脑上进行操作)
生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。
师：大家做得很好。那么，如果我们在图象上任取A、B两点，经过这两点分别作 轴、 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别 为S一、S二，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。
题目：(一) 拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。(二) 拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。
生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k 值怎么变化，矩形的面积始终不变。
师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。
点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。
四、用规律，练一练
一、 课本一三七页随堂练习一
生：第一幅图是 y=-二/x的图象，因为在这里的 k<零，双曲线应在第二、四象限。
二、 下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个?在其图象所在象限内， 的值随 的增大而增大的有哪几个?
(一) y=一/(二x)(二)y=(三)y=一零/x(四)y=-七/(一零零x)
生：其中(一)(二)(三)的图象在一、三象限;(四)的图象在每一象限内，y 随x 的增大而增大。