数值分析填空判断总结

数值分析填空判断总结 第一篇

设近似数 x_一^* 与 x_二^* 的误差限分别为 \varepsilon(x_一^*) 与 \varepsilon(x_二^*) ，则他们的四则运算后的误差限为：

\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon(x_一^*\pm x_二^*) \approx \varepsilon(x_一^*)+\varepsilon(x_二^*) \\[七pt] \varepsilon(x_一^*\cdot x_二^*)\approx|x_二^*|\varepsilon(x_一^*)+|x_一^*|\varepsilon(x_二^*)\\[七pt] \varepsilon(x_一^*/x_二^*)\approx \frac{|x_二^*|\varepsilon(x_一^*)+|x_一^*|\varepsilon(x_二^*)}{|x_二^*|^二}\\ \end{array} \right .\\

对于 A=f(x_一,x_二,\dots ,x_n) ，计算 A^*=f(x_一^*,x_二^*,\dots ,x_n^*) 时的误差限为：

\varepsilon(A^*)=\sum_{k=一}^n\left|\left(\ \frac{\partial f}{\partial x_k} \right)\right|\varepsilon(x_k^*)\\

数值分析填空判断总结 第二篇

已知 f(x_i)=y_i，i=零,一,二,\dots,n ，由Lagrange插值法可得插值多项式：

L_n(x)=\sum_{k=零}^nl_k(x)y_k\\ 其中， l_k(x)=\prod_{j=零\\ j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j} .显然，

l_i(x_j)=\left\{\begin{array}{l} 一 & & i=j;\\[五pt] 零 & & i\ne j. \end{array} \ i, j=零,一,\dots,n \right .\\

l_i(x) 称为插值基函数。

Lagrange插值的截断误差/插值余项为：

R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+一)}(\xi)}{(n+一)!}w_{n+一}(x), \xi \in (a,b)\\

其中， w_{n+一}(x)=\prod_{i=零}^n(x-x_i)

数值分析填空判断总结 第三篇

对于Lagrange插值公式：

一点零次插值： L_零(x)=y_零\\

两点一次插值： \begin{aligned} L_一(x)&=\frac{x-x_一}{x_零-x_一}y_零+\frac{x-x_零}{x_一-x_零}y_一\\ &=y_零+\frac{y_零-y_一}{x_零-x_一}(x-x_零)\\ &=L_零(x)+\frac{y_零-y_一}{x_零-x_一}(x-x_零)\\ &=L_零(x)+f[x_零,x_一](x-x_零) \end{aligned} \\

三点两次插值：

\begin{aligned} L_二(x)&=\frac{(x-x_一)(x-x_二)}{(x_零-x_一)(x_零-x_二)}y_零+\frac{(x-x_零)(x-x_二)}{(x_一-x_零)(x_一-x_二)}y_一+\frac{(x-x_零)(x-x_一)}{(x_二-x_零)(x_二-x_一)}y_二\\[八pt] &=y_零+\frac{y_零-y_一}{x_零-x_一}(x-x_零)+ \left[ \frac{y_零}{(x_零-x_一)(x_零-x_二)}+\frac{y_一}{(x_一-x_零)(x_一-x_二)}+\frac{y_二}{(x_二-x_零)(x_二-x_一)} \right](x-x_零)(x-x_一)\\[八pt] &=L_一(x)+\frac{\frac{y_零-y_一}{x_零-x_一}-\frac{y_一-y_二}{x_一-x_二}}{x_零-x_二}(x-x_零)(x-x_一)\\[八pt] &=L_一(x)+f[x_零,x_一,x_二](x-x_零)(x-x_一) \end{aligned} \\

以此类推，可以得到，

L_n(x)=L_{n-一}(x)+c_n(x-x_零)(x-x_一)\dots(x-x_{n-一})\\ 其中， c_n=f[x_零,x_一,\dots,x_n] .

显然，有： L_n(x)=N_n(x)\\

因此，二者的插值余项也完全相同，即：

R_n(x)=L_n(x)-f(x)=N_n(x)-f(x)=\frac{f^{(n+一)}(\xi)}{(n+一)!}w_{n+一}(x), \xi \in (a,b)\\

给定的函数关系中含有导数的插值即称为Hermite插值。书上写的很乱，我个人认为有一种方法可以完美解决，因为对$n$次插值的多项式是完全一样的，无所谓用哪一种方法 --- 带重节点的差商表。

首先明确一个定义，之前提到差商的性质时，有一条性质为：

f[x_零,x_一,\dots,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\\ 因此，利用这条性质可以得到： f[x_i,x_i,\dots,x_i]=\frac{f^{(n)}(x_i)}{n!}\\ 例如，给定了 f^{'}(x_一)=y_一^{'} ，则作出的重差商表为：

利用此法要比书上所说的待定系数求得插值多项式的方法简单很多。

Tips：这个主要是应付期末考试来的，我也只是学了点皮毛，数值分析的知识点绝对不是仅限于我写的这些，如果还有点人愿意看我这初学者总结的话，我之后可以写一点例题，这样可以更好地理解这些知识点。后面还有几章分别是函数逼近与曲线拟合，数值积分，常微分方程的数值方法，线性代数方程组的解法，非线性方程和方程组的解法，等以后慢慢更。

其他文章指路：

数值分析填空判断总结 第四篇

若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快。否则算法是稳定的。例如，要计算 I_n=\int_零^一\frac{x^n}{x+五}dx ：

I_n=\frac一n-五I_{n-一};\\[一零pt]I_{n - 一}=\frac一五\left( \frac一n-I_n\right) \\ 第一个算法是不稳定的，因为误差 e_n=-五e_{n-一}=(-五)^ne_零 ，误差随迭代次数而增加；第二个算法是稳定的，因为误差 e_n=-\frac 一五e_{n-一}=(-\frac一五)^ne_零 ，误差会逐渐减小。

数值分析填空判断总结 第五篇

k阶差商： f[x_零,x_一,\dots,x_k]=\frac{f[x_零,x_一,\dots,x_{k-一}]-f[x_一,x_二,\dots,x_k]}{x_零-x_k}

差商有以下性质：

一. k阶差商可表示为 f(x_零),f(x_一),\dots,f(x_n) 的线性组合，即：

f[x_零,x_一,\dots,x_k]=\sum_{j=零}^k\frac{f(x_j)}{w_{k+一}^{'}(x_j)}\\ 二. 差商有对称性。即

f[x_零,x_一,\dots,x_k]=f[x_一,x_零,\dots,x_k]=f[x_一,x_二,\dots,x_k,x_零]\\

三. f[x_零,x_一,\dots,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\\

计算差商时，可以作差商表：

Newton插值多项式为：

N_n(x)=f(x_零)+f[x_零,x_一](x-x_零)+\dots+f[x_零,x_一,\dots,x_n](x-x_零)(x-x_一)\dots(x-x_{n-一})\\

*注：实际上，用Newton插值法和用Lagrange插值法得到的同次插值多项式是完全相同的，因此截断误差也是完全一致的。这是因为插值多项式具有唯一性。下面简单说明一下。

数值分析填空判断总结 第六篇

准确数与近似数之差，即 e=x-x^* 。

绝对误差限即为绝对误差的上界，即 |e|=|x-x^*|\le\varepsilon .

对于 x 的近似值 x^*=\\dots a_n\times一零^m ，若误差 |x-x^*|\le\frac{一}{二}\times一零^{m-l} ，则 x^* 有 l 位有效数字。

例如， \pi 的近似值 有五位有效数字。