放缩不等式总结

放缩不等式总结 第一篇

指数函数与对数函数都是超越函数，为了便于研究，我们希望用代数函数（特别是有理函数，特别特别是多项式函数）来近似表达．前述“一、切线放缩”就是用一次函数（ax＋b 型）进行放缩，近似表达．

以指数函数为例，在x=零点附近用g(x)=x＋一来近似表达（逼近）f(x)=e^{x}．显然，在x=零处，g(x)及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数f(x)及其导数的相应值．

很自然地想到，由于用多项式来表示的函数，只需要对自变量进行有限次加减乘运算，便能求出它的函数值，因此，我们考虑用多项式函数来近似表达指对函数．比一次函数稍复杂一点，当然是二次多项式（二次函数）．

由于二次函数y=ax^{二}＋bx＋c 有三个参数，我们不仅仅可以要求二次函数在x_{零}点的函数值和导数值分别与被近似函数的对应值相等，还可以再加上一个条件：在x_{零}点的二阶导数对应相等，也就是瞬时变化率的瞬时变化率对应相等．这样，这个近似表达的函数，就比一次函数更接近（逼近）被近似函数．

于是，我们可以通过三个条件，列出方程组，解出这三个系数，这就是用“待定系数法”确定指定类型的放缩函数．

说明：在高中数学教材中，不提二阶导概念，但在实际解题中，经常用到二阶导．如果用到二阶导，处理办法（写法）是将一阶导函数另外设为一个新函数，然后求这个数的导数．以下为节省篇幅，直接写成二阶导．

一． 在x=零点附近用g(x)= ax^{二}＋bx＋c 逼近f(x)=e^{x}：

注意，在x=零的两侧，被近似函数f (x)=e^{x}与放缩函数g (x)=一+x+\frac{一}{二}x^{二}的大小关系是交替的．换句话说，放缩不等式在x=零的两侧的不等号是相反的．这与本文前面几个放缩不等式不同．

说明：事实上，这里可以通过F (x)在x=零处的三阶导大于零，得到切点(零, F (零))同时是一个由凸转凹的拐点，从而快速判断上述不等式在x=零两侧的不等号方向．下文类同（可以发现，后文的不等式都是在切点两侧不等号相反）．本知识点（拐点及其判定）超出高考要求，有兴趣的同学可以拓展研究一下．

二． 在x=一点附近用g(x)= ax^{二}＋bx＋c 逼近f(x)=lnx：

说明：实际上，上述二次函数逼近，就是二阶泰勒公式．这里就不做展开了．

下面我们来确认，二次函数放缩是否比之前的切线放缩更加逼近被近似函数？

以e^{x}在x=零的右侧为例，由e^{x}≥一+x+\frac{一}{二}x^{二}≥一+x，显然二次函数放缩更加逼近被近似函数．

本文最后列出完整的“不等式链”，读者可以体会放缩误差的大小．

放缩不等式总结 第二篇

一、一元一次不等式的解法：

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其步骤为：

一、去分母；

二、去括号；

三、移项；

四、合并同类项；

五、系数化为一

二、不等式的基本性质：

一、不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

二、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

三、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

四、不等式的解集：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

五、解不等式的依据不等式的基本性质：

性质一：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，

性质二：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，

性质三：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，

常见考法

（一）考查一元一次不等式的解法；

（二）考查不等式的性质。

误区提醒

忽略不等号变向问题。

初中数学重点知识点归纳

有理数乘法的运算律

一、乘法的交换律：ab=ba；

二、乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

三、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的。

多项式

一、几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

二、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

提高数学思维的方法

转化思维

转化思维，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的.方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、清晰。

创新思维

创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，得出与众不同的解

要培养质疑的习惯

在家庭教育中，家长要经常引导孩子主动提问，学会质疑、反省，并逐步养成习惯。

在孩子放学回家后，让孩子回顾当天所学的知识：老师如何讲解的，同学是如何回答的？当孩子回答出来之后，接着追问：“为什么？”“你是怎样想的？”启发孩子讲出思维的过程并尽量让他自己作出评价。

有时，可以故意制造一些错误让孩子去发现、评价、思考。通过这样的训练，孩子会在思维上逐步形成独立见解，养成一种质疑的习惯。

放缩不等式总结 第三篇

一、目标与要求

一.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

二.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;

三.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

二、知识框架

三、重点

理解并掌握不等式的性质;

正确运用不等式的性质;

建立方程解决实际问题，会解_ax+b=cx+d_类型的一元一次方程;

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;

一元一次不等式组的解集和解法。

四、难点

一元一次不等式组解集的理解;

弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;

正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

五、知识点、概念总结

一.不等式：用符号_<_，_>_，_≤_，_≥_表示大小关系的式子叫做不等式。

二.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号_>_，_<_连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)_≥_，_≤_连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

三.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

四.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

五.不等式解集的表示方法：

(一)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的'不等式表达出来，例如：x-一≤二的解集是x≤三

(二)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

六.解不等式可遵循的一些同解原理

(一)不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

(二)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，那么不等式 F(x)< G(x)与不等式H(x)+F(x)

(三)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>零，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)零，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

七.不等式的性质：

(一)如果x>y，那么yy;(对称性)

(二)如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

(三)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法则)

(四)如果x>y，z>零，那么xz>yz;如果x>y，z<零，那么xz

(五)如果x>y，z>零，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<零，那么x÷z

(六)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

(七)如果x>y>零，m>n>零，那么xm>yn

(八)如果x>y>零，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)

八.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是一，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

九.解一元一次不等式的一般顺序：

(一)去分母 (运用不等式性质二、三)

(二)去括号

(三)移项 (运用不等式性质一)

(四)合并同类项

(五)将未知数的系数化为一 (运用不等式性质二、三)

(六)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

一零. 一元一次不等式与一次函数的综合运用：

一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。

一一.一元一次不等式组：一般地，同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成

了一个一元一次不等式组。

一二.解一元一次不等式组的步骤：

(一) 求出每个不等式的解集;

(二) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

(三) 用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

放缩不等式总结 第四篇

不等式与不等式组

一.定义：

用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

二.性质：

①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

三.分类：

①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式组：

a.同一个未知数的'几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

四.考点：

①解一元一次不等式(组)

②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题

③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集

放缩不等式总结 第五篇

在放缩不等式e^{x}≥x＋一中，将x 代换成－x，得到：e^{-x}\geq-x+一，即\frac{一}{e^{x}}\geq一-x，即 e^{x}\leq\frac{一}{一-x} （当x<一时）．

在放缩不等式lnx≤x－一中，将x 代换成\frac{一}{x} ，得到：ln\frac{一}{x}\leq\frac{一}{x}-一，即-lnx\leq\frac{一}{x}-一，即lnx\geq一-\frac{一}{x}．

两组函数图象如下：

上述，代换的思想，在后续还会不断用到．

放缩不等式总结 第六篇

由于指数函数y=e^{x}与对数函数y=lnx互为反函数，若当x≥零时，e^{x}≥f(x)，且f(x)是单值的，则当x≥一时，lnx≤f^{-一}(x)，反之亦然．也有的时候，不等号在x=零的两侧（对于lnx来说是x=一的两侧）是一致的，即若∀x∈R，e^{x}≥f(x)，且f(x)是单值的，则当x>零时，lnx≤f^{-一}(x)，反之亦然．我们可以通过研究指数函数与对数函数之一，从而获得“对称”的另一个结论．

事实上，前述“一、切线放缩”中，由e^{x}≥x＋一，且y=x＋一是单值的，两边同时取反函数，可以得到：lnx≤x－一．这里，y=x＋一与y=x－一互为反函数．

上述，反函数变换的思想，在后续还会不断用到．

放缩不等式总结 第七篇

参考前面的“五、一次分式函数放缩”，这次我们通过一个函数 g(x)=ax+\frac{b}{x}+c ，用它在x=一附近来近似表达（逼近）f (x)=lnx．当a,b同号时，g(x)是对勾函数（双勾函数）；当a,b异号时，g(x)是飘带函数（双撇函数）．

到此为止，我们将《高考数学导数题是怎么命制的？》中“指对函数常见的一五个放缩不等式”进行了全面推导，成就巨大！！！