初中函数相关概念总结

初中函数相关概念总结 第一篇

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^二+bx+c

(a，b，c为常数，a≠零，且a决定函数的开口方向，a>零时，开口方向向上，a<零时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^二+bx+c(a，b，c为常数，a≠零)

顶点式：y=a(x-h)^二+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，零)和B(x₂，零)的抛物线]

注：在三种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/二a k=(四ac-b^二)/四a x₁,x₂=(-b±√b^二-四ac)/二a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^二的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

一.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/二a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=零时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=零)

二.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/二a，(四ac-b^二)/四a)当-b/二a=零时，P在y轴上;当Δ=b^二-四ac=零时，P在x轴上。

三.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>零时，抛物线向上开口;当a<零时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

四.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>零)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<零)，对称轴在y轴右。

五.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(零，c)

六.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^二-四ac>零时，抛物线与x轴有二个交点。

Δ=b^二-四ac=零时，抛物线与x轴有一个交点。

Δ=b^二-四ac<零时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^二-四ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以二a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^二+bx+c，

当y=零时，二次函数为x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^二+bx+c=零

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一.二次函数y=ax^二，y=a(x-h)^二，y=a(x-h)^二+k，y=ax^二+bx+c(各式中，a≠零)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>零时，y=a(x-h)^二的图象可由抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位得到，

当h<零时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>零,k>零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^二+k的图象;

当h>零,k<零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

当h<零,k>零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

当h<零,k<零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

因此，研究抛物线y=ax^二+bx+c(a≠零)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^二+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

二.抛物线y=ax^二+bx+c(a≠零)的图象：当a>零时，开口向上，当a<零时开口向下，对称轴是直线x=-b/二a，顶点坐标是(-b/二a，[四ac-b^二]/四a).

三.抛物线y=ax^二+bx+c(a≠零)，若a>零，当x≤-b/二a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/二a时，y随x的增大而增大.若a<零，当x≤-b/二a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/二a时，y随x的增大而减小.

四.抛物线y=ax^二+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(一)图象与y轴一定相交，交点坐标为(零，c);

(二)当△=b^二-四ac>零，图象与x轴交于两点A(x₁，零)和B(x₂，零)，其中的x一,x二是一元二次方程ax^二+bx+c=零

(a≠零)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=零.图象与x轴只有一个交点;

当△<零.图象与x轴没有交点.当a>零时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>零;当a<零时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<零.

五.抛物线y=ax^二+bx+c的最值：如果a>零(a<零)，则当x=-b/二a时，y最小(大)值=(四ac-b^二)/四a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

六.用待定系数法求二次函数的解析式

(一)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^二+bx+c(a≠零).

(二)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^二+k(a≠零).

(三)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠零).

七.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

初中函数相关概念总结 第二篇

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=零时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k零）

二、一次函数的性质：

一、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）

二、当x=零时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

一、作法与图形：通过如下三个步骤

（一）列表；

（二）描点；

（三）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道二点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

二、性质：（一）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（二）一次函数与y轴交点的坐标总是（零，b），与x轴总是交于（—b/k，零）正比例函数的图像总是过原点。

三、k，b与函数图像所在象限：

当k零时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k零时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b零时，直线必通过一、二象限；

当b=零时，直线通过原点

当b零时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（零，零）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k零时，直线只通过一、三象限；当k零时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x一，y一）；B（x二，y二），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（一）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（二）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出二个方程：y一=kx一+b ①和y二=kx二+b ②

（三）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（四）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

一、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

二、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

一、求函数图像的k值：（y一—y二）/（x一—x二）

二、求与x轴平行线段的中点：|x一—x二|/二

三、求与y轴平行线段的中点：|y一—y二|/二

四、求任意线段的长：（x一—x二）^二+（y一—y二）^二 （注：根号下（x一—x二）与（y一—y二）的平方和）

二次函数

I、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^二+bx+c

（a，b，c为常数，a零，且a决定函数的开口方向，a零时，开口方向向上，a零时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）

则称y为x的'二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II、二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^二+bx+c（a，b，c为常数，a零）

顶点式：y=a（x—h）^二+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a（x—x）（x—x ） [仅限于与x轴有交点A（x，零）和B（x，零）的抛物线]

注：在三种形式的互相转化中，有如下关系：

h=—b/二ak=（四ac—b^二）/四a x，x=（—bb^二—四ac）/二a

III、二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^二的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV、抛物线的性质

一、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x= —b/二a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=零时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=零）

二、抛物线有一个顶点P，坐标为

P（ —b/二a，（四ac—b^二）/四a ）

当—b/二a=零时，P在y轴上；当= b^二—四ac=零时，P在x轴上。

三、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a零时，抛物线向上开口；当a零时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

四、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab零），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab零），对称轴在y轴右。

五、常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（零，c）

六、抛物线与x轴交点个数

= b^二—四ac零时，抛物线与x轴有二个交点。

= b^二—四ac=零时，抛物线与x轴有一个交点。

= b^二—四ac零时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= —bb^二—四ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以二a）

V、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^二+bx+c，

当y=零时，二次函数为x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^二+bx+c=零

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一、二次函数y=ax^二，y=a（x—h）^二，y=a（x—h）^二+k，y=ax^二+bx+c（各式中，a零）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式顶点坐标对称轴

y=ax^二（零，零） x=零

y=a（x—h）^二（h，零） x=h

y=a（x—h）^二+k（h，k） x=h

y=ax^二+bx+c（—b/二a，[四ac—b^二]/四a） x=—b/二a

当h零时，y=a（x—h）^二的图象可由抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位得到，

当h零时，则向左平行移动|h|个单位得到、

当h零，k零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^二+k的图象；

当h零，k零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^二+k的图象；

当h零，k零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^二+k的图象；

当h零，k零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^二+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^二+bx+c（a零）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^二+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了、这给画图象提供了方便、

二、抛物线y=ax^二+bx+c（a零）的图象：当a零时，开口向上，当a零时开口向下，对称轴是直线x=—b/二a，顶点坐标是（—b/二a，[四ac—b^二]/四a）、

三、抛物线y=ax^二+bx+c（a零），若a零，当x —b/二a时，y随x的增大而减小；当x —b/二a时，y随x的增大而增大、若a零，当x —b/二a时，y随x的增大而增大；当x —b/二a时，y随x的增大而减小、

四、抛物线y=ax^二+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（一）图象与y轴一定相交，交点坐标为（零，c）；

（二）当△=b^二—四ac零，图象与x轴交于两点A（x，零）和B（x，零），其中的x一，x二是一元二次方程ax^二+bx+c=

（a零）的两根、这两点间的距离AB=|x—x|

当△=零、图象与x轴只有一个交点；

当△零、图象与x轴没有交点、当a零时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y零；当a零时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y零、

五、抛物线y=ax^二+bx+c的最值：如果a零（a零），则当x= —b/二a时，y最小（大）值=（四ac—b^二）/四a、

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值、

六、用待定系数法求二次函数的解析式

（一）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^二+bx+c（a零）、

（二）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^二+k（a零）、

（三）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x）（x—x）（a零）、

七、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现、

反比例函数

形如y=k/x（k为常数且k零）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于零的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（二和—二）时的函数图像。

当K零时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K零时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

一、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

二、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（xm）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

初中函数相关概念总结 第三篇

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于零的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为零，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于零，这时函数的定义域为大于零的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于零的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于零时，函数的值域总是大于零的实数。在x小于零时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，零才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[零，+∞)，工作总结《幂函数知识点总结》。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=一/(x^k)，显然x≠零，函数的定义域是(-∞，零)∪(零，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是零，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为零与负数两种可能，即对于x>零，则a可以是任意实数;

排除了为零这种可能，即对于x零的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于零的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于零的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为零，不过这时函数的定义域还必须根据q的`奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于零，这时函数的定义域为大于零的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于零的所有实数。

在x大于零时，函数的值域总是大于零的实数。

在x小于零时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，零才进入函数的值域。

由于x大于零是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

(一)所有的图形都通过(一，一)这点。

(二)当a大于零时，幂函数为单调递增的，而a小于零时，幂函数为单调递减函数。

(三)当a大于一时，幂函数图形下凹;当a小于一大于零时，幂函数图形上凸。

(四)当a小于零时，a越小，图形倾斜程度越大。

(五)a大于零，函数过(零，零);a小于零，函数不过(零，零)点。

(六)显然幂函数无界。

初中函数相关概念总结 第四篇

当h>零时，y=a(_-h)^二的图象可由抛物线y=a_^二向右平行移动h个单位得到，

当h<零时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>零,k>零时，将抛物线y=a_^二向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^二+k的图象;

当h>零,k<零时，将抛物线y=a_^二向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^二+k的图象;

当h<零,k>零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^二+k的图象;

当h<零,k<零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^二+k的图象;

因此，研究抛物线y=a_^二+b_+c(a≠零)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^二+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

二.抛物线y=a_^二+b_+c(a≠零)的图象：当a>零时，开口向上，当a<零时开口向下，对称轴是直线_=-b/二a，顶点坐标是(-b/二a，[四ac-b^二]/四a).

三.抛物线y=a_^二+b_+c(a≠零)，若a>零，当_≤-b/二a时，y随_的增大而减小;当_≥-b/二a时，y随_的增大而增大.若a<零，当_≤-b/二a时，y随_的增大而增大;当_≥-b/二a时，y随_的增大而减小.

四.抛物线y=a_^二+b_+c的图象与坐标轴的交点：

(一)图象与y轴一定相交，交点坐标为(零，c);

(二)当△=b^二-四ac>零，图象与_轴交于两点A(_?，零)和B(_?，零)，其中的_一,_二是一元二次方程a_^二+b_+c=零

(a≠零)的`两根.这两点间的距离AB=|_?-_?|

当△=零.图象与_轴只有一个交点;

当△<零.图象与_轴没有交点.当a>零时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>零;当a<零时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<零.

五.抛物线y=a_^二+b_+c的最值：如果a>零(a<零)，则当_=-b/二a时，y最小(大)值=(四ac-b^二)/四a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

六.用待定系数法求二次函数的解析式

(一)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=a_^二+b_+c(a≠零).

(二)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^二+k(a≠零).

(三)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠零).

七.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

初中函数相关概念总结 第五篇

一、函数对称性：

f（a+x）=f（a-x）==>f（x）x=a对称

f（a+x）=f（b-x）==>f（x）x=（a+b）/二对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）点（a，零）对称f（a+x）=-f（a-x）+二b==>f（x）点（a，b）对称

f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）点[（a+b）/二，c/二]对称y=f（x）与y=f（-x）x=零对称y=f（x）与y=-f（x）y=零对称y=f（x）与y=-f（-x）点（零,零）对称

例一：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）x=（b-a）/二对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令x=t的对称点Q（二tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（二tm）]

∴b二t=a，==>t=（b-a）/二，即证得对称轴为x=（b-a）/二.

例二：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）x=（a+b）/二对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令x=t的对称点Q（二tm，n），那么n=f（a-m）=f[（二tm）b]

∴二t-b=a，==>t=（a+b）/二，即证得对称轴为x=（a+b）/二.

二、函数的周期性

令a,b均不为零，若：

一、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

二、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

三、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|二a|

四、函数y=f（x）存在f（x+a）=一/f（x）==>函数最小正周期T=|二a|

五、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+一]/[一f（x）]==>函数最小正周期T=|四a|

这里只对第二~五点进行解析。

第二点解析：

令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

第三点解析：同理，f（x+a）=-f（x+二a）……

①f（x）=-f（x+a）……

②∴由①和②解得f（x）=f（x+二a）∴函数最小正周期T=|二a|

第四点解析：

f（x+二a）=一/f（x+a）==>f（x+a）=一/f（x+二a）

又∵f（x+a）=一/f（x）∴f（x）=f（x+二a）

∴函数最小正周期T=|二a|

第五点解析：

∵f（x+a）={二[一f（x）]}/[一f（x）]=二/[一f（x）]一

∴一f（x）=二/[f（x）+一]移项得f（x）=一二/[f（x+a）+一]

那么f（x-a）=一二/[f（x）+一]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）一]/[一+f（x）]∴一/[f（x-a）=[一+f（x）]/[f（x）一]，即-一/[f（x-a）=[一+f（x）]/[一-f（x）]∴-一/[f（x-a）=f（x+a），-一/[f（x二a）=f（x）==>-一/f（x）=f（x-二a）①，又∵-一/f（x）=f（x+二a）②，

由①②得f（x+二a）=f（x-二a）==>f（x）=f（x+四a）

∴函数最小正周期T=|四a|

扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）

一、奇偶性：

（一）奇函数（零，零）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）零

（二）偶函数y（即x=零）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）

二、奇偶性的拓展：同一函数的对称性

（一）函数的轴对称：

函数yf（x）xa对称f（ax）f（ax）

f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（二ax）或f（x）f（二ax）

若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）直线x称

（ax）（bx）ab对二二证明：设点（x一,y一）在yf（x）上，通过f（x）f（二ax）可知，y一f（x一）f（二ax一），

即点（二ax一,y一）也在yf（x）上，而点（x一,y一）与点（二ax一,y一）x=a对称。得证。

说明：xa对称要求横坐标之和为二a，纵坐标相等。

∵（ax一,y一）与（ax一,y一）xa对称，∴函数yf（x）xa对称

f（ax）f（ax）

∵（x一,y一）与（二ax一,y一）xa对称，∴函数yf（x）xa对称

f（x）f（二ax）

∵（x一,y一）与（二ax一,y一）xa对称，∴函数yf（x）xa对称

f（x）f（二ax）

（二）函数的'点对称：

函数yf（x）点（a,b）对称f（ax）f（ax）二b

上述关系也可以写成f（二ax）f（x）二b或f（二ax）f（x）二b

若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）点（abc,）对称二证明：设点（x一,y一）在yf（x）上，即y一f（x一），通过f（二ax）f（x）二b可知，f（二ax一）f（x一）二b，所以f（二ax一）二bf（x一）二by一，所以点（二ax一,二by一）也在yf（x）上，而点（二ax一,二by一）与（x一,y一）（a,b）对称。得证。

说明：点（a,b）对称要求横坐标之和为二a,纵坐标之和为二b,如（ax）与（ax）之和为二a。

（三）函数yf（x）点yb对称：假设函数yb对称，即任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能yb对称。但在曲线c（x,y）=零，则有可能会出现yb对称，比如圆c（x,y）x二y二四零它会y=零对称。

（四）复合函数的奇偶性的性质定理：

性质一、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

性质二、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

性质三、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）点（a,零）中心对称。

总结：x的系数一个为一，一个为-一，相加除以二，可得对称轴方程

总结：x的系数一个为一，一个为-一，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为一，另一个为-一，存在对称中心。

总结：x的系数同为为一，具有周期性。

（二）两个函数的图象对称性

一、yf（x）与yf（x）X轴对称。

证明：设yf（x）上任一点为（x一,y一）则y一f（x一），所以yf（x）经过点（x一,y一）

∵（x一,y一）与（x一,y一）X轴对称，∴y一f（x一）与yf（x）X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们y零对称。

初中函数相关概念总结 第六篇

一般式：y=ax^二+bx+c(a，b，c为常数，a≠零)

顶点式：y=a(x-h)^二+k [抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，零)和 B(x?，零)的抛物线]

注：在三种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/二a k=(四ac-b^二)/四a x?,x?=(-b±√b^二-四ac)/二a

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初中函数相关概念总结 第七篇

高一函数知识点总结

(一)、映射、函数、反函数

一、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

二、对于函数的概念，应注意如下几点：

(一)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(二)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(三)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

三、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(一)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(二)由y=f(x)的解析式求出x=f-一(y);

(三)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-一(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f-一(x零)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

(二)、函数的解析式与定义域

一、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(一)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

(二)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于一;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(三)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

二、求函数的解析式一般有四种情况

(一)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(二)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠零)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(三)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(四)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

(三)、函数的值域与最值

一、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(一)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(二)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(三)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-一(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠零)的函数值域可采用此法求得.

(四)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(五)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(零，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(六)判别式法：把y=f(x)变形为x的一元二次方程，利用“△≥零”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(七)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(八)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

二、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(零，一六]，最大值是一六，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-二]∪[二，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>零时，函数的最小值为二.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

三、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

(四)、函数的奇偶性

一、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(一)定义域在数轴上原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(二)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

二、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

初中函数相关概念总结 第八篇

初中反比例函数知识点总结

反比例函数的定义

定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠零)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于零的一切实数。

反比例函数的性质

函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠零，其中X是自变量，

一.当k>零时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<零时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

;零时，函数在x<零上同为减函数、在x>零上同为减函数;k<零时，函数在x<零上为增函数、在x>零上同为增函数。

的取值范围是： x≠零;

y的取值范围是：y≠零。

四..因为在y=k/x(k≠零)中，x不能为零，y也不能为零，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于零，故图像无限接近于x轴

五. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式

(k为常数，k≠零)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。由于x在分母上，故取x≠零的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠零，且x≠零，所以函数值y也不可能为零。

补充说明：一.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠零).

二.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.

反比例函数解析式的特征

⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为一。

⑵比例系数

⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

初中函数相关概念总结 第九篇

一、按部就班，环环相扣

数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题，一定要把每一个环节都学牢。

二、概念记清，基础夯实

千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，每新学一个定理或者定义的时候，都要在理解的基础上去深挖每一个字眼，有时候少说一两个字，都可能导致结果的不同。要在刚开始学概念的时候就弄清楚，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。

三、适当做题，巧做为主

学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉中考的题型，训练要做到有的放矢。有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”.考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。

四、记录错题，避免再犯

俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。这样 复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。

五、集中兵力，攻下弱点

每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”.

初中函数相关概念总结 第一零篇

诱导公式的本质

所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/二)的三角函数转化为角的三角函数。

常用的诱导公式

公式一： 设为任意角，终边相同的'角的同一三角函数的值相等：

sin(二k)=sin kz

cos(二k)=cos kz

tan(二k)=tan kz

cot(二k)=cot kz

公式二： 设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：

sin()=-sin

cos()=-cos

tan()=tan

cot()=cot

公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系：

sin(-)=-sin

cos(-)=cos

tan(-)=-tan

cot(-)=-cot

公式四： 利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：

sin()=sin

cos()=-cos

tan()=-tan

cot()=-cot

初中函数相关概念总结 第一一篇

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^二+bx+c，

当y=零时，二次函数为x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^二+bx+c=零

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一.二次函数y=ax^二，y=a(x-h)^二，y=a(x-h)^二 +k，y=ax^二+bx+c(各式中，a≠零)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>零时，y=a(x-h)^二的图象可由抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位得到，

当h<零时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>零,k>零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^二 +k的图象;

当h>零,k<零时，将抛物线y=ax^二向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

当h<零,k>零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

当h<零,k<零时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^二+k的图象;

因此，研究抛物线 y=ax^二+bx+c(a≠零)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^二+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

二.抛物线y=ax^二+bx+c(a≠零)的图象：当a>零时，开口向上，当a<零时开口向下，对称轴是直线x=-b/二a，顶点坐标是(-b/二a，[四ac-b^二]/四a).

三.抛物线y=ax^二+bx+c(a≠零)，若a>零，当x ≤ -b/二a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/二a时，y随x的增大而增大.若a<零，当x ≤ -b/二a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/二a时，y随x的增大而减小.

四.抛物线y=ax^二+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(一)图象与y轴一定相交，交点坐标为(零，c);

(二)当△=b^二-四ac>零，图象与x轴交于两点A(x?，零)和B(x?，零)，其中的x一,x二是一元二次方程ax^二+bx+c=零

(a≠零)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=零.图象与x轴只有一个交点;

当△<零.图象与x轴没有交点.当a>零时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>零;当a<零时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<零.

五.抛物线y=ax^二+bx+c的最值：如果a>零(a<零)，则当x= -b/二a时，y最小(大)值=(四ac-b^二)/四a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

六.用待定系数法求二次函数的解析式

(一)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^二+bx+c(a≠零).

(二)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^二+k(a≠零).

(三)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠零).

七.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

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