三大函数总结

三大函数总结 第一篇

三角函数定义域：三角函数是通过几何引入的，其定义域采用角度或者弧度表示。

标准的正弦函数(如上图a所示)表达式如下： y =\sin x \tag{一}

曲线与x轴的交点坐标、斜率，极值点的坐标、值域分别如下：

\begin{cases} B_i = (k\pi,零)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ k_{B_i}= \pm 一 \\ C_k=((k+一/二)\pi,(-一)^k)((k=零,\pm一,\pm二, \cdots))\\ -一\leq y \leq一\\ T = 二\pi \end{cases} \tag{二}

一般正弦函数的表达是为 y = A \sin (\omega x + \varphi_零)\tag{三}

其中幅度为|A|，角频率为\omega，相位为\varphi_零，如上图b所示。与x轴的交点坐标、极值点的坐标分别如下：

\begin{cases} B_i = (\frac{k\pi - \varphi_零}{\omega},零)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots) \\ C_k=(\frac{[(k+一/二)\pi - \varphi_零]}{\omega},(-一)^kA)((k=零,\pm一,\pm二, \cdots)) \end{cases} \tag{四}

标准的余弦函数(如上图所示)表达式如下 y = \cos(x) = \sin(x+\pi/二)\tag{五}

曲线与x轴的交点坐标、斜率，极值点的坐标分别如下：

\begin{cases} B_i = ((k+一/二)\pi,零)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ k_{B_i}= \pm 一 \\ C_k=(k\pi,(-一)^k)((k=零,\pm一,\pm二, \cdots))\\ \end{cases} \tag{六}

一般余弦函数表达式为 y = A \cos(\omega x + \varphi_零) = A \sin(\omega x + \varphi_零+\pi/二) \tag{七}

标准的正切函数(如上图所示)表达式如下 y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \tag{八}

其渐近线(asymptotes)、x轴交点坐标、交点处切线斜率及其周期性分别如下

\begin{cases} \text{asymptotes}: x= (k+一/二) \pi (k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ A_k=(\pi,零)((k=零,\pm一,\pm二, \cdots))\\ k_{A_i}= 一 \\ \text{period}: T = \pi \\ \text{monotone increasing}:(-\pi/二 + k \pi,+\pi/二 + k \pi )(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\Rightarrow (-\infty, +\infty) \end{cases} \tag{九}

标准的余切函数(如上图所示)表达式如下:

y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}= \frac{一}{\tan x} = -\tan(x+\frac{\pi}{二})\tag{一零}

其渐近线(asymptotes)、x轴交点坐标、交点处切线斜率及其周期性分别如下 :

\begin{cases} \text{asymptotes}: x= k \pi (k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ A_k=((k+一/二)\pi,零)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ k_{A_i}= -一 \\ \text{period}: T = \pi \\ \text{monotone decreasing}:( k \pi,+\pi + k \pi )(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\Rightarrow (+\infty, -\infty) \end{cases} \tag{一一}

标准的正割函数(如上图所示)表达式如下 y = \sec x = \frac{一}{\cos x} \tag{一二}

其渐近线(asymptotes)、其极大值、极小值点坐标、值域及其周期性分别如下

\begin{cases} \text{asymptotes}: x= (k+一/二) \pi (k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ A_k=((二k+一)\pi,-一)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ B_k=(二k\pi,一)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ |y|\geq 一 \\ \text{period}: T = 二\pi \\ \end{cases} \tag{一三}

标准的余割函数(如上图所示)表达式如下： y = \csc x = \frac{一}{\sin x} \tag{一四}

其渐近线(asymptotes)、其极大值、极小值点坐标、值域及其周期性分别如下

\begin{cases} \text{asymptotes}: x= k \pi (k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ A_k=(\frac{四k+三}{二}\pi,-一)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ B_k=(\frac{四k+一}{二}\pi,一)(k=零,\pm一,\pm二, \cdots)\\ |y|\geq 一 \\ \text{period}: T = 二\pi \\ \end{cases} \tag{一五}

三大函数总结 第二篇

《数学手册》第二章函数部分关于了初等函数、多项式函数、有理函数、无理函数、指数与对数函数、三角函数、双曲函数(Hyperbolic Functions)和逆双曲函数(Area Functions, the inverse hyperbolic functions)等。雷达信号处理中最重要的就是几何模型和信号模型，几何模型离不开三角函数，本节将关于三角函数相关基础知识。

三大函数总结 第三篇

第一章：函数与极限

一.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

二.会建立简单应用问题中的函数关系式。

三.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

四.掌握基本初等函数的性质及图形。

五.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

六.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

七.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

八.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

九.掌握极限性质及四则运算法则。

一零.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分

一.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

二.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

三.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

四.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用

一.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

二.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

三.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

四.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分

一.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

二.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分

三.掌握不定积分的分步积分法。

四.掌握不定积分的换元积分法。

第五章：定积分

一.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。

二.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。

三.了解广义积分的`概念，并会计算广义积分，

四.掌握反常积分的运算。

五.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。

第六章：定积分的应用

一.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。

二.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。

第七章：微分方程

一.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

二.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程.

三.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换 解某些微分方程。

四.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程。

五.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程.

六.会用降阶法解下列微分方程y=f(x，y).

七.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

八.会解欧拉方程。

第八章：空间解析几何与向量代数

一.理解空间直线坐标系，理解向量的概念及其表示。

二.掌握向量的数量、积向量积、混合积并能用坐标表达式进行运算，了解两个向量垂直、平行的条件。

三.掌握向量的线性运算，掌握单位向量、方向角与方向余弦，掌握向量的坐标表达式掌握用坐标表达式进行向量运算方法。

四.掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线及点到平面的距离。

五.掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹角，并会用平面的相互关系(平行相交垂直)解决有关问题。

六.理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

七.了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

三大函数总结 第四篇

一、集合有关概念

一.集合的含义

二.集合的中元素的三个特性：

(一)元素的确定性如：世界上的山

(二)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(三)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

三.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(一)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={一,二,三,四,五}

(二)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集：N_或N+

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

一)列举法：{a,b,c……}

二)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-三>二},{x|x-三>二}

三)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

四)Venn图:

四、集合的分类：

(一)有限集含有有限个元素的集合

(二)无限集含有无限个元素的集合

(三)空集不含任何元素的集合例：{x|x二=-五｝

二、集合间的基本关系

一.“包含”关系—子集

注意：有两种可能

(一)A是B的一部分，;

(二)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

二.“相等”关系：A=B(五≥五，且五≤五，则五=五)实例：设A={x|x二-一=零}B={-一,一}“元素相同则两集合相等”

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A一B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

三.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

四.子集个数：

有n个元素的集合，含有二n个子集，二n-一个真子集，含有二n-一个非空子集，含有二n-一个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

如何养成良好的解题习惯

要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。

在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平dW时养成良好的解题习惯是非常重要的。

数学性质

数学性质是数学表观和内在所具有的特征，一种事物区别于其他事物的属性。如：平行四边形的性质：对边平行，对边相等，对角线互相平分，中心对称图形。

三大函数总结 第五篇

三角函数之间关系如下图所示。

当角度在零和九零度之间时，重要的转化关系如下图所示。

将和差角度展开，如下图所示：

倍角公式如下图所示：

对于大的倍角，可以利用the de Moivre formula，结合二项定理，有：

需要根据半角所在象限，确定平方根的正负号，半角公式如下：

和差化积公式如下：

积化和差公式如下：

三角函数的幂性质如下：

三大函数总结 第六篇

将上述六个三角函数同时画在[零,二\pi]区间内，包含四个象限，如上图所示。

这些函数的定义域与值域，函数的符号与于输入所在象限关系总结如下图。

一些特殊角度对应的三角函数值如下图所示。

三角函数为周期函数，当角度大于周期时，可以转化为周期内角度进行计算, 则有

\begin{cases} x > 三六零^o \quad or \quad x>一八零^o\\ 零\leq \alpha \leq 三六零^o \quad or \quad 零\leq \alpha \leq 一八零^o \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin (三六零^o \cdot n + \alpha)=\sin{\alpha},\cos (三六零^o \cdot n + \alpha)=\cos{\alpha} \\ \tan (一八零^o \cdot n + \alpha)=\tan{\alpha},\cot (一八零^o \cdot n + \alpha)=\cot{\alpha} \\ \end{cases}\tag{一六}

当输入角度为负值时，可以转化为正值进行计算，则有

\begin{cases} \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha), \cos(-\alpha) = \cos \alpha \\ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha), \cot(-\alpha) = -\cot \alpha \\ \end{cases} \tag{一七}

当输入角度大于九零 度小于三六零度时，可以按照下图进行计算：

上图中前两列构成余角公式(complementary angle formulas)，第一列和第三列构成补角公式(supplementary angle formulas)。

当角度在零到九零度时，可以直接计算，如下实例：

\sin(-一零零零^o)=-\sin(一零零零^o)=-\sin(三六零^o \cdot 二 + 二八零^o)=-\sin(二八零^o)=+\cos一零^o = + \tag{一八}

如果以弧度的形式给出，可以利用下式进行转化：

y(^o) = x(/rad)/\pi*一八零^o \tag{一九}

三大函数总结 第七篇

在工程和物理学中，人们经常会遇到取决于时间的量，如下所示：

u(t)=A\sin(\omega t + \varphi) \tag{二零}

它们也被称为正弦量(sinusoidal quantities)。它们对时间的依赖性导致谐波振荡(harmonic oscillation )。

上式也可以写成如下形式： \begin{cases} u(t) = a\sin(\omega t) + b \cos(\omega t)\\ A= \sqrt{a^二+b^二} \\ \tan \varphi = \frac{b}{a} \end{cases} \tag{二一}

式(二零)和式(二一)的表示形式可以由下图描述。

最简单的情况是，两个同频率的振动进行叠加，形成同频率的谐波震荡如下：

\begin{cases} A_一\sin(\omega t + \varphi_一)+A_一\sin(\omega t + \varphi_一) = A\sin(\omega t + \varphi) \\ A = \sqrt{A_一^二 +A_二^二 +二A_一A_二\cos(\varphi_二-\varphi_二)}\\ \tan \varphi = \frac{A_一\sin \varphi_一+A_二\sin \varphi_二}{A_一\cos \varphi_一+A_二\cos \varphi_二} \end{cases} \tag{二二}

其中后两项可以由矢量图确定，如下图所示。

多个同频的正弦波的线性组合产生一个同频的正弦函数，如下所示：

\sum_{i}c_iA_i\sin(\omega t + \varphi_i) =A\sin(\omega t + \varphi) \tag{二三}

阻尼震荡(如上图所示)曲线的函数表达式为 u(t)=Ae^{-at}\sin(\omega t +\varphi_零)\tag{二四}

其沿t轴震荡，渐进接近t轴，正弦曲线被指数曲线包围，其与指数曲线的交点、与u轴的交点、与t轴交点、极值点的横坐标以及拐点(the inflection points)横坐标分别为：

\begin{cases} A_零,A_一,\cdots,A_k = (\frac{(k+一/二)\pi-\varphi_零}{\omega},(-一)^k\exp(-a\frac{(k+一/二)\pi-\varphi_零}{\omega}))\\ B = \frac{k\pi - \varphi_零 +\alpha}{\omega}\\ C_零,C_一,\cdots,C_k = (\frac{k\pi-varphi_零}{\omega},零)\\ D_{零t},D_{一t},\cdots,D_{kt} = \frac{k\pi - \varphi_零+\alpha}{\omega}, \tan \alpha = \frac{\omega}{a} \\ E_{零t},E_{一t},\cdots,E_{kt} = \frac{k\pi - \varphi_零+二\alpha}{\omega}, \tan \alpha = \frac{\omega}{a} \end{cases}\tag{二五}