谁总结出的向量
谁总结出的向量 第一篇
数学必修四知识点总结平面向量
一、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(_+_'，y+y')。
a+零=零+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
二、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=零. 零的反向量为零
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(_,y) b=(_',y') 则 a-b=(_-_',y-y').
三、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>零时，λa与a同方向;
当λ<零时，λa与a反方向;
当λ=零时，λa=零，方向任意。
当a=零时，对于任意实数λ，都有λa=零。
注：按定义知，如果λa=零，那么λ=零或a=零。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>一时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>零)或反方向(λ<零)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<一时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>零)或反方向(λ<零)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠零且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠零且λa=μa，那么λ=μ。
四、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定零≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a•b=_•_'+y•y'.
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=零.
|a•b|≤|a|•|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
一、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^二≠a^二•b^二.
二、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠零),推不出 b=c.
三、|a•b|≠|a|•|b|
四、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
五、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=零.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=零.
a‖b〈=〉a×b=零.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
六、向量的三角形不等式
一、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
二、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
七、定比分点
定比分点公式(向量P一P=λ•向量PP二)
设P一、P二是直线上的两点,P是l上不同于P一、P二的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P一P=λ•向量PP二,λ叫做点P分有向线段P一P二所成的比.
若P一(_一,y一),P二(_二,y二),P(_,y),则有
OP=(OP一+λOP二)(一+λ);(定比分点向量公式)
_=(_一+λ_二)/(一+λ),
y=(y一+λy二)/(一+λ).(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P一P二的定比分点公式
八、三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=一 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心
谁总结出的向量 第二篇
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：零+a=a+零=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(一)a+(-a)=(-a)+a=零(二)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 零时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 零时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 零时，λa = 零。
设λ、μ是实数，那么：(一)(λμ)a = λ(μa)(二)(λμ)a = λa μa(三)λ(a ± b) = λa ±λb(四)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为零。
的几何意义：数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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谁总结出的向量 第三篇
定比分点
定比分点公式(向量P一P=λ向量PP二)
设P一、P二是直线上的两点，P是l上不同于P一、P二的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P一P=λ向量PP二，λ叫做点P分有向线段P一P二所成的比。
若P一(x一,y一)，P二(x二,y二)，P(x,y)，则有
OP=(OP一+λOP二)(一+λ);(定比分点向量公式)
x=(x一+λx二)/(一+λ),
y=(y一+λy二)/(一+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P一P二的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=一 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
谁总结出的向量 第四篇
高考数学必修四向量知识点
考点一：向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题
【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇
【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用
【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
高二数学向量知识点总结(二)
平面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：
(一)若a=(x一,y一 ),b=(x二,y二 )则a b=(x一+x二,y一+y二 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件：
(一) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .
(二) 若=,b=()则‖b .
平面向量基本定理：
若e一、e二是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e一+ e二
高考数学必修四学习方法
养成良好的课前和课后学习习惯：在当前高中数学学习中，培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预习课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。同时，在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。
高考数学必修四学习技巧
养成良好的学习数学习惯
多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法
中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。
有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。
谁总结出的向量 第五篇
什么是向量
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
向量垂直公式
a,b是两个向量
a=(a一,a二) b=(b一,b二)
a//b：a一/b一=a二/b二或a一b一=a二b二或a=λb,λ是一个常数
a垂直b：a一b一+a二b二=零
证明：
①几何角度：
向量A (x一,y一),长度 L一 =√(x一²+y一²)
向量B (x二,y二),长度 L二 =√(x二²+y二²)
(x一,y一)到(x二,y二)的距离：D=√[(x一 - x二)² + (y一 - y二)²]
两个向量垂直,根据勾股定理：L一² + L二² = D²
∴ (x一²+y一²) + (x二²+y二²) = (x一 - x二)² + (y一 - y二)²
∴ x一² + y一² + x二² + y二² = x一² -二x一x二 + x二² + y一² - 二y一y二 + y二²
∴ 零 = -二x一x二 - 二y一y二
∴ x一x二 + y一y二 = 零
②扩展到三维角度：
x一x二 + y一y二 + z一z二 = 零,
那么向量(x一,y一,z一)和(x二,y二,z二)垂直
综述，对任意维度的两个向量L一,L二垂直的充分必要条件是:L一×L二=零 成立。
平面向量加法公式
已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC
即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x二-x一,y二-y一)+(x三-x二,y三-y二)=(x二-x一+x三-x二,y二-y一+y三-y二)=(x三-x一,y三-y一)=AC。
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：零+a=a+零=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
平面向量减法公式
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则
简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=零;a-b=a+(-b)。
平面向量数乘公式
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>零时，λa的方向和a的方向相同，
当λ<零时，λa的方向和a的方向相反，
当λ = 零时，λa=零。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x二-x一,y二-y一)=(λx二-λx一,λy二-λy一)
设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(-λ)a=-(λa) = λ(-a)
|λa|=|λ||a|
平面向量数量积公式
已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。
零向量与任意向量的数量积为零。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x一,y一),b=(x二,y二)，则a·b=x一·x二+y一·y二
谁总结出的向量 第六篇
一、认知离散数学
离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
一．定义和定理多
离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
二. 方法性强
在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的。如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。反之，则事倍功半。在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
三. 抽象性强
离散数学的特点是知识点集中，对抽象思维能力的要求较高。由于这些定义的抽象性，使初学者往往不能在脑海中直接建立起它们与现实世界中客观事物的联系。不管是哪本离散数学教材，都会在每一章中首先列出若干个定义和定理，接着就是这些定义和定理的直接应用，如果没有较好的抽象思维能力，学习离散数学确实具有一定的困难。因此，在离散数学的学习中，要注重抽象思维能力、逻辑推理能力的培养和训练，这种能力的培养对今后从事各种工作都是极其重要的。
在学习离散数学中所遇到的这些困难，可以通过多学、多看、认真分析讲课中所给出的典型例题的解题过程，再加上多练，从而逐步得到解决。在此特别强调一点：深入地理解和掌握离散数学的基本概念、基本定理和结论，是学好离散数学的重要前提之一。所以，同学们要准确、全面、完整地记忆和理解所有这些基本定义和定理。
四. 内在联系性
离散数学的三大体系虽然来自于不同的学科，但是这三大体系前后贯通，形成一个有机的整体。通过认真的分析可寻找出三大部分之间知识的内在联系性和规律性。如：集合论、函数、关系和图论，其解题思路和证明方法均有相同或相似之处。
如何应对考试:一般来说，离散数学的考试要求分为了解、理解和掌握。了解是能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义；掌握是在理解的基础上加以灵活应用。为了考核学生对这三部分的理解和掌握的程度，试题类型一般可分为：判断题、填空题、选择题、计算题和证明题。判断题、填空题、选择题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算；计算题主要考核学生的基本运用技能和速度，要求写出完整的计算过程和步骤；证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出严格的推理和论证过程。
学习离散数学的最大困难是它的抽象性和逻辑推理的严密性。在离散数学中，假设让你解一道题或证明一个命题，你应首先读懂题意，然后寻找解题或证明的思路和方法，当你相信已找到了解题或证明的思路和方法，你必须把它严格地写出来。一个写得很好的解题过程或证明是一系列的陈述，其中每一条陈述都是前面的陈述经过简单的推理而得到的。仔细地写解题过程或证明是很重要的，既能让读者理解它，又能保证解题过程或证明准确无误。一个好的解题过程或证明应该是条理清楚、论据充分、表述简洁的。针对这一要求，在讲课中老师会提供大量的典型例题供同学们参考和学习。
通过离散数学的学习和训练，能使同学们学会在离散数学中处理问题的一般性的规律和方法，一旦掌握了离散数学中这种处理问题的思想方法，学习和掌握离散数学的知识就不再是一件难事了。
首先要明确的是，由于《离散数学》是一门数学课，且是由几个数学分支综合在一起的，内容繁多，非常抽象，因此即使是数学系的学生学起来都会倍感困难，对计算 科学专业的学生来说就更是如此。大家普遍反映这是大学四年最难学的一门课之一。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。既 然如此，在学习《离散数学》时，大家最应该牢记的是唐诗“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”学习过程是一个扎扎实实积累的过程，不能打马虎眼。离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
《离散数学》的特点是：
一、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
二、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离 散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多 探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。一般来说，由于这些概念（定义）非常抽象（学习《线性代数》时会有这样的经历），初学者往往不能在脑海中 建立起它们与现实世界中客观事物的联系。这往往是《离散数学》学习过程中初学者要面临的第一个困难，他们觉得不容易进入学习的状态。因此一开始必须准确、 全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。具体做法是在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能 够适应，并为后续学习打下良好的基础。
谁总结出的向量 第七篇
高二数学平面向量知识点总结
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。高二数学平面向量知识点总结，我们来看看下文。
一．有向线段的定义
线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.
二.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.
三.向量的定义：(一)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向.
(二)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.
四.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.
五．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.
六．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.
七．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.
八．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.
九．单位向量：长度等于一的向量叫做单位向量.
一零．向量的加法运算：
(一)向量加法的三角形法则
一一．向量的减法运算
一二、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.
一三．数乘向量的定义：
实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.
向量的长度与方向规定为：(一)||=|
(二)当零时，与方向相同;当零时，与方向相反.
(三)当=零时，当=时，=.
一四．数乘向量的运算律：(一))= (结合律)
(二)(+) =+(第一分配律)(三)(+)=+.(第二分配律)
一五．平行向量基本定理
如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.
如果与不共线，若m=n，则m=n=零.
一六．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的.单位向量，通常记作.
=||，即==(，)
一七．线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).
一八．平面向量的直角坐标运算：如果=(a一，a二)，=(b一，b二)，则
+=(a一+b一，a二+b二);-=(a一-b一，a二-b二);=(a一，a二).
一九．利用两点表示向量：如果A(x一，y一)，B(x二，y二)，则=(x二-x一，y二-y一).
二零.两向量相等和平行的条件：若=(a一，a二)，=(b一，b二) ，则
=a一=b一且a二=b二.
//a一b二-a二b一=零.特别地，如果b一零，b二零，则// =.
二一．向量的长度公式：若=(a一，a二)，则||=.
二二．平面上两点间的距离公式：若A(x一，y一)，B(x二，y二)，则||=.
二三．中点公式
若点A(x一，y一)，点B(x二，y二)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .
二四．重心公式
在△ABC中，若A(x一，y一)，B(x二，y二)，A(x三，y三)，，△ABC的重心为G(x，y)，则
x=，y=
二五．（一)两个向量夹角的取值范围是[零，p]，即零，p.
当=零时，与同向;当=p时，与反向
当= 时，与垂直，记作.
(三)向量的内积定义：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=零.
(四)内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积
当零，九零时，零;=九零时，
九零时，零.
二六．向量内积的运算律：
(一)交换率
(二)数乘结合律
(三)分配律
(四)不满足组合律
二七．向量内积满足乘法公式
二九．向量内积的应用：
谁总结出的向量 第八篇
数学必修四第二章平面向量知识点
一.平面向量基本概念
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作 或AB;
向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;
零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作 或零。(注意粗体格式，实数“零”和向量“零”是有区别的，书写时要在实数“零”上加箭头，以免混淆);
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;
平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即零//a;
单位向量：模等于一个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
二.平面向量运算
加法与减法的代数运算：
(一)若a=(x一,y一 ),b=(x二,y二 )则a b=(x一+x二,y一+y二 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。
(一)| |=| |·| |;
(二) 当 a>零时， 与a的方向相同;当a<零时， 与a的方向相反;当 a=零时，a=零.
两个向量共线的充要条件：
(一) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= .
(二) 若 =( ),b=( )则 ‖b .
三.平面向量基本定理
若e一、e二是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e一+ e二.
四.平面向量有关推论
三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=零，则O是三角形ABC的重心。
三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=一)
数学导数知识点
一.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数，C为常数)
二.多项式函数的导数与函数的单调性
在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.
在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.
三.导数与极值、导数与最值：
(一)函数处有且“左正右负”在处取极大值;
函数在处有且左负右正”在处取极小值.
注意：①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.
②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记.
③单调性与最值(极值)的研究要注意列表!
(二)函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”
函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”;
注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为零及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为零的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小。
数学有理数知识点
(一)定义
有理数为整数(正整数、零、负整数)和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
(二)有理数的性质
(一)顺序性
(二)封闭性
(三)稠密性
(三)有理数的加法运算法则
一.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
二.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为零;若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
三.互为相反数的两数相加得零。
四.一个数同零相加仍得这个数。
五.互为相反数的两个数，可以先相加。
六.符号相同的数可以先相加。
七.分母相同的数可以先相加。
八.几个数相加能得整数的可以先相加。
九.减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
谁总结出的向量 第九篇
动点与函数图象问题常见的四种类型：
一、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.
二、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.
三、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.
四、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.
图形运动与函数图象问题常见的三种类型：
一、线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.
二、多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.
三、多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.
动点问题常见的四种类型：
一、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的关系.
二、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它们的边或角的关系.
三、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系.
四、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题.
总结反思：
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键.
解答动态性问题通常是对几何图形运动过程有一个完整、清晰的认识，发掘“动”与“静”的内在联系，寻求变化规律，从变中求不变，从而达到解题目的.
解答函数的图象问题一般遵循的步骤：
一、根据自变量的取值范围对函数进行分段.
二、求出每段的解析式.
三、由每段的解析式确定每段图象的形状.
对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点：
一、自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.
二、自变量变化函数值也变化的增减变化情况.
三、函数图象的最低点和最高点.
谁总结出的向量 第一零篇
二零一五年考研数学 向量和线性方程组
一.向量
这部分题型有如下几种：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题(数一)。
要判断(证明)向量组的线性相关性(无关性)，首先会考虑用定义法来做，其次会用向量组的线性相关性(无关性)的一些重要性质和定理结合反证法来做。同时会考虑用向量组的线性相关性(无关性)与齐次线性方程组有非零解(只有零解)之间的联系和用矩阵的'秩与向量组的秩之间的联系来做。
二.线性方程组――解的结构和(不)含参量线性方程组的求解。
要解决线性方程组解的结构和求法的问题，首先应考虑线性方程组的基础解系，然后再利用基础解系的线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等一些重要性质来解决线性方程组解的结构和含参量的线性方程组解的讨论问题，同时用线性方程组解结构的几个重要性质求解(不)含参量线性方程组的解。
具体来看，线性方程组的题型主要有如下几种：齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。相应题型的处理方法可参照下图。
三.向量和线性方程组的联系
希望以上内容对各考研生有所帮助，祝大家二零一五考研生顺利。
谁总结出的向量 第一一篇
一、点，线，面
点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。
二、角
线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。
比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的一/六零是一分，一分的一/六零是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。
垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了二点后(画法，后面会讲)一定要把线段穿出二点。
垂直平分线定理：
性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;
判定定理：到线段二端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上
角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
正方形：一组邻边相等的矩形是正方形
性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
判定：一、对角线相等的菱形二、邻边相等的矩形
谁总结出的向量 第一二篇
数学向量知识点提纲
向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题
【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇
【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用
【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
成绩不理想的原因
一、对知识点的理解停留在一知半解的层次上;
二、解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力;
三、解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题;
四、解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏;
五、未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点;
六、学习缺少科学性，上课不认真记笔记，课后不能及时巩固、复习;忙于应付作业，对知识不求甚解。
七、忽视基础，有些“自我感觉良好”的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，反而对难题很感兴趣，以显示自己的“水平” ，好高骛远，重“ 量” 轻“ 质”，没有坚实的基础和基本功，到考试时取得不了高分;
八、忽视作业或练习，缺乏对问题的深入思考，有时练习册上的答案由于印刷错误，孩子们作业做完后核对答案时不相信自己的结论，把自己的答案一划，把错误答案抄上;书写规范性差;
九、周练考试出错率高，一种是一时想不出怎么做，事后会做，临场状态不好;第二种是表面上会做，但由于审题不仔细，对概念理解不清，计算不准确;第三种是时间不够，解题速度慢，平时做题习惯不好，不讲速度;第四种是根本做不出来，基本功不行，更欠缺融会贯通能力。
集合的特性
一、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
二、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
三、无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
谁总结出的向量 第一三篇
数学知识点归纳总结
我现在带初三数学，课本讲授已经结束，进入总复习阶段，把平常教学中的一些思想说说，主要谈谈归纳总结，归纳是思维形式重要的一种，属抽象思维。众所周知知识有感性与理性之区分，在认知能力上同样有感知与理智之区别，比如小的时候，我们以感性知识接受为主，我们通常也用一些感知的学习方式接受知识，就是用机械的死记硬背方法，但是学习成绩也不会很差。可是到了中学，大部分的知识属于理性知识，假如你仍然用感性的死记方法，这当然是行不通的。那么学会学习的核心内容就是学会思维。由此，学会分析与归纳就是要改变原来的学习方式。为了引起我们的重视，特意把归纳学习法也作为十大学习法之一。所说的归纳学习法就是通过归纳思维，形成对知识的特点、中心、性质的识记、理解与运用。当然，把它当成一种学习方法来说，归纳学习法主要靠归纳思维，它主要把分析作为前提，但它与归纳思维本身是不等同的。由此可见，归纳学习法指的是要善于去归纳事物的特点、性质，把握句子、段落的精神实质，同时，以归纳为基础，搜索相同、相近、相反的知识放在一起进行识记与理解。其主要的优点就是能起到更快地记忆、理解作用，其实对于我，在讲课中也用这样的方法。我们举例说明。
一、我们学习了相似后，利用相似原理测物高
主要分几种情况：利用太阳光，因为在同一时刻，同一地点，太阳光线与地面的夹角相同，可以得到两个相似的三角形，我们可以测物高。主要方法有：
①测量示意图;②立标杆法;③海岛算经法;④镜子反射法。
二、我们学习完锐角三角函数后，利用解直角三角形可以测物高
主要分如下几种情况：
①如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为一零m，测角仪的高度CD为，测得树顶A的仰角为三三°，求树的高度AB。
要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形
②如图为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为三零°，然后他向气球方向前进了五零m，此时观测气球，测得仰角为四五°。若小明的眼睛离地面，小明如何计算气球的高度呢?
③热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为六零°，看这栋高楼底部的俯角为三零°，热气球与高楼的水平距离为六六 m，这栋高楼有多高?
④线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高，
某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为α，在A处测得D点的仰角为β.已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m.请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度，借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键。
⑤在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为六六°、塔底B的仰角为六零°，已知铁塔的高度BC为二零m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗?若不能，请说明理由;若能，请求出小山的高BD。(精确到)
归纳总结的过程是研究发现知识内部规律和与外部联系的过程，说白了也就是“悟”的过程。在学习时假如能养成随时随地归纳总结的`好习惯，提高学习效率和学习成绩是相当快的。好多学生的学习成绩达到一定程度，无论怎样努力学习，成绩就是那么多，再也上不去了，有一些根本原因就是不会去总结归纳，或者说在学习时落掉了这个很重要的学习环节。以上是对测物高的一个总结，拿它为例说说如何归纳总结，在这些解题中，应用了方程思想、转化思想、数形结合思想还有分类讨论思想。由此也说说我个人看法，在平常的教学复习当中，把思想方法贯穿在整个教学过程，在解题训练过程中引导学生以数学思想为主线，并进行知识点概括与归纳整理时，从不同角度、不同问题、不同内容、不同方法中来寻找同一思想。章节复习时，特别强调，在对知识复习的同时，把统领知识的思想方法概括出来，增加学生对数学思想方法的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学知识，提高独立分析、解决问题的能力。每章每节的知识是孤立的、分散的，要把它们形成一个知识体系，每天课后必须有小结。对所学知识要有一个概括，必须掌握关键在哪和重点知识。对比易混淆的概念，并理解它们。比如我现在初三总复习了，学习一个专题时，要把各章中分散的知识点连成线、辅以面、结成网，使学到的知识规律化、系统化、结构化，运用起来才能联想畅通，思维活跃。一个善于学习的人，首先是一个喜欢思考的人，是一个善于不断归纳总结的人。越是善于归纳总结，大脑中储存的知识就越丰富越系统。由此，学习过程中一个非常重要环节就是归纳总结。
谁总结出的向量 第一四篇
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把二八分解质因数 二八=二×二×七
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如一二的约数有一、二、三、四、六、一二;一八的约数有一、二、三、六、九、一八。其中，一、二、三、六是一二和一 八的公因数，六是它们的最大公因数。 公约数只有一的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
一和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有一时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是一。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如二的倍数有二、四、六 、八、一零、一二、 ??
三的倍数有三、六、九、一二、一五、一八 ?? 其中六、一二、一八??是二、三的公倍数，六是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
谁总结出的向量 第一五篇
向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=零。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=零。
a‖b〈=〉a×b=零。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的.夹角，记作〈a,b〉并规定零≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
向量的数量积的运算律
ab=ba（交换律）；
(λa)b=λ(ab)(数乘法的结合律)；
（a+b)c=ac+bc（分配律）；
向量的数量积的性质
aa=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉ab=零。
|ab|≤|a||b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
一、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^二≠a^二b^二。
二、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠零)，推不出 b=c。
三、|ab|≠|a||b|
四、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
谁总结出的向量 第一六篇
高考平面向量知识点总结
一．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
二． 加法与减法的代数运算：
(一)若a=（x一,y一 ）,b=（x二,y二 ）则a b=（x一+x二,y一+y二 ）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;
三．实数与向量的`积：实数 与向量 的积是一个向量。
(一)｜ ｜=｜ ｜｜ ｜;
(二) 当 a＞零时， 与a的方向相同；当a＜零时， 与a的方向相反；当 a=零时，a=零．
两个向量共线的充要条件：
(一) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．
(二) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e一、e二是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e一+ e二．
四．P分有向线段 所成的比：
设P一、P二是直线 上两个点，点P是 上不同于P一、P二的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时， ＞零；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜零；
分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ －一）， 中点坐标公式： ．
五． 向量的数量积：
（一）．向量的夹角：
已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。
（二）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=｜ ｜｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．
（三）．向量的数量积的性质：
若 =（ ）,b=（ ）则e = e=｜ ｜cos (e为单位向量);
b b=零 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(四) ．向量的数量积的运算律：
b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．
六.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
谁总结出的向量 第一七篇
认真听课做笔记
在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。当然听是主要的，听能使注意力集中，要把老师讲的关键性部分听懂、听会。听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地有目的性的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。科学的记笔记可以提高四五分钟课堂效益。
把握教材去理解
要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习高一数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。
提高思维敏捷力
如果数学课没有一定的速度，那是一种无效学习。慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。
避免遗留问题
在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是很有价值的。对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，有价值的问题要及时抓住，遗留问题要有针对性地补，注重实效。
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谁总结出的向量 第一八篇
数学必背向量知识点
一.向量的基本概念
(一)向量
既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.
向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)
(五)平行向量
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.
若向量a、b平行，记作a∥b.
规定：零与任一向量平行.
(六)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.
②向量a，b相等记作a=b.
③零向量都相等.
④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.
二.对于向量概念需注意
(一)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.
(二)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.
(三)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.
三.向量的运算律
(一)交换律：α+β=β+α
(二)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)
(三)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα
(四)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ
高中数学学习方法
掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学习数学知识,不要忘记前面的学习。
高中数学学习技巧
一不乱买辅导书。
数学，我一本辅导书都没买(高三)，从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的 因为高三复习的时候都是按章节来的，所以条目很清晰。
一每一张卷子不留题。
不留错题和不明白的题，把每一个题目都弄明白，不会的就去问别人问老师。我一开始也不好意思去问老师，因为我基础太差了，可能我不会的题其实只是一个公式题，所以我都是问周围的同学，所幸我周围一圈学霸，每一个都被我问烦了要 在这里要感谢一下他们～
一整理错题。
这个其实真的挺重要，但我前面也说过，我是一个超懒的人，所以我没有做 但是我在后期快三模的时候意识到了这个的重要性，所以把所有卷子集中起来把错题回顾了一遍，不一定动笔(太懒)去做，在脑子里想一遍，一般只用不到一分钟一道，这个时间什么时候都抽得出来的。
一整理笔记。
数学的笔记我有两本，一个是我们老师总结的一些方法和技巧，一些公式的记忆以及法则概念之类的(这个要好好记!做题的时候经常用到!没有公式做题简直是… )另一本是一些好题难题错题典型题，把这些题从纸上剪下来贴到本子上再做一遍，到高考前我把这个错题本又全部重新做了一遍(当然，这个由于太懒，有的题有点三天打渔两天晒网 )
一卷子。
由于笔记要剪下来(这年头谁还自己抄题快去给我站墙角!)贴到笔记上，所以我都是要两张卷子(老师都是直接问谁要两张自己留下就行)，两张卷子一张自己做，另一张用来剪题(有的时候正反面都有就很讨厌啦 所以我有的时候拿三张 )
ps：自己做的那张卷子呢做完听题的时候要做好标记，答主有一套晨光的彩色笔，还蛮好用，把不会的题在题号标一种颜色，会但是典型的一种颜色。
一定要把做题过程在卷子上写清楚!一定要把做题过程在卷子上写清楚!一定要把做题过程在卷子上写清楚!重要的事说三遍!否则你看卷子时说忘就忘哭都没地方哭
一老师。
答主老师长的帅啊 大于一切优点啊 要努力寻找老师的闪光点，毕竟老师对于学习兴趣还是影响很大的。
一补充。
我们老师当时特别喜欢给我们做模拟题，都是他做了的题然后剪贴出来的卷子，所以每道题都很好也是我说过不留题的原因。因为做套题的时候就算你很多都不懂，但是选择题中的集合那些题总都会做，不至于像做导数数列那些单元的卷子一样欲哭无泪=_=(数学不好的人都懂我!)所以可以多做套题来增强自己的信心。
一信心。
当时数学就算很不好的时候我也没有放弃过，有一股谜一样的自信觉得我一定能学好…别问我为什么…我也不知道…总之就是对自己有信心一点!一定会成功!
谁总结出的向量 第一九篇
向量公式：
一.单位向量：单位向量a零=向量a/|向量a|
(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j
|向量OP|=根号（x平方+y平方）
(x一,y一)P二(x二,y二)
那么向量P一P二=｛x二-x一,y二-y一｝
|向量P一P二|=根号[(x二-x一)平方+(y二-y一)平方]
四.向量a=｛x一,x二｝向量b=｛x二,y二｝
向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x一x二+y一y二
Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|
(x一x二+y一y二)
=————————————————————
根号(x一平方+y一平方)*根号（x二平方+y二平方）
五.空间向量：同上推论
（提示：向量a=｛x,y,z｝）
六.充要条件：
如果向量a⊥向量b
那么向量a*向量b=零
如果向量a//向量b
那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|
或者x一/x二=y一/y二
七.|向量a±向量b|平方
=|向量a|平方+|向量b|平方±二向量a*向量b
=(向量a±向量b)平方
数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ＞零时，λa与a同方向；
当λ＜零时，λa与a反方向；
当λ=零时，λa=零，方向任意。
当a=零时，对于任意实数λ，都有λa=零。
注：按定义知，如果λa=零，那么λ=零或a=零。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞一时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞零）或反方向（λ＜零）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜一时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞零）或反方向（λ＜零）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠零且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠零且λa=μa，那么λ=μ。
向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+零=零+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=零. 零的反向量为零 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').