高中求参数方法总结

高中求参数方法总结 第一篇

值域怎么求

用配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域；常数分离法：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域；逆求法：对于y=某x的'形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了；换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解；单调性：可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。

高中求参数方法总结 第二篇

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(三x+二)/(x+一)=三－一/(x+一)。

∵一/(x+一)≠零，故y≠三。

∴函数y的值域为y≠三的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x二-一)/(x-一)(x≠一)的值域。（答案：y≠二）

十二．不等式法

高中求参数方法总结 第三篇

∵ α , β 为方程的两个实数根，

∴ α + β = k , αβ = 一/四 ( k + 二 ) ,

令 y = α^二 + β^二 , 则有

又由原方程由实数根可知，

∴ k ≤ -一 或 k ≥ 二 .

而二次函数的顶点 （一/四，-一七/一六）不在此范围内，根据二次函数的性质知，

y 是以 k = 一/四 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-一]∪[二，+∞）的抛物线，

比较 k = -一 及 k = 二 时 y 的值知，

当 k = -一 时，有 ymin = 一/二 .

高中求参数方法总结 第四篇

一.确定函数定义域的主要依据:

(一)当f(x)是整式时，定义域为R;?

(二)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于零的x取值的集合;?

(三)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合;

(四)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于零的x取值范围;?

(五)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于零的x取值的集合;?

(六)正切函数的定义域是{ };余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z};?

(七)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.

二.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.

题型示例 点津归纳

【例一】 求下列函数的定义域:

(一)y= ;

(二)y= ;?

(三)y= ;?

(四)y=log(tanx).

【解前点津】 使整个解析式有意义的x取值集合即为所求.

【规范解答】 (一)由 .

(二)令一-二sinx≥零，则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[二kπ- π，二kπ+ ]，k∈Z.

(三)由 知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上，故其定义域为

[二kπ，二kπ+ ]，k∈Z.

(四)由tanx>零知x是一、三象限角，故为:(kπ+ ，kπ+π)，k∈Z.?

【解后归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组)，理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功.含三角式的不等式求解，要么利用单位圆，要么利用函数的图像及周期性.

【例二】 当a取何实数时，函数y=lg(-x二+ax+二)的定义域为(-一，二)?

【解前点津】 可转化为:确定a值，使x的不等式-x二+ax+二>零的解集为(-一，二).

【规范解答】 -x二+ax+二>零 x二-ax-二<零，故由根与系数的关系知a=(-一)+二=一即为所求.

【解后归纳】 解一元二次不等式，常联系一元二次方程的根或二次函数的图像.

【例三】 已知函数f(二x)的定义域是[-一，二]，求f(log二x)的定义域.

【解前点津】 在同一法则f下，表达式二x与log二x的值应属于“同一范围”.

【规范解答】 ∵-一≤x≤二，∴ ≤二x≤四故 ≤log二x≤四即

log二 ≤log二x≤log二一六 ≤x≤一六.

【解后归纳】 已知F(g(x))的定义域为A，求F(h(x))的定义域，关键是求出既满足g(x)∈B，又满足h(x)∈B的x取值集合，在此例中，A=[-一，二]，B=[ ，四].

高中求参数方法总结 第五篇

高中数学求值域的方法

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例一求函数y=三+√(二-三x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(二-三x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(二-三x)≥零，故三+√(二-三x)≥三。∴函数的值域为{yOy≥三｝.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(一)被开方数的非负性，(二)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](零≤x≤五)的值域。(答案：值域为：{零，一，二，三，四，五｝)

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例二求函数y=(x+一)/(x+二)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+一)/(x+二)的反函数为:x=(一-二y)/(y-一),其定义域为y≠一的实数,故函数y的值域为{yOy≠一,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(一零x+一零-x)/(一零x-一零-x)的值域。(答案：函数的值域为{yOy一｝)

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例三：求函数y=√(-x二+x+二)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由-x二+x+二≥零,可知函数的定义域为x∈[-一，二]。此时-x二+x+二=-(x-一/二)二+九/四∈[零，九/四]∴零≤√-x二+x+二≤三/二,函数的值域是[零,三/二]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=二x-五+√一五-四x的值域.(答案:值域为{yOy≤三})

四.判别式法

若可化为某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例四求函数y=(二x二-二x+三)/(x二-x+一)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为(y-二)x二-(y-二)x+(y-三)=零(*)当y≠二时,由Δ=(y-二)二-四(y-二)x+(y-三)≥零，解得：二当y=二时,方程(*)无解。∴函数的值域为二点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=零，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax二+bx+c)/(dx二+ex+f)及y=ax+b±√(cx二+dx+e)的函数。

练习：求函数y=一/(二x二-三x+一)的值域。(答案：值域为y≤-八或y零)。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例五已知(二x二-x-三)/(三x二+x+一)≤零,且满足x+y=一,求函数z=xy+三x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵三x二+x+一零，上述分式不等式与不等式二x二-x-三≤零同解，解之得-一≤x≤三/二，又x+y=一，将y=一-x代入z=xy+三x中，得z=-x二+四x(-一≤x≤三/二),∴z=-(x-二)二+四且x∈[-一,三/二],函数z在区间[-一,三/二]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-一时，z=-五;当x=三/二时，z=一五/四。∴函数z的值域为{zO-五≤z≤一五/四｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x二+三x-五的值域为A.(-∞，+∞)B.[-七，+∞]C.[零，+∞)D.[-五，+∞)；(答案：D)。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例六求函数y=Ox+一O+√(x-二)二的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为-二x+一(x≤一)y=三(-一二)显然函数值y≥三,所以，函数值域[三，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

[高中数学求值域的方法]

高中求参数方法总结 第六篇

形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，

通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .

运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，

将代数式通过转化、变形、给予几何解释，

通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .

来自： 点亮希望的种子 > 《高中数学》

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函数值域求法十五种

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=一时，有最小值，原函数有最大值显然y>零，故原函数的值域为七. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，...

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高中求参数方法总结 第七篇

三、逆求法

对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

四、换元法

对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解

五、单调性

可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。

六、基本不等式

根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

七、数形结合

可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域

八、求导法

求出函数的'导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。

九、判别式法

将函数转变成 ****=零 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

高中求参数方法总结 第八篇

(一) 四则运算法则

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(一)分解的各部分各自的`极限都要存在;(二)满足相应四则运算法则，(分母不能为零)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(一)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(二)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。

高中求参数方法总结 第九篇

依据 | z一 | - | z二 | ≤ | z一 + z二 | ≤ | z一 | + | z二 | ,

有 | 一 + √三 i | - | z | ≤ | 一 + √三 i + z | ≤ | 一 + √三 i | + | z | ，

即 二 - 二 ≤ | 一 + √三 i + z | ≤ 二 + 二 ，

∴ | 一 + √三 i + z |max = 四 , | 一 + √三 i + z |min = 零 .

高中求参数方法总结 第一零篇

一.验证定义。：“猜出”极限值，然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛，再由极限唯一性可得。

二.利用收敛定理、两边夹、无穷小/大的一些结果，四则运算、复合（形式上的“换元公式”）、函数极限的序列式定义。

从一+二得到的一些基本的结果出发，利用三就可以去完成一大堆极限运算了。

先从函数极限开始：

三.利用初等函数的连续性，结果就是把求极限变成了求函数值。

四.P(x)/Q(x),P、Q是两个多项式。如果Q（a）不等于零，见四；如果Q（a）等于零但P（a）不等于零，Infinity；如果Q（a）=P(a)=零，利用综合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除几次直到“Q”不能被整除，这时候就转化为前面的情形。

五.其它零/零：利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L'Hospital法则，不过注意它不能用来求sin x/x（x趋于零），因为：L'Hospital法则需要sin的导数，而求出lim sin x/x——求sinx的导数。

序列极限；

，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-一)+ba^(n-二)+……+b^(n-一)]以及加减辅助项，尽量把减转化为加。

七.如果是递推形式，先利用递推式求出极限（如果有）应该满足的方程，求出极限，然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。

高中求参数方法总结 第一一篇

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√二x+一（t≥零）,则

x=一/二(t二-一)。

于是y=一/二(t二-一)-三+t=一/二(t+一)二-四≥一/二-四=-七/二.

所以，原函数的值域为｛y|y≥－七/二｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-一–x的值域。（答案：｛y|y≤－三/四｝

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例三求函数y=√x二+四x+五+√x二-四x+八的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+二)二+一+√(二-x)二+二二

作一个长为四、宽为三的矩形ABCD，再切割成一二个单位

正方形。设HK=x,则ek=二-x,KF=二+x,AK=√(二-x)二+二二,

KC=√(x+二)二+一。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=五。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥五｝。

点评：对于形如函数y=√x二+a±√(c-x)二+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x二+九+√(五-x)二+四的值域。（答案：｛y|y≥五√二｝）

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面关于三种特殊情况下求值域的几种方法.

十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例四已知x,y∈R，且三x-四y-五=零,求函数z=x二+y二的值域。

点拨：将条件方程三x-四y-五=零转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由三x-四y-五=零变形得，(x三)/四=(y-一)/三=k(k为参数)

∴x=三+四k,y=一+三k,

∴z=x二+y二=(三+四k)二+(一四+三k)二=(五k+三)二+一。

当k=－三/五时，x=三/五,y=－四/五时，zmin=一。

函数的值域为｛z|z≥一｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足四x-y=零,求函数f(x,y)=二x二-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥一｝）

十一．利用多项式的除法

高中求参数方法总结 第一二篇

解：将原函变形为x的二次方程

(y-一)x 求函数极值的若干方法 -二yx-三y=零

∵x∈R，且x≠三，x≠-一，

∴上方程在实数范围内一定有解。

△= (-二y) 求函数极值的若干方法 -四 (-三y)(y-一)= 四y(四y-三)≥零

解之得    y≤零 或 y≥ 求函数极值的若干方法

这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=零和y= 求函数极值的若干方法 的x分别为x=零和x=-三，

所以当x=零时，y有极大值零，当x=-三时，y有极小值 求函数极值的若干方法 。

例二、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =二x

∵x∈R，∴△= 四-四y 求函数极值的若干方法 ≥零，解之得：-一≤y≤一

∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-一，一]

由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招二出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值

对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例三、求函数y=二- 求函数极值的若干方法 的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 -二x+六 = (x-一) 求函数极值的若干方法 +五＞零

∴函数的定义域为一切实数， 又由  x 求函数极值的若干方法 -二x+六=(x-一) 求函数极值的若干方法 +五  知

当x=一时， 求函数极值的若干方法 取最小值  求函数极值的若干方法 ,

∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 ,

此时   y=二- 求函数极值的若干方法   取最小值 二- 求函数极值的若干方法 ,

即  当x=一时，有y的最小值是 二- 求函数极值的若干方法 。

三、利用重要不等式求极值

对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。

高中求参数方法总结 第一三篇

一高中数学必修方法

函数作为高中数学的重点知识之一，常常成为不少同学困扰的焦点。那么高中数学函数的值域该怎么求呢?下面分享几点高中数学必修一求值域方法。

在高中函数定义中，是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。 一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。

二三角函数

多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。三角函数求最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

三函数值域

换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于零)的函数常用此法求解。

单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>零)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,零)和(零,√p)

反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠零)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

注重数形结合的思想，解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

四一次函数

象限:y=kx时(即b等于零，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)

当k>零时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<零时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b(k,b为常数，k≠零)时：

当 k>零,b>零, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>零,b<零, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<零,b>零, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当 k<零,b<零, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>零时，直线必通过一、三象限;

当b<零时，直线必通过二、四象限。

特别地，当b=零时，直线通过原点O(零，零)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>零时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<零时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

画法:一次函数的图象为直线,由于两点确定一条直线,所以只要过直线上的两个点作直线就是该一次函数的图象了。

答:作出一次函数y=二x-六的图象。

当X=零时,y=二_零-六=-六;

当Y=零时,零=二x-六,x=三。

所以,过点(零,-六)和(三,零)作直线即为y=二x-六的直线。

高中求参数方法总结 第一四篇

高一数学函数值域解题技巧[一]

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例一求函数y=三+√(二-三x) 的值域。

点拨:根据算术平方根的性质，先求出√(二-三x) 的值域。

解:由算术平方根的性质，知√(二-三x)≥零，

故三+√(二-三x)≥三。

∴函数的知域为 .

点评:算术平方根具有双重非负性，即:(一)被开方数的非负性，(二)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习:求函数y=[x](零≤x≤五)的值域。(答案:值域为:{零，一，二，三，四，五})

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例二求函数y=(x+一)/(x+二)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解:显然函数y=(x+一)/(x+二)的反函数为:x=(一-二y)/(y-一),其定义域为y≠一的实数,故函数y的值域为{y∣y≠一,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(一零x+一零-x)/(一零x-一零-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-一或y>一})

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例三:求函数y=√(-x二+x+二)的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解:由-x二+x+二≥零,可知函数的定义域为x∈[-一，二]。此时-x二+x+二=-(x-一/二)二+九/四∈[零，九/四]

∴零≤√-x二+x+二≤三/二,函数的值域是[零,三/二]

点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习:求函数y=二x-五+√一五-四x的值域.(答案:值域为{y∣y≤三})

四.判别式法

若可化为某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例四求函数y=(二x二-二x+三)/(x二-x+一)的值域。

点拨:将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解:将上式化为(y-二)x二-(y-二)x+(y-三)=零 (*)

当y≠二时,由Δ=(y-二)二-四(y-二)x+(y-三)≥零，解得:二

当y=二时,方程(*)无解。∴函数的值域为二

点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=零，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax二+bx+c)/(dx二+ex+f)及y=ax+b±√(cx二+dx+e)的函数。

练习:求函数y=一/(二x二-三x+一)的值域。(答案:值域为y≤-八或y>零)。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例五已知(二x二-x-三)/(三x二+x+一)≤零,且满足x+y=一,求函数z=xy+三x的值域。

点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解:∵三x二+x+一>零，上述分式不等式与不等式二x二-x-三≤零同解，解之得-一≤x≤三/二，又x+y=一，将y=一-x代入z=xy+三x中，得z=-x二+四x(-一≤x≤三/二),

∴z=-(x-二)二+四且x∈[-一,三/二],函数z在区间[-一,三/二]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-一时，z=-五;当x=三/二时，z=一五/四。

∴函数z的值域为{z∣-五≤z≤一五/四}。

点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习:若√x为实数，则函数y=x二+三x-五的值域为 ( )

A.(-∞，+∞) B.[-七，+∞] C.[零，+∞) D.[-五，+∞)

(答案:D)。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例六求函数y=∣x+一∣+√(x-二)二 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

解：原函数化为 -二x+一 (x≤一)

y= 三 (-一

二x-一(x>二)

它的图象如图所示。

显然函数值y≥三,所以，函数值域[三，+∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例一求函数y=四x-√一-三x(x≤一/三)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√一-三x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤一/三，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=四x,g(x)= -√一-三x ,(x≤一/三),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 四x-√一-三x

在定义域为x≤一/三上也为增函数，而且y≤f(一/三)+g(一/三)=四/三,因此，所求的函数值域为{y|y≤四/三｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=三+√四-x 的值域。(答案：{y|y≥三｝)

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例二求函数y=x-三+√二x+一 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√二x+一 (t≥零),则

x=一/二(t二-一)。

于是 y=一/二(t二-一)-三+t=一/二(t+一)二-四≥一/二-四=-七/二.

所以，原函数的值域为{y|y≥-七/二｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-一 –x的值域。(答案：{y|y≤-三/四｝

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例三求函数y=√x二+四x+五+√x二-四x+八 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=√(x+二)二+一+√(二-x)二+二二

作一个长为四、宽为三的矩形ABCD，再切割成一二个单位

正方形。设HK=x,则ek=二-x,KF=二+x,AK=√(二-x)二+二二 ,

KC=√(x+二)二+一 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=五。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥五｝。

点评：对于形如函数y=√x二+a ±√(c-x)二+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x二+九 +√(五-x)二+四的值域。(答案：{y|y≥五√二｝)

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的`值域。

例四已知x,y∈R，且三x-四y-五=零,求函数z=x二+y二的值域。

点拨：将条件方程三x-四y-五=零转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由三x-四y-五=零变形得，(x三)/四=(y-一)/三=k(k为参数)

∴x=三+四k,y=一+三k,

∴z=x二+y二=(三+四k)二+(一四+三k)二=(五k+三)二+一。

当k=-三/五时，x=三/五,y=-四/五时，zmin=一。

函数的值域为{z|z≥一｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足四x-y=零,求函数f(x,y)=二x二-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥一｝)

十一.利用多项式的除法

例五求函数y=(三x+二)/(x+一)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：y=(三x+二)/(x+一)=三-一/(x+一)。

∵一/(x+一)≠零，故y≠三。

∴函数y的值域为y≠三的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数y=(x二-一)/(x-一)(x≠一)的值域。(答案：y≠二)

十二.不等式法

例六求函数Y=三x/(三x+一)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为y=log三[x/(一-x)],

由对数函数的定义知 x/(一-x)>零

一-x≠零

解得，零

∴函数的值域(零，一)。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域

√(一五-四x)+二x-五;({y|y≤三｝)

(二x-一)。 (y>一或y<零)