从两道错题谈周期函数论文

我们知道正弦函数y=sinx, 余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx及余切函数y=cotx的周期以及最小正周期的求法, 由此派生出来的复合函数y=Asin (ωx+φ) 、y=Acos (ωx+φ) 、y=Atan (ωx+φ) 及y=Acot (ωx+φ) 的周期求法, 那么不可化成上述形式的函数, 而是一般的周期函数, 它们的周期及最小周期怎么求呢?笔者从两道错题谈周期函数及最小周期的求法。

我们看下面的例子, 曾经在技校新编电子类数学教材中, 有这样两道题。

求下列函数的周期。

书中所给答案分别是6π、3π。显然这两个结论是错误的。6π是⑴题的周期, 但不是最小正周期。3π不是⑵题的周期。

教材中给出了y=Asin (ωx+φ) 、y=Atg (ωx+φ) 的周期的求法, 对于由A sin (ωx+φ) 或Atg (ωx+φ) 进行加减运算后的周期求法, 并不是一件简单的事。

对于一般地周期函数f (x) 来说, 有这样的结论成立。

(1) 若L是f (x) 的最小正周期, 则f (x+m) =f (x) 的充要条件是m=kL, k∈z。

(2) 若L是f (x) 的最小正周期, m是φ (x) 的最小正周期, 则L、m的最小公倍数一定是, Af (x) +Bf (x) 的周期, 但未必是最小正周期。

结论⑴证明:

充分性:假设L是f (x) 的最小正周期

m=kL, k∈z当k=0时结论显然成立。当k∈z+时

继续作下去就可以得到f (x+m) =f (x+L) =f (x) 。

当k∈z-时, -k∈z+

必要性:设有m使f (x+m) =f (x) 成立。

由于f (x+m) =f (x)

∵L是f (x) 的最小正周期

∴h=0

则m=kL

结论 (2) 证明:

设L是f (x) 的最小正周期, 则f (x+L) =f (x) 。

m是φ (x) 的最小正周期, 则φ (x+m) =φ (x) 。

令n是L、m的最小公倍数,

则存在k1、k2∈z

∴n是Af (x) +Bφ (x) 的周期

φ (x) =tg (x-4) 最小正周期是π。

∴最小公倍数是π。

∴F (x) 的周期是

∴π是F (x) 的周期, 但不是最小正周期。

根据上述得知如果一个函数不能化简为下面的几种形式即:Asin (wx+φ) 、Acos (wx+φ) 、Atg (wx+φ) 、Actg (wx+φ) 而是一般的和、差式, 这时的最小周期, 并不是很容易求出的, 即便是求出来也应考虑能否有理论保证它确实是最小正周期。数学一定要精益求精, 不能想当然, 一定要有充分的理论作基础, 以公理、定理作依据, 能经得住考证。

摘要：我们知道正弦函数y=sinx, 余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx及余切函数y=cotx的周期以及最小正周期的求法, 由此派生出来的复合函数y=Asin (ωx+φ) 、y=Acos (ωx+φ) 、y=Atan (ωx+φ) 及y=Acot (ωx+φ) 的周期求法。笔者从两道错题谈一般的周期函数周期函数及最小周期的求法。

关键词：周期函数,最小周期,最小公倍数