代数基础知识word版

第一篇：代数基础知识word版

2012华师大版七上《代数式的值》word教案.doc

3.2代数式的值

教材分析

代数式的值是第三章第二节的教学内容，它是在学生已经学习了代数式的概念与列代数式的有关知识后的后继知识。 教学目标

(1)会用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值; (2)能利用求代数式的值解决较简单的实际问题。

(3)学生在解决实际问题的过程中找出代数式的值的求法;

(4)通过与列代数式比较，了解列代数式与求代数式的值是一般与特殊的关系。 教学重点

求代数式的值 教学难点

正确地把数值代入代数式代替字母进行计算 教学过程

一、复习引入

上一节课，同学们学习了如何列代数式，其目的是通过列代数式解决实际问题，列代数式有许多重要的应用。今天，我们学习求代数式的值，它是列代数式的应用之一。(板书课题：代数式的值)

二、新授

试一试：有四个同学做一个传数游戏，第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去2报出答案。如果第一个同学报给第二个同学的数是5，第四个同学报出的答案是35，这个答案对吗?(小黑板演示)

老师：如果已知第一同学报给第二个同学的数，你如何最快得出答案?

学生总结规律：设第一个同学报给第二个同学的数是x，则传数程序如下：

2

2x → x+1 → (x+1) → (x+1)-2

2可用第一个同学报给第二个同学的数代替最后一个式子(x+1)-2中的字母x，然后算出结果。

老师：回答得很好!那么我们根据刚才所说，又能得出什么结论?

2学生：x取不同的值，代数式(x+1)-2的计算结果也不同。

2老师：Very good!根据刚才的传数游戏，我们都知道，x取不同的值，代数式(x+1)-2的计算结果就不同。现在谁能根据自己的理解说明什么叫代数式的值?

一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。(教师板书)

2由上面的传数游戏知道，x取不同的值，代数式(x+1)-2的计算结果也不同，所以代数式的值与代数式中字母的取值有关。

运算关系就是我们在上一章学的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减;如果有括号，先进行括号内的运算

你能根据代数式的值的概念找出求代数式的值的方法吗? 一是代入，二是计算。(教师板书)

下面我们就来实践一下。

三、巩固练习

例、当a=2，b=-1，c= -3时，求下列代数式的值：

22222(1)b – 4ac(2)a+b+c+2ab+2ac+2bc(3)(a+b+c) 教师活动：教师巡视，注意纠正学生计算和格式书写中的问题，如：(1)要指明字母的取值;(2)代入数值后，“×”要添上;(3)要按照代数式指明的运算顺序进行计算;(4)负数的平方要加括号。(找学生口述，教师板书)

解：(1)当a=2，b=-1，c= -3时，

2 原式=(-1)- 4×2×(-3) =1+24 =25 (1)当a=2，b=-1，c= -3时，

222原式=2 +(-1)+(-3)+2×2×(-1)+2×(-1)×(-3)+2×2×(-3)

=4+1+9-4+6-12 =4 (2)当a=2，b=-1，c= -3时，

2 原式=[2+(-1)+(-3)]2 =(-2) =4 老师：观察(2)(3)两题的结果，你有什么想法?

2222学生：我觉得a+b+c+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)

老师：这是一个很好的猜想，有兴趣的同学可以在课后多换几组数验证一下这个结论是否正确。

小结： 求值步骤：

(1)注明条件：在代入前，必须写出“当„„时”。 (2)原式代入：

<1>代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其它的运算符号，原数不能改变; <2>代数式中原来省略乘号，代入后出现数字与数字相乘，必须添上括号。 <3>代入后出现分数的乘方，要把分数括起。 (3)计算求值。

例3.当a2,b1时，求代数式a()的值。

2ab3

解：略

[公办班设计题：

例4. 利用整体代入方法求代数式的值。 合作学习，探究解题思路，总结规律。

(1)，求的值。

解：当时，

(2)，求的值。

解：当时，

小结规律：当代数式中的字母没有给具体数值时，可以变形问题向条件靠拢，也可转化问题向条件靠拢。 【练习】求代数式的值。

(1)当时，求的值。

(2)当时，求的值。

(3)已知，求的值。

(4)当 时，求的值。

游戏时间：下面我们来做一个有趣的游戏： 现有两个代数式：3x+1 (1) 1x (2) 2如果随意给出一个正整数x，若正整数x为奇数，就根据(1)式求对应值;若正整数x为偶数，就根据(2)式求对应值，就这样从某个正整数出发，不断的这样对应下去，会是一个什么样的结果呢?(小黑板演示)

老师：首先我们要注意的是：x是正整数;x是奇数时代入(1)式，x是偶数时代入(2)式;不断对应下去。例如我们以21为例试试看：

21→64→32→16→8→4→2→1 学生两人一组，从任意一个正整数出发，不断的做下去。 教师活动：注意巡视，对个别不清楚规则的同学进行指导

学生：最后出现一个循环4，2，1，4，2，1„„

老师：很好!其实它是一个“角谷”猜想，同学们可以在课后再试试!现在我们就一起来总结一下这节课学习了什么。

一、小结(先学生小结，然后教师补充)

学生：通过今天的学习，我们知道了什么叫代数式的值——用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。

学生：我们还探讨了求代数式的值的方法——先代入，后计算。

老师：同学们回答得非常好!我们还要注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减;如果有括号，先进行括号内的运算;我们还知道代数式的值与代数式中字母的取值有关。同学们在代入计算时一定要细心。

二、作业

P.96 习题3.2 第

1、2题做在书本，第

3、4题做在作业本 教学反思

第二篇：人教版初中数学代数部分知识点总结

一、实数的分类：

正整数整数零有理数负整数有限小数或无限循环小实数数正分数 分数负分数正无理数无理数负无理数无限不循环小数

1、有理数：任何一个有理数总可以写成

pq(分数)的形式

2、无理数：开不尽的方根，如

2、34;特定结构的无限不限环小数，如1.101001000100001„„;特定意义的数，如π、sin45°等。

二、实数中的几个概念

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

(1)实数a的相反数是 -a; (2)a和b互为相反数a+b=0

2、倒数：

(1)实数a(a≠0)的倒数是

1a;(2)a和b 互为倒数ab1;(3)注意0没有倒数

3、绝对值：

(1)一个数a 的绝对值有以下三种情况：

a,a0a0,a0 a,a0(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。(3)去掉绝对值符号(化简)，先(正、负)确认，再去掉绝对值符号。

4、n次方根

(1)平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。

(2)正数的平方根有两个，它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根：3a叫实数a的立方根。

(4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。

四、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;用减法确定

五、实数的运算

1、加法：

2、减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：

(1)同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

六、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N>0，则N= a×10n(其中1≤a<10，n为整数)。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。

代数部分 第二章：代数式

一、代数式

单项式代数式有理式整式多项式

分式无理式

二、整式的有关概念及运算

1、概念

(1)单项式：像x、

7、2x2y，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。

(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2、运算

(1)整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变;括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变;括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

(2)整式的乘除：

幂的运算法则：其中m、n都是正整数

同底数幂相乘：amanamn;同底数幂相除：amanamn;幂的乘方：(am)namn积的乘方：(ab)nanbn。

乘法公式：

平方差公式：(ab)(ab)a2b2;

完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：mambmcm(abc)

(2)运用公式法：

平方差公式：a2b2(ab)(ab);完全平方公式：a22abb2(ab)2 (3)十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)

(4)运用求根公式法：若ax2bxc0(a0)的两个根是x

1、x2，则有：

ax2bxca(xx1)(xx2)

3、因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;

(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

四、分式

1、分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

(1)分式无意义：B=0时，分式无意义; B≠0时，分式有意义。

(2)分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。

(3)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

2、分式的基本性质：

(1)

ABAMBM(M是0的整式);(2)AAMBBM(M是0的整式)

(3)分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子a(a0)叫做二次根式。

(1)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

(2)同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

(常用的有理化因式有：a与a;abcd与abcd)

2、二次根式的性质：

(1) (a)2a(a0);(2)a2aa(a0)a(a0);(3)abab(a≥0，b≥0);(4)

abab(a0,b0)

代数部分

第三章：方程和方程组

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的标准形式：ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0)

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0)

(2)一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程的根的判别式：b24ac

当Δ>0时方程有两个不相等的实数根;

当Δ=0时方程有两个相等的实数根;

当Δ< 0时方程没有实数根，无解;

当Δ≥0时方程有两个实数根

(5)一元二次方程根与系数的关系：

若x1,x2b2是一元二次方程axbxc0的两个根，那么：x1x2a，xxc12a

三、分式方程

(1)定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

(3)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组 一次方程组：

(1)二元一次方程组：

一般形式：a1xb1yc1(aa1,a2,b1,b2,c1,c2不全为0)

2xb2yc

2解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

(2)三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法 二元二次方程组：

(1)定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

(2)解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。

代数部分

第四章：列方程(组)解应用题

知识点：

一、列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数;

3、找出相等关系，列方程(组);

4、解方程(组);

5、检验，作答;

二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系;

1、工程问题

(1)基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

(2)常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

(3)注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题

2、行程问题

(1)基本量之间的关系：路程=速度×时间

(2)常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题(设甲速度快)：

同时不同地：甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程

同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×(1+增长率);

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

三、列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

代数部分

第五章：不等式及不等式组

知识点：

一、不等式与不等式的性质

1、不等式：表示不等关系的式子。(表示不等关系的常用符号：≠，<，>)。

2、不等式的性质：

(1)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，如a>b，c<0ac<bc.

</bc.

二、不等式(组)的解、解集、解不等式

1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。

三、不等式(组)的类型及解法

1、一元一次不等式：

(l)概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

(2)解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：

(l)概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

第六章：函数及其图像

知识点：

一、平面直角坐标系

1.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：

(1)点P(a, b)关于x轴的对称点是P1(a,b);

(2)点P(a, b)关于x轴的对称点是P2(a,b);

(3)点P(a, b)关于原点的对称点是P3(a,b);

二、函数的概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

三、几种特殊的函数

1、一次函数

直线位置与k，b的关系：

(1)k>0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角;

(2)k<0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角; (3)b>0直线与y轴交点在x轴的上方; (4)b=0直线过原点;

(5)b<0直线与y轴交点在x轴的下方;

2、二次函数

抛物线位置与a，b，c的关系：

(1)a决定抛物线的开口方向a0开口向上a0开口向下

(2)c决定抛物线与y轴交点的位置：

c>0图像与y轴交点在x轴上方;c=0图像过原点;c<0图像与y轴交点在x轴下方;

(3)a，b决定抛物线对称轴的位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧;b=0，对称轴是y轴; a，b异号。对称轴在y轴右侧;

3、反比例函数：

4、正比例函数与反比例函数的对照表：

第三篇：代数知识复习

选择题(每题3分，共30分)

1.下列运算正确的是 ()

22235A.a6a2a3B.5a3a2aC.(a)aaD.5a2b7ab

2的结果是()

A.-2B.±2C.2D.

43、从2010年4月14日青海玉树地震发生后，截止至4月23日15时，中华慈善总会接收社会各界通过银行捐赠的玉树地震救灾款已达5.95亿元。用科学记数法保留两位有效数字表示“5.95亿”应记为()

A、5.95×1010B、 5.9×109C、6.0×108D、5.9×107

4、不等式组2x40

的解集在数轴上表示正确的是()

A

B

CD

5.若抛物线yax22xc的顶点坐标为(2,3)，则该抛物线有 ()

A.最大值3B.最小值3C.最大值2D.最小值

26. 已知关于x的方程2x2-9x+n=0的一个根是2，则n的值是()

A.n=2B.n=10C.n=-10D.n=10或n=2

7.若关于x的一元二次方程nx22x10无实数根，则一次函数y(n1)xn的图像不经过()

A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8.如图，在某中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的

路程s(米)与时间t(秒)之间的函数关系的图象分别为折线

OABC和线段OD，下列说法正确的是()A、乙比甲先到终点;B、乙测试的速度随时间增加而增大;C、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇;D、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

9.如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，当直线yxb中的系数b从0开始逐渐 变大时，在正方形上扫过的面积记为S.则S关于b的函数图像是 ()

瀚识教育

10.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()

A.(602x)(402x)2816

B.(60x)(40x)2816

C.(602x)(40x)2816

D.(60x)(402x)2816

一、 填空题(每题3分，共18分)

11、不等式–3x25的解集是

12、若二次根式a 与是同类二次根式，则ab = ______________________

13、观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)1! = 1，2! = 2×1，3! = 3×2×1，4! = 4×3×2×1，„„，那么计算：

14、关于x的一元二次方程 k1xk212009!=__________。 2010!6x80 的解为_________________.

15.已知关于的方程x2-px+q=0的两个根是0和-3，则

P=______ , q=__.

216、如图为二次函数y的图象，给出下列说法： axbxcx

21，x3xbxc0①ab0;②方程a的根为x;③12

abc01x3;④当x1时，y随x值的增大而增大;⑤当y0时，. 其中，正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号)

二、 解答题(共72分)

3 x5y19

17、(10分)计算：①、2sin60º+21-(

2010)0–②、4x3y6

18、(6分)解方程：

19.(8分)先化简，再求值：(

20、某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品.已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集.

⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元?

⑵有几种购买T恤和影集的方案?

21. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

(1)求k的取值范围;

(2)如果x1+x2-x1x2<-1且k为整数，求k的值。

22、(10分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单

3x20 x1x(x1)a2a14a1)a. ，其中22a2aa4a4a

2价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55;x75时，y45.

(1)求一次函数ykxb的表达式;

(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元?

(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.

23、(10分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.

(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元?

(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?

24、阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23+=(1+).善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b=m2+2n2+2mn.

22∴a=m+2n，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子

=( +

分别表示a、b，得：a=，b=; (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+

)2;

(3)若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值?

第四篇：初中代数函数知识口诀

初中代数函数知识口诀 上海市同洲模范学校宋立峰

求定义域

求定义域有讲究，四项原则须留意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，满足多个不等式。

求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 分数指数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，不等式组求解集。

正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。 一量表示另一量，ykx(k0)是与否。 若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数是否，辨别需分两步走。 一量表示另一量，ykx(k0)有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。

区分正比例函数，衡量可分两步走。

一量表示另一量，ykx(k0)是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。

正比例函数的图象与性质

正比函数图直线，经过(1,k)和原点。

K正一三负二四，变化趋势记心间。

K正左低右边高，同大同小向爬山。

K负左高右边低，一大另小下山峦。

一次函数

一次函数图直线，经过(0,b)(b

k,0)点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。

K负左高右边低，越来越低很明显。

K称斜率b截距，截距为零变正函。

反比例函数

反比函数双曲线，经过(1,k)(1,k)点。

K正一三负二四，两轴是它渐近线。

K正左高右边低，一三象限滑下山。

K负左低右边高，二四象限如爬山。

二次函数

二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，

顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线yax 2

作者简介：中共党员、中学一级、教龄26年，1980年参加教育工作，1998年由内蒙古兴安盟调入上海，2001年到云南大理州南涧县民族中学支教，现在上海市同洲模范学校任教初

三、高二数学课

第五篇：线性代数习题及答案(复旦版)[]

线性代数习题及答案 习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659;

(2) 987654321;

(3) n(n?1)…321;

(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式的展开式中包含和的项.

解： 设

，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有 . 5. 用定义计算下列各行列式.

(1);

(2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24;

(2) D=12. 6. 计算下列各行列式.

(1);

(2) ;

(3);

(4) . 【解】(1) ;

(2) ;

7. 证明下列各式.

(1) ;

(2) ;

(3)

(4) ;

(5) . 【证明】(1)

(2)

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.

(1)

(2) ;

(3). (4)其中 ;

(5). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘(?1)后分别加到其余各行，得

(2) 按第二行展开

(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

. (5)

. 即有

由

得 . 9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘(?1)后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式(其中). . 【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式 ; 试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】

同理

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1)

(2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件? 【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得 于是所求的多项式为

16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件. 习题 二

1. 计算下列矩阵的乘积.

(1);

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5)

;

(6) . 【解】

(1)

(2);

(3) (10); (4)

(5);

(6) . 2.

设，，

求(1);(2) ;(3) 吗? 【解】(1)

(2)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2. 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若， 则;

(2) 若， 则或; (3) 若，， 则. 【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0 (2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E (3) 令

则AX=AY,但X≠Y. 4. 设, 求A2，A3，…，Ak. 【解】

5.

， 求并证明： . 【解】 今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6. 已知，其中

求及. 【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7. 设，求||.

解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有 ，且，

即

于是有

. 8. 已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换. 【解】已知

从而由到的线性变换为

9.

设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵. 【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以

(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵. 10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB. 则

AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵. 11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵. (2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2; (AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA). 所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得 .

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数. 13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于 A=E+, 而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵. (1) ;

(2) ; (3);

(4) ; (5) ;

(6) ，

未写出的元素都是0(以下均同，不另注). 【解】

(1) ;

(2) ; (3) ;

(4) ; (5) ;

(6) . 15. 利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而 故

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且(A*)?1=(A?1)*. (3) 若AA′=E,则(A*)′=(A*)?1. 【证明】(1) 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*

=(AB) *A|B|EA*=|A|²|B|(AB) *. ∵

|A|≠0,|B|≠0, ∴

(AB) *=B*A*. (2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于是

A* (A?1) *=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以

(A?1) *=(A*)?1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′. 由(2)(A*)?1=(A?1) *,得 (A*)?1=(A′) *=(A*)′. 17. 已知线性变换

求从变量到变量的线性变换. 【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18. 解下列矩阵方程.

(1) ;

(2);

(3) ;

(4) . 【解】(1) 令A=;B=.由于 故原方程的惟一解为

同理

(2) X=;

(3) X=;

(4) X= 19. 若 (k为正整数)，证明：

. 【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0, 故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21. 设，,求. 【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A. 而

即A?2E可逆，故

22.

设. 其中，， 求. 【解】因可逆，且故由 得

23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.

(1)， 证明

，;

(2) 设， 证明，. 【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立. 今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2) 由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1. 且

Bk=( PAP ?1)k= PAkP ?1, 又

24. ，证明矩阵满足方程. 【证明】将A代入式子得

故A满足方程. 25. 设阶方阵的伴随矩阵为，

证明：(1) 若||=0，则||=0;

(2) . 【证明】(1) 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0,

这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0. (2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1. 26. 设

. 求(1) ; (2); (3) ;(4)||k (为正整数). 【解】

(1);

(2) ; (3) ;

(4). 27. 用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

(1);

(2);

(3). 【解】(1) 对A做如下分块

其中

的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2) (3)

习题 三

1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.，证明向量组线性相关. 【证明】因为

所以向量组线性相关.

6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里 【证明】

设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得 . 又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. .证明：如果，那么线性无关. 【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关. 9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的. 【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关. 10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组. 【证明】若

(1) 线性相关，且不妨设

(t

(2) 是(1)的一个极大无关组，则显然(2)是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组. 11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.

当k=1时，的秩为为其一极大无关组.

当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出. 【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0). 13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出. 【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.

必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示. 14. 若向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，也可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，则向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.

证明：由已知条件，，且向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，即两向量组等价，且

， 又，向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，即两向量组等价，且 ，

所以向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.

15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.

【解】设向量组 (1) 与向量组 (2) 的极大线性无关组分别为 (3) 和 (4) 由于(1)可由(2)线性表出，那么(1)也可由(4)线性表出，从而(3)可以由(4)线性表出，即

因(4)线性无关，故(3)线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由(*)解出,即(4)可由(3)线性表出，从而它们等价，再由它们分别同(1)，(2)等价，所以(1)和(2)等价. 17. 设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明： . 【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R(B)=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有 . 18. 设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B=KA行无关的充分必要条件是R(K)=r. 【证明】设

A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆. ()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵. r=R(B)=R(KA)≤R(K),

又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r. ()当r=R(K)时，即K行无关，

由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s)) 知R(B)=r,即B行无关. 19. 略.见教材习题参考答案. 20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

(1);

(2). 【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为; (2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为. 21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V1={()|∈R且=0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由(0,0,…,0)∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间. 23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3. 【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3. 24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的. 25. 设,证明: . 【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以 . 26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标. 【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数) 故

27. 验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示. 【解】设 又设 , 即

记作

B=AX. 则

因有,故为R3的一个基，且

即 . 习题四

1. 用消元法解下列方程组. (1)

(2) 【解】(1)

得

所以

(2) ①

②

③

解②?①³2得

x2?2x3=0 ③?① 得

2x3=4 得同解方程组 ④

⑤

⑥

由⑥得

x3=2, 由⑤得

x2=2x3=4, 由④得

x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得

(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.

(1)

(2)

(3)

(4) 【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为 . (2) 系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.

基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量

得基础解系

3. 解下列非齐次线性方程组.

(1)

(2) (3)

(4) 【解】

(1) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T. 又分别取

得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解. (4) 方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为

其中为任意常数. 4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品(或劳务)，今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

车间

消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量 (万元) 总产量 (万元) 1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品;第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5. 取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=. (1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3. ∴ 方程组有惟一解

(2) 当=?2时，

R(A)≠R(B),∴ 方程组无解. (3) 当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解. 得同解方程组

∴ 得通解为

6. 齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为

|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解. (i) 当=4时,

得同解方程组

(ii) 当=?1时, 得

∴ ()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解?在有解时，求出其解.

(1)

(2) 【解】方程组的增广矩阵为 (1)

(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解. (iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 (*) 其导出组的解为

非齐次线性方程组(*)的特解为

取x4=1,

∴ 原方程组的解为

(2)

(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.

(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2

取

∴ 得方程组的解为

8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0. 【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由

为Ax=0的解. 求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为 取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解. 【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.

由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系. 又

∴ 方程组Ax=b的解为

10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

(1)

(2) 【解】

(1) 设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知

令

k1=x2 ,

k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0. (2) A()=0A的行向量为方程组为的解. 即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为

11. 设向量组=(1，0，2，3)，=(1，1，3，5)，=(1，?1，a+2，1)，=(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)

问：(1) a，b为何值时，不能由，，，线性表出?

(2) a，b为何值时，可由，，， 惟一地线性表出?并写出该表出式.

(3) a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一?并写出该表出式. 【解】 (*)

(1) 不能由，，，线性表出方程组(*)无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0. (2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1. (*) 等价于方程组

(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组(*)有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0. 方程组(*) 为常数. ∴

12. 证明：线性方程组有解的充要条件是. 【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A) 得证. 13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

(1)线

性无关;

(2)线性无关. 【 证明】 (1) 线性无关 成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于 . 由于为线性无关

∴线性无关. (2) 证线性无关. 成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即

由(1)可知，线性无关. 即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关. 14. 设有下列线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(1) 求方程组(Ⅰ)的通解;

(2) 当方程组(Ⅱ)中的参数m,n,t为何值时，(Ⅰ)与(Ⅱ)同解? 解：(1)对方程组(Ⅰ)的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组 (*)

得方程组(*)的基础解系

令，得方程组(Ⅰ)的特解

于是方程组(Ⅰ)的通解为，k为任意常数。

(2) 方程组(Ⅱ)的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**) 方程组(**)的基础解系为 当时，，当时，

方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有

，即t = 6. 也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解.

习题五

1. 计算.

【解】

2. 把下列向量单位化.

(1) =(3，0，-1，4);

(2) =(5，1，-2，0). 【解】

3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.

(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0) 【解】

4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交. 【证】与正交.

∴ 与正交. 5. 下列矩阵是否为正交矩阵.

【解】

(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2) A′A=EA为正交矩阵 6. 设x为n维列向量，x′x=1，令H=E-2xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】

∴ H为对称矩阵.

∴ H是对称正交矩阵. 7.

设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E (AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵. 8. 判断下列命题是否正确.

(1) 满足Ax=x的x一定是A的特征向量;

(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1+k2x2+…+krxr也是A对应于的特征向量;

(3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】

(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量. (2) ╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3³3的特征向量. (3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.

【解】(1)

当时， 为得解

对应的特征向量为 . 当时,

其基础解系为,对应的特征

向量为

∴ 特征值为

(i) 当时，

其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0. (ii)当时, , 解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为 (i) 当时,

得基础解系为 对应的特征向量为 (ii) 当时，

其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为 (iii) 当时，

其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2. (i) 当时,

其基础解系为(4,?1,1,0)′. ∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当时，

其基础解系为：(1,0,0,0)′. ∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量依次为

求矩阵A. 【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆

11.

设3阶实对称矩阵A的特征值为-1，1，1，与特征值-1对应的特征向量x=(-1，1，1)′，求A. 【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量. 将正交化得

=(?1,1,1)T, 单位化：; =(1,1,0)T,

; 则有

12. 若n阶方阵满足A2=A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零. 【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.

由A2=A可知 所以有或者=1. 13. 若A2=E，则A的特征值只可能是±1. 【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x (2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1. 14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.

证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A(1+2)=λ(1+2)=λ1+λ2. 又

A(1+2)= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有

(λ?λ1)1+(λ?λ2)2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量. 15. 求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵.

【解】

(i)当时,

方程组的基础解系为 (?2,1,0)T, (2,0,1)T. (ii) 当时,

其基础解系为. 取,单位化为, 取，取，使正交化. 令 单位化

得. (i) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii) 当时，

其基础解系为

单位化得

(i) 当时,

其基础解系为

由于()=0,所以正交. 将它们单位化得

(ii) 当时,

其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得

(iii) 当时,

其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为

(i) 当=2时,

其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 , (ii) 当=5时,

=(2,1,2)T.

其基础解系为=(2,?2,1)T

. 单位化得 . (iii) 当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵

16. 设矩阵与相似.

(1) 求x与y;

(2) 求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.

由于?1为A的特征值，可知 . 将x=0代入|A?E|中可得

可知y= ?2. (2) (i) 当=?1时,

其基础解系为

=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T. (ii) 当=2时,

其基础解系为

=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为

=(0,1,1)T (ⅲ) 当=?2时, , 其基础解系为

=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵

则

17. 设， 求A100. 【解】

特征值为 (i) 当时,

其基础解系为

(ii) 当时,

其基础解系为(?1,1,2)T. 令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.

(1) ;

(2) ;

(3) . 【解】 (1) (2) (3)

19. 写出二次型 的矩阵. 【解】

20. 当t为何值时，二次型的秩为2. 【解】

21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵. 【解】由题知 二次型矩阵

当时,

即有

2ab=0. 当时,

当时,

(ⅰ) 当时,

得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化

(ⅱ) 当时,

其基础解系为=(0,1,0)T. (iii) 当时，

其基础解系为=(1,0,1)T. 单位化得

得正交变换矩阵

22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.

【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换. 得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换 所作线性交换为

23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.

【解】(1)

(2) 二次型矩阵为

24. 设二次型

(1) 用正交变换化二次型为标准型;

(2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5. 【解】(1) 二次型的矩阵为

求得A的特征值. 对于，求解齐次线性方程组 (A?E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得 对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是

即为所求的正交变换矩阵，且 (2) 因为所以 故

25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程. 【解】的矩阵为

(1) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(2) 当时, . 其基础解系为. 单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26. 判断下列二次型的正定性.

【解】(1) 矩阵为

∴ 二次型为负定二次型. (2) 矩阵

∴ 二次型为正定二次型. (3) 矩阵为

∴ 为正定二次型. 27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.

【解】(1) 二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型. (2

) 二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型. 28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f>0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.

当为实二次型时,若≠0,

都使得f>0,则f为正定二次型. 29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的. 【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx

= xTBx 且A′=A ， B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定. 30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵. 【证】A可逆 (A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定. 31. 试证：如果A正定，则A′,A-1，A*都是正定矩阵. 【证】A正交，可知A′=A 

可逆阵C，使得A=C′EC. (i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵. (ii) (A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵. 由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n) Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为 ，

(i=1,2,…,n) ∴ A?1正定. (iii) 由A*=|A|²A?1可知

(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x) 即有时， xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵. 习题

六

1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法; (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²;

(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】(1)是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称(上三角)矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则 (A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B), (kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.

(2) 否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.

(3) 否.因为零矩阵不可逆(又因为加法和数量乘法都不封闭).

(4) 否.因为加法不封闭.例如，向量(1，0，0)，(0，1，0)都不平行于(1，1，0)，但是它们之和(1，0，0)+(0，1，0)=(1，1，0)不属于这个集合. 2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U=V. 【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.

3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法). 【证明】对差n?r作数学归纳法.

当n?r=0时，结论显然成立.

假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.

因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ,

必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.

由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.

根据归纳法原理，结论普遍成立. 4. 在R4中求向量=(0,0,0,1)在基=(1,1,0,1),=(2,1,3,1), =(1,1,0,0), =(0,1,-1,-1)下的坐标. 【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为

解之得()=(1,0,?1,0). 5. 在R3中，取两个基

=(1，2，1)，=(2，3，3)，=(3，7，1);

=(3，1，4)，=(5，2，1)，=(1，1，-6)，

试求到的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R3中一个基(通常称之为标准基) =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). 于是有

所以由基到基的过渡矩阵为

坐标变换公式为

其中()与()为同一向量分别在基与下的坐标. 6. 在R4中取两个基

(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;

(2) 求向量()在后一个基下的坐标;

(3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1)

这里A就是由基到基的过渡矩阵. (2) 设,由于()=()A?1,所以

因此向量在基下的坐标为

(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么

即

也就是

解得,其中为任一非零实数. 7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6. 【证明】首先，S是非空的(∵0∈S),并且A,B∈S,k∈R,有 (A+B)′=A′+B′=A+B (kA)′=kA′=kA.

这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间. 不难验证，下列6个对称矩阵.

构成S的一个基，故S的维数为6. 8. 说明平面上变换的几何意义，其中

(1);

(2) ;

(3) ;

(4) . 【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点. ,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点. ,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点. ,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点. 9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间[维数为]，给定n阶方阵P，变换

T(A)=P′AP， A∈V

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换. 【证明】因为A,B∈V,k∈R,有

T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A). 所以T是线性空间V的一个线性变换. 10. 函数集合

V3={=(a2x2+a1x+a0)ex|a2，a

1,a0∈R｝

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

1=x2ex, 2=2xex, 3=3ex， 求微分运算D在这个基下的矩阵. 【解】

即

因此D在基下的矩阵为. 11. 2阶对称矩阵的全体

对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基

(1) 在V3中定义合同变换

求在基下的矩阵及T的秩与零度.

(2) 在V3中定义线性变换

求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核. 【解】(1)

由此知，T在基下的矩阵为

显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0. (2)

即

T()=()M, 其中就是T在基下的矩阵.显然有

所以

T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3). 最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即

也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系 (2,?1,0), (1,0,?1). 故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).

习题

七

1. 求下列矩阵的Smith标准型.

【解】(1)对矩阵作初等变换，得

即为所求. (2) 对矩阵作初等变换得

即为所求. (3) 不难看出，原矩阵的行列式因子为

所以不变因子为

故所求的Smith标准形是 (4) 对矩阵作初等变换，得

即为所求. 2. 求下列矩阵的不变因子.

【解】(1) 显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3. 故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3.

(2) 当b≠0时，

且在矩阵中右上角的三阶子式

而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2. 3. 证明

的不变因子为

d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an. 【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1. 而该矩阵的行列式为

Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为

d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.

4. 证明(a为任一非零实数)相似. 【证明】 记

经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似. 5. 求下列复矩阵的若当标准型.

【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是

(2) 设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是