二次函数中考压轴题题

第一篇：二次函数中考压轴题题

2017年中考数学二次函数压轴题(含答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

面积类

1.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

考点：二次函数综合题. 专题：压轴题;数形结合. 分析：

(1)已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式. (2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长. (3)设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB，MN的表达式在(2)中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值. 解答：

解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x﹣3)，则： a(0+1)(0﹣3)=3，a=﹣1;

∴抛物线的解析式：y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

- 12)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标.

(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M. 解答：

解：(1)将B(4，0)代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=;

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2.

(2)由(1)的函数解析式可求得：A(﹣1，0)、C(0，﹣2); ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：(，0).

(3)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC的解析式为：y=x﹣2;

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0，即b=﹣4; ∴直线l：y=x﹣4.

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：即 M(2，﹣3).

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.

- 3t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;

(3)由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能;当P在第一象限：PM=OB=3，(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值. 解答：

解：(1)把A(3，0)B(0，﹣3)代入y=x2+mx+n，得

解得

，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.

设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A(3，0)B(0，﹣3)代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3;

(2)设点P的坐标是(t，t﹣3)，则M(t，t2﹣2t﹣3)， 因为p在第四象限，

所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t， 当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为

=

.

=，

，解得

，

则S△ABM=S△BPM+S△APM=(3)存在，理由如下： ∵PM∥OB，

∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3. ②当P在第一象限：PM=OB=3，(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3，解得t1=去)，所以P点的横坐标是

;

(舍去)，t2=

，所以P

，t2=

(舍③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=点的横坐标是.

- 53)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可. 解答：

解：(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的， 又A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)， ∴A′(﹣1，0)，B′(0，2). 方法一：

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴，解得：

，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.

方法二：∵A′(﹣1，0)，B′(0，2)，B(2，0)， 设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x﹣2) 将B′(0，2)代入得出：2=a(0+1)(0﹣2)， 解得：a=﹣1，

故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2; (2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P(x，y)，则x>0，y>0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2. 连接PB，PO，PB′，

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB， =×1×2+×2×x+×2×y， =x+(﹣x2+x+2)+1， =﹣x2+2x+3.

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1， 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 4=﹣x2+2x+3， 即x2﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1，

此时y=﹣12+1+2=2，即P(1，2).

- 71)先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标.

(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状.

(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD方程求出P点的坐标. 解答：

解：(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴A(1，﹣4).

(2)△ABD是直角三角形.

将A(1，﹣4)代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3， ∴y=x2﹣2x﹣3，∴B(0，﹣3) 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C(﹣1，0)，D(3，0)，

BD2=OB2+OD2=18，AB2=(4﹣3)2+12=2，AD2=(3﹣1)2+42=20， BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形. (3)存在.

由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E(0，﹣5)，交x轴于点F(5，0) ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G. 设P(x1，x1﹣5)，则G(1，x1﹣5) 则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

=1，且顶点A在y=x﹣5上，

PB、②AB

PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列

- 9考点：二次函数综合题.. 专题：压轴题. 分析：(1)根据抛物线y=即可;

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.

(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可; (4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可. 解答：

解：(1)∵抛物线y=∵顶点在直线x=上，∴﹣

=﹣

经过点B(0，4)∴c=4，

=，∴b=﹣

;

，得到ON=

，进而表示出

经过点B(0，4)，以及顶点在直线x=上，得出b，c∴所求函数关系式为;

， (2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 当x=5时，y=当x=2时，y=∴点C和点D都在所求抛物线上;

- 111)求点B的坐标;

(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由.

考点：二次函数综合题.. 专题：压轴题;分类讨论. 分析：

(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.

(2)已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式.

(3)根据(2)的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点. 解答：

解：(1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为(﹣2，﹣

2);

=2

，

(2)∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A(4，0)，B(﹣2.﹣

2)代入，得

，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣

x2+

x

- 13考点：二次函数综合题.. 专题：压轴题. 分析：

(1)根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D;根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标;

(2)根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式;

(3)首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案. 解答：

解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO，(1分) 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO，(2分) ∴BD=OC=1，CD=OA=2，(3分) ∴点B的坐标为(﹣3，1);(4分)

(2)抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B(﹣3，1)， 则得到1=9a﹣3a﹣2，(5分) 解得a=，

所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;(7分)

(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点;

则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，(8分) 过点P1作P1M⊥x轴，

- 153)分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案. 解答：

解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO，

又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为(3，1);

(2)∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B(3，1)， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;

(3)假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，

则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图(1)，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，

∴P1(﹣1，﹣1)，经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上;

②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图(2)， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2(﹣2，1)，经检验P2(﹣2，1)也在抛物线y=x2﹣x﹣2上;

- 17

分析：(1)设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理，将B(5，0)，C(0，5)两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值;

(3)先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=

3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=

BD=6，求出E的坐标为(﹣1，0)，运用待定系数法求出直

，即可求出点P的坐标. 线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组解答：

解：(1)设直线BC的解析式为y=mx+n， 将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入， 得，解得

，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5;

将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入y=x2+bx+c， 得，解得

，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;

(2)设M(x，x2﹣6x+5)(1<x </x

;

，

(3)∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N(2.5，2.5). 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A(1，0)，B(5，0)， ∴AB=5﹣1=4，

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.

- 192)求抛物线的解析式;

(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO;

(4)在(3)的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.. 专题：压轴题. 分析：

(1)利用待定系数法求出直线解析式; (2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(3)关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形;

(4)如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度.

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小. 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值. 解答：

解：(1)∵C(0，1)，OD=OC，∴D点坐标为(1，0). 设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将C(0，1)，D(1，0)代入得：解得：b=1，k=﹣1，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1.

，

- 21Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===.

. 综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为

12.如图，抛物线与x轴交于A(1，0)、B(﹣3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标. (2)试判断△BCD的形状，并说明理由.

(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.. 专题：压轴题. 分析：

(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;

(2)利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断; (3)分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解. 解答：

- 23AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是(0，b)，则PC=3﹣b，则即=，解得：b=﹣，故P是(0，﹣)时，则△ACP∽△CBD一定成立;

=，④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(d，0). 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，两个三角形不相似;

⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(e，0). 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，总之，符合条件的点P的坐标为：

=

，即

=

，解得：e=﹣9，符合条件.

.

=

，即

=

，解得：d=1﹣

3，此时，

对应练习

13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3). (1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由;

(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.

- 25x=，y=﹣=﹣，

∴点E的坐标为(，﹣)，

设过点E的直线与x轴交点为F，则F(∴AF=﹣1=，

，0)，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°， ∴点F到AC的距离为×又∵AC=∴△ACE的最大面积=×

3==3×

， ， =

，此时E点坐标为(，﹣).

14.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A(﹣2，0).

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;

(2)求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式; (3)试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形?若存在，求出符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由.

- 27BC的解析式为：y=x+4.

(3)可判定△AOC∽△COB成立. 理由如下：在△AOC与△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴，

又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB.

(4)∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q(3，t)，则可求得： AC=AQ=CQ=i)当AQ=CQ时， 有=

， ===

， ， =

.

25+t2=t2﹣8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1(3，0); ii)当AC=AQ时， 有=，

t2=﹣5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形; iii)当AC=CQ时， 有=

，

整理得：t2﹣8t+5=0， 解得：t=4±，

)，Q3(3，4﹣

). ∴点Q坐标为：Q2(3，4+

- 292)首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式;根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式; (3)首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可. 解答：

解：(1)如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°. ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°， ∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD. ∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA(ASA). ∴CD=OA=1，AD=OB=2， ∴OD=OA+AD=3， ∴C(3，1).

∵点C(3，1)在抛物线y=x2+bx﹣2上， ∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣. ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2.

(2)在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=∴S△ABC=AB2=.

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B(0，2)，C(3，1)， ∴，

.

解得k=﹣，b=2，

- 31CBG=∠APH， 在△PAH和△BCG中，

∴△PAH≌△BCG(AAS)， ∴PH=BG=1，AH=CG=3， ∴OH=AH﹣OA=2， ∴P(﹣2，1).

抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上. ∴存在符合条件的点P，点P的坐标为(﹣2，1).

第二篇：第三轮专题复习中考数学压轴题：二次函数常考类型题练习

2021年中考数学压轴题第三轮专题复习：二次函数

常考类型题练习

1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式;

(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标;

(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.

2、如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点

(1)求m的值及C点坐标;

(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标;若不存在，请简要说明理由

(3)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案);

3、如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点在轴上，且，求点的坐标;

(3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形?若存在。求出所有符合条件的点的坐标;若不存在，请说明理由.

4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由.

5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P是直线BC下方抛物线上的任意一点.

(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式.

(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标.

(3)如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标.

6、抛物线y=﹣3x2+bx+c(b，c均是常数)经过点O(0，0)，A(4，43)，与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P.

(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB.

①若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标;

②若点O关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标(直接写出答案即可).

7、如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.

(1)求此抛物线的表达式;

(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由;

(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少?

8、二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(﹣1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.

(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;

(2)连接BD，当t=时，求△DNB的面积;

(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标;

(4)当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标.

9、如图，在平面直角坐标系中，以点M(2，0)为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B(﹣2，0)作⊙M的切线，切点为C，抛物线y=-33x2+bx+c经过点B和点M.

(1)求这条抛物线解析式;

(2)求点C的坐标，并判断点C是否在(1)中抛物线上;

(3)动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处.此时△BOQ与△MCB全等，求t的值.

10、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点(不与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标;

(2)如果P点的坐标为(x，y)，△PBE的面积为，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值;

(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上.

11、已知抛物线y=﹣x2﹣(m+3)x+m2﹣12与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1<0，x2>0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA.

(1)求抛物线解析式;

(2)已知直线y=x+2与抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M1、N1，是否存在点P，同时满足如下两个条件：

①P为抛物线上的点，且在直线MN上方;

②:=6：35

若存在，则求点P横坐标t，若不存在，说明理由.

12、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)、B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标;

(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积;

(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到rt△a2o2c2，rt△a2o2c2与rt△oed重叠部分图形的面积记为s，求s与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.

</t≤6)得到rt△a2o2c2，rt△a2o2c2与rt△oed重叠部分图形的面积记为s，求s与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.

13、如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2，0)，B(0，2)，与x轴交于另一点C.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;

(2)点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值;

(3)如图2，点P是抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA.设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值.

14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上.

(1)求直线AE的解析式;

(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值;

(3)点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形?若存在，直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

15、已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO.

(1)求直线AC的解析式;

(2)如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值.

(3)如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形?若存在，请求出点D′的坐标;若不存在，请说明理由.

第三篇：改中考中的二次函数最值问题

2012初三数学寒假

中考中的二次函数最值问题

【教学目标】二次函数的最值问题是二次函数性质的一个重要应用，也是每年中考的重点考查题型之一，现结合几道2011年的中考试题说明这类题的求解方法

【知识要点】如何求抛物线的顶点、对称轴和最值?

1、配方法：将二次函数关系式化为yaxhk的形式，则顶点坐标为h,k，

2对称轴为直线xh。若a0，则y有最小值，当xh时，y最小k;若a0，则y有最小值，当xh时，y最大k。

b4acb2bx

2、公式法：直接利用顶点坐标公式求其项点，利用求,2a2a4ab4acb2其对称轴。若a0，则y有最小值，当x时，y最小;若a0，则

2a4ab4acb2y有最大值，当x时，y最大。

2a4a【经典例题】

一、求最大利润

例1 某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每个面包的成本是5角。

设这种面包的单价为x角，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y角。 (1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;

(2)求y与x之间的函数关系式;(3)当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?最大利润为多少?

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二、确定图形的周长最值。

例2 已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B1,0，P是AC上的一个动点(P与点A，C不重合)。

(1)求点A，E的坐标;(2)若y632xbxc过点A，E，求抛物线的表达式; 7(3)连接PB，PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

2、如图2所示,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR8cm,点BCQR在同一条直线l上,当CQ两点重合时,等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左开

2始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR生命部分的面积为Scm.(1)当t3s时求S的值;(2)当t5s时求S的值;(3)当5t8时,求S与t的函数关系式,求S的最大值.

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三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

例3 如图3所示，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为t。 (1)当t1时，求直线DE的函数关系; 3(2)如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值?若存在，请求出这个最大值及此时t的值;若不存在，请说明理由;

3)当OD2DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

2012初三数学寒假

【大显身手】

一、你有经商头脑吗?——商业经营活动中有两大问题是必须面对和解决的：

(一)怎样销售利润最大

1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

y(件) 15 25

20 20

… …

若日销售量y是销售价x的一次函数：

(1)求日销售量y(件)与销售x(元)之间的函数关系式;

2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日的销售利润是多少元?

(二)何时能盈利

2、某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产生每年可创利33万元，该生产线投产后，人第一年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且yaxbx，若第一年的维修保养费为2万元，第二年的为4万元。

(1)求二次函数的表达式;(2)投产后，这个企业在第几年就能盈利?

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二、何时面积最大

二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一个常见的数学模型。利用二次函数的图象与性质可以解决几何图形中面积的最值问题。

1、 如图1所示，某房地产公司要在拆迁的长方形地ABCD上规划出一块长方形地面，用来建造住宅小区公园(公园的一边落在CD上，但不能超过文物保护区的斜线EF)，问如何设计才能使公园的占地面积最大?求出最大面积

(已知ABCD200m,BCAD160m,AE60m,AF40m)。

三、生活中的二次函数最值问题

(一)二次函数帮你定价

小明的妈妈开了间海产品干货店,今年她从沿海地区进了一批墨鱼干,并将每市斤的单价定为40元,大家一致认为该墨鱼质量好,价格又便 宜,再加上该店地处旅游风景区的黄金地段,因而顾客云集,连续几天门庭若市,一时间销售了不少. 看到这种红火的销售场面,小明的妈妈决定用调高单价来增加利润,于是她将单价调到每市斤50元,结果销售量虽然减少了,但每天的利润却有所增加.她干脆再把单价调 高到每市斤70元,此时过往游客大多数嫌贵,销售量明显再次下降,连利润也呈下降趋势. 面对如此情况,她想到了这么一个问题:单价究竟定为多少才能使每天的利润最大? 小明知道后马上进行了调查,并从妈妈那里了解到如下数据: 单价(元) 销售量(市斤) 40 40

50 35

60 30

70 25 通过观察,小明发现原来每天的销售量与单价成一次函数关系,他将每天的销售量设为y市斤,单价设为x元,则ykxb. 由x40,y40,得4040kb,①由x50,y35,得3550kb.②联立 5

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①、②，解得k11,b60。所以yx60。 2211x60，即wx260x。配方，得

22小明一想，要使每天的利润最大，只需每天的销售额最大即可。他把每天的销售量额设为w元，则wxyxw1x6021800。由二次函数的性质，得当x60时，w最大1800。因此，2当单价定为每市斤60元时，每天的销售额最大，从而利润也最大。

看来，在现实生活中，数学知识能帮上不少忙。同学们，你是否也能像小明那样用所学的知识来解决问题呢?

(二)、广告设计与二次函数

函数思想是一种重要的解题思想，在实际生活中应用广泛，函数思想解决广告设计问题就是函数实际应用的一种体现。

例1 某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米2x8，广告牌的面积为S平方米。(1)写出广告牌面积S与边长x的函数关系式;

(2)画出这个函数的大致图象(其中2x8);

(3)根据图象观察当边长为何值时，广告牌的面积S最大?

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二、确定图形的周长最值。

例2分析：本题求解的切入点是依据点B的坐标、△ABC的边长和边、高的关系结合三角形中位线定理求解出(1)，再依据题意求解出(2)，最后依据轴对称的知识求解出(3)

解：(1)如图1所示，连接AD，不难求得A1,23,OE1AD,得2E0,3;

(2)因为抛物线y632xbxc过点A，E，把点A，E的坐标代入，7得c3，b133， 7632133xx3; 77所以抛物线的表达式为y(3)如图2所示，先作点D关于AC的对称点D，连接BD交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值。

不难求得DDC30，DF3，DD23， 则可得点D的坐标为4,3 所以直线BD的表达式为y为y3x33。

求直线BD与AC的交点可得点P的坐标为此时BD33，直线AC的表达式x557233,3。 BGDG52223227，

所以△PBD的最小周长L为272。 把点P的坐标代入y632133xx3成立，所以此时点P在抛物线上。 77

三、求解图形的面积和某一代数式的最值问题。

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例3分析：本题(1)、(2)的求解均抓住△CDO～△BED，所以

CDCO，即BEBD12731，得BE则点E的坐标为1,。设直线DE的函数关系式为ykxb。199BE13因为直线经过点D,1和E1,，所以把点D，E的坐标代入ykxb，得k故所求直线DE的函数关系式为y13791。3110x; 39CDCO，即BEBD(2)存在S的最大值。由已知易知△COD～△BDE，所以t111115,BEtt2。所以S11tt2t。故当t时，BE1t222282S有最大值5; 8(3)Rt△OED中,OD2DE2OE2,OD2DE2的算术平方根取最小值,也就是斜边OE取最小值.当斜边OE取最小值且另一边直角边OA为定值时,另一直角边AE达到最小值,于是△OEA的面积达到最小值,此时,梯形COEB的面积达到最大值.由(2)知,当t13地,梯形COEB的面积达到最大值,故所求点E的坐标是1,. 24(一)怎样销售利润最大

解：(1)设此一次函数表达式为ykxb，则

15kb25k1,解得所以一次函数表达式为yx40. 20kb20b40.(2)设每件产品的销售价定为x元,所获销售利润为W元,则

Wx1040xx25255.

2当x25时,W最大225,即产品的销售价应定为25元,此时每日 获得最大销售利润为225元.

(二)何时能盈利

2x1时，y2,x2时，y246。解：(1)由题意知，分别代入yaxbx， 8

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得ab2a1，解得。yx2x。

4a2b6b1(2)设M33x100xx，则Mx232x100x16156。

22当1x16时，y随x的增大而增大，且当x1,2,3时，M的值均小于0，当x4时，M1221560，所以设产后企业在第4年就能盈利。

评注：求二次函数最值的实际问题，要确定好自变量的取值范围，以及二次项的系数与问题的实际意义来判定最值情况，不然会误入歧途。

二、何时面积最大

1解：要使公园的面积最大，必须有一顶点落在EF上，设此点为P。过点P作PHAB于H，交CD于M，作PGAD于G，设。

△FGP～△FAE，

PGGFx40PH，即。 AEAF60402PHx40。

3SBHPM200x160PH

2200x160x40

32x10272200。 33所以当所设计的长方形公园以C点为顶点，一边落在CD上，且长为190m,宽为380722002m时,公园有最大面积,且最大面积为m. 332

分析:本题是将动点设置于直线l上,让我们在变化的条件下,探求重合部分的图形面积,题型设 计新颖、灵活富有创意，第(3)问重点考查了运用二次函数解决面积最大问题，在解答这类综合性题目时可将动手操作与推理计算巧妙地结合，运用数形结合的思想、分类讨论的思想解决问题。

解：(1)如图3所示，作PEQR，E垂足，设PQ与CD交于G，则QERE4cm，PE52423cm。

所以当t3s时，重合部分的图形是RtQCG。

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又易证△QCG～△QEP。所以

SSQEP3。 42SQEP6cm2，

272Scm。

8(2)当t5s时，如图4所示，此时QC5cm,CR3cm。设PR与CD相交于G。

由△RCG～△QEP，得SRCG故SSPRQSRCG27cm2， 8692cm。 8(3)当5t8时，如图5所示，此时QBt5,RC8t。设PQ交AB于H，PR交CD于G。

由△HPB～△PQE，得

SHQB3t52cm2。 8由△RCG～△REP，得

38t2cm2。 83322S12t58t，

883239171t即St。

44813165cm2。 当ts时，S的值最大，S最大216SRCG评注：当t在不同的范围内变化时，重合部分的图形有三种情形;(1)三角形;(2)四边形;(3)五边形。同学们可想一想，在每一种情形下对应的t的取值范围是什么。

(二)、广告设计与二次函数

分析：将矩形的另一边长用x的代数式表示，根据矩形的面积即可求出函数的关系式。

解：(1)矩形的另一边长为10x米，所以

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Sx10xx210x2x8;

(2)Sx525，取一组点，利用描点法可画出函数的2图象如图所示;

(3)根据图象观察，当x5时，矩形的面积最大为25平方米。

例2 某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米。

(1)写出广告牌面积S与连长x的函数关系式，并确定自变量的取值范围; (2)将矩形广告牌的连长设计为多少米时，公司获得的设计费最多?并求出此最大值;

(3)为使广告美观，客户要求把它做成矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项，此时设计费是多少?(精确到1元)

分析：矩形的面积等于长乘以宽，所以只需把矩形的长和宽表示出来即可解决问题。 解：(1)因为周长为12米，一边的长为x米，所以矩形的另一边的长为6x米。 所以Sx6xx26x。

所以S与x的函数关系式为Sx6x0x6;

2(2)设广告设计费为y元，则y1000S1000x6000x。 配方，得y1000(x3)29000。 当x3时，y有最大值为9000。

即矩形广告牌设计为连长为3米的正方形时，面积最大，此时公司获得的设计费最多，最多为9000元;

(3)为使设计美观，设做成矩形长为x米，则宽为6x米，所以长加宽为

2x6x6(米)。

由x66x，整理，得x345。 22解得x1353,x2353(舍去). 所以

y1000x26000x1000353600035322249137518497(元) 即当矩形的长设计为353米时,设计费用为8497元. 学习数学,关注数学,解决非生活中的实际问题,是学习数学的根本目的,只有你关注2 11

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身边的数学,才能真正理解数学思想,体会数学的价值.

第四篇：压轴题型训练5-构造函数证明不等式

构造函数证明不等式

函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式.一、 二次函数型：

1. 作差构造法.例1.求证:abcabbcca.

分析:将a视为变量,考察函数faabcabbcc.由于该二次函数的图象开口向上,22222

2且3bc0,故fa0.结论获证.

例2.设a,b,c为ABC的三条边,求证:a2b2c2<2abbcca.

分析:构造函数fxx2bcxbc.∵fx图象开口向上,对称轴xbc.∴fx222

在,bc上单调递减.∵a,b,c为ABC的三条边,∴bc </a

∵fbcbc2bcbcbc4cbc0.∴fa0.即结论成立.

2. 判别式构造法.

2222例3.已知a,b,c,d都是实数,且ab1,cd1.求证:acbd1.

222acbd4ab分析：所证结论即是222c2d20.故可构造函数

fxa2b2x22acbdxc2d2.

由于fxax2acxc222bx222bdxd2axcbxd0. 22

当且仅当xcd时取“=”号.又因为fx的图象开口向上,故必有0. 结论成立. ab

2练习1.求证:acbdab22c2d2.

点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

nnnnnn2222xbi2证之. aibiaibi.可构造函数fxaix2aibi

i1i1i1i1i1i12

练习2.已知a,b是不相等的两个正数,求证:

aba3b3a2b22.

2点拨:构造函数fxabx2ab22xa

1 3b3axabxb证之. 22

练习3. 已知a,b都是正数,x,yR,且ab1,求证:

ax2byaxby.

222

点拨:构造函数fzabz2axbyzaxbyazxbzy证之. 242

练习4. 求证:31aa1aa





.

点拨:构造函数fx3x21aa

二、 分式函数型:

x1a

a4x1xaxa2证之.例4. 已知a,b,m都是正数,并且ab,求证:

分析:构造函数fx

ama

. bmb

baxa

0.故fx在x0,.由于当x0,时，fx

2xbxb

0,上是增函数.∵fx在x0处右连续，∴fx在0,上是增函数.∵m0 ∴

fmf0 即

ama. bmb

ab

1.

1ab

例5. 已知a1,b1,求证:

1a2ax

0. 分析:构造函数fxx1,1.由于当x1,1时，fx2

1ax1ax

故fx在1,1上是增函数.∵fx在x1处右连续，在x1处左连续. ∴fx在1,1上是增函数.∵1b1 ∴f1fbf1 ,即1

ab

1, 即1ab

ab

1.

1ab

练习5. 已知cab0,求证:

点拨:构造函数fx

ab. cacb

x

x0,c

cx

abc

. ambmcm

练习6. 已知ABC的三边长分别是a,b,c.且m为正数.求证:

点拨:构造函数fx

x

,x0,.易证fx为增函数.由于abc, xmabcababab

故fabfc.即.而.

abmcmambmabmabmabm

abc故有.

ambmcm

练习7. 求证:

ab1ab



ab1ab

.

分析:构造函数fx

三、 幂函数型：

x

,x0,证之. 1x

3223

例6 .如果a,b都是正数，且ab,求证：ababab.分析：abababab

n

*

553223



33

a

b2.

考察函数fxx, (nN)在0,上的单调性，显然fx在0,上为增函数.

3322

若ab,则ab, ab,所以ab



33

aa

b20; b20。

3322

若ab,则ab, ab,所以ab

332

所以ababab.

利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为: 若a、b是正数且ab,求证：a

四、 一次函数型：

例7.设a,b,c0,1,求证:abcabbcca1.分析:构造函数fa1bcabcbc1,a0,1.

∵f0bcbc11cb10,f11bcbcbc1bc0. ∴对任意a0,1,恒有fa0.故原不等式成立.

五、 三角函数型：

222

2例8. 已知a,b,c,d都是实数,且ab1,cd1.求证:acbd1.55322

3mn

bmnambnanbm. (m,nN*)

cossinsin 分析:设acos,bsin, ccos,dsin.则acbdcoscos1.

练习8.设x,yR,且xy1,求证

:x2xyy点拨:设xrcos,yrsin.其中r1.以下略.

六、构造函数,利用函数图象的凸性： 例9. 求证3+7<2

5分析:考察函数f(x)=x的图象,特征是上凸函数.对任意x1,x20,,

且x1x2,都有：

f(x1)f(x2)

2f3f7所以,f5. 2

1即(+7)<. 2

两条结论:

(1

值之和越大.(2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小. 练习9.已知:fxtanx,x0,

1

x,xxx, 若 且,试判断0,1212fx1fx2与222

xx

f12的大小. 2

练习10.已知:fxlgx

x1,若0x1x2,试比较



lgAlgB

fx1fx2与2

xx

f12的大小 2

练习11. 求证:lg

AB2

AB0.

以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路.

七、 构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题： 例10.已知m,n是正整数，且1﹤m<n.

</n.

证明1m>1n.n

m

分析：不等式1m>1n两边取对数，得：ln1m>ln1n.

n

m

n

m

整理，得：

ln1mln1n>.

mn

构造函数gx

ln1x

x

x2.

x

ln1x

求导，得：gx1x.

2x

当x2时,可得：0<

x

<1，ln1xln3>1. 1x

故gx<0.所以gx在2,上是减函数.

∵gx在x2处右连续.∴gx在2,上是减函数. ∵mgn.即

n

m

ln1mln1n>.

mn

整理，得：1m>1n.

注：不等式1m>1n也可化为：1m

n

m

m

>1n

1n

.这时，可研究函数

hx1xe

1x

ln1xx

的单调性证之.

n

1练习12.已知n是正整数且n≥3.求证：n

点拨：不等式n

n1

n

>n1.

n

>n1两边取自然对数，整理得：

lnnlnn1>.

n1n

构造函数fx

lnx

可证之. x

lnfx

说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为lnfx型或e

型,

方便了对函数的求导运算. 不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还可建立向量模型、解析几何模型、方程模型等.

第五篇：中考作文分类归纳压轴

中考作文分类归纳：

1、关于个人。人生之路，坚强、坚韧，奋斗不息

2、关于亲情。

3、社会价值观。社会现象。诚信

4、书的世界，我的世界不能没有你

5、环境保护。蓝天的故事。柴静《穹顶之下》“向你致敬”

6、科幻类，跨越时空的交流，没有想象，科学很好玩，我的一次奇幻之旅

1、谈困难

闻名于世的音乐家贝多芬，失恋又耳聋，他说“我要扼住命运的咽喉”。 人生之路，本身就是布满荆棘、坎坷，充满困难与挫折的。要想取得胜利，到达胜利的峰巅，最重要的在于踢开这些阻碍前进的绊脚石，不要被困难吓倒。 困难如弹簧，你弱他就强。我们每个人都应具有不服输的精神，让困难拜倒在你的脚下。要有信心、有勇气，要像一名勇敢的驾驶生命之舟的船长，向惊涛骇浪展开战斗，要在最危急、最关键的时刻看到胜利的彼岸在向你招手。

2、幸福的距离

我们每个人都在追逐自己的阳光，自己的幸福，却总觉得阳光遥不可及，幸福遥不可及;其实，最远的距离，不在空间，也不在时间，最大的幸福，不在环境，也不在金钱，而恰恰在我们自己的心里，在自己的精神感受中。幸福与不幸，也许只在一念之间。这正如老子所言：“福兮，祸之所倚;祸兮，福之所伏。”其

3、以读为话题的中考范文

她这个人真让人难以读懂

分了新屋，也精心装修了一番。

红褐色成了新屋的主调，颇泛着悠久的古韵。镶有花雕的墙框，携带着复古的灵动，洋溢于陌生的密闭空间。红叶，黄花，怒放的盆栽置于白瓦之上，勃勃实，幸福

距

离

我

们

很

远

，

又

很

近

。

1 生机，给人以活力之感。铜古色的餐桌，花状绸布铺于其上，于无形中点缀了花的迷离，沉浸于其中而无法自拔。缓缓挪移那扇印有“自然神韵”之纹的餐厅移门，呈现的是深蓝的境界，崭新，干净，心底深处，略动着掌勺的情愫，柴米油盐，漂浮于脑海，动荡着，翻滚着。

即使如此，外婆毫不贪恋。

她一直守护着那所窄小的车库，如影随形。形浮于记忆，恍然迷茫。

黄色瓦砾整齐地嵌在门槛外，与槛同高，仅图个方便。进门，眼前便是那种泛着黝黑的食橱，里边都摆放着近日的饭菜，炒豆芽，青菜汤，咸菜芋艿，说实话，那股呛人的色泽，谈不上一点食欲。旁边是一张古老的长板桌，上面放了煤气灶台，显然是抵挡不住时间的侵蚀，锈迹斑斑。窗坎下端一边是墨绿的水龙头，下面的承载容器虽然是白瓷所制，也偶有几处可以瞥见到灰层;另一边是红绿白银的热水瓶，瓶塞满是缺口。搁着热水瓶的是一张深黄色条纹的圆桌，这是外婆吃饭用的，最多摆4碗菜，够挤的了。

复古依恋。陈旧不堪。外婆选择后者，真是让人难以读懂。

冬日的晨曦，外婆便起的很早，裹好厚实的毛线衣，外面系上一件黑底白点的围裙，这一装扮把她本来不胖的身体弄的憨态可掬。然而外婆那饱经风霜的脸庞，皱纹显赫，如沟壑，如山峦，荡漾在岁月中。

黑色羽绒。补丁毛衣。外婆仍然选择后者，真是让人难以读懂。

接着下楼，扭转车库门的锁。先是刷牙，用的是一只沧桑的牙刷，漱口杯是普通的区区一元的塑料杯。再是洗脸，那根红白相间的毛巾已伴外婆多年，或许是结下了人物情，即使边缘有很多线脚都被勾出了，外婆也坚决不肯更换一条新毛巾。

晌午，外婆开始发火炉，为了烧开水。楼道门口，缕缕呛人的烟味令人足以窒息，而外婆则开始勤恳地干起家务活来。整理剩饭剩菜，一碗一碗地放入食橱，关上橱门。清洗抹布，不丝一苟地擦拭着灶台，角角落落，一丝一毫都不肯放过。搁放好热水瓶，把桌椅放在圆桌下，略微地增大了些空间，却亦狭小。傍晚，炉火已经被外婆拿进了车库，热水瓶里也灌满了开水。然后便是准备晚饭。

残余的煤饼，火势未熄，外婆仍不放过，拿来烧碗菜汤是必须的。再炒几碗普通的小菜，除非人多，外婆便会使出拿手厨艺，不然便是随便地敷衍了事。

典雅生活。朴素生活。外婆依旧选择后者，真是让人难以读懂。

懵懂之时，满目的茫然，得不到解释。

心灵开始萌动。旧车库，旧毛衣，旧牙刷，兴许是外婆节俭。 衰朽的岁月，试不去节俭的存在。外婆，节俭，依旧。

4守望为话题的中考作文：

守望的距离

夜已深，屋中依旧明亮，一盏明灯在屋顶上摇晃，摇摆的老爷椅正吱吱哑哑的响个不停，一位腰已佝偻的妇人，正低头用颤巍巍的手缝补着那一件校服，寒风袭袭，但她依旧温暖如故，她微笑着，桌上摆着三好学生的证书„„她用针线缝补了亲情，粘和了母爱与深情，缝补了岁月与思念„„

她守望着一个爱的世界„„短短几缕针线，缩短了爱的距离。守望长长，增进爱的长度，缩短心的距离„„

日出日落之间，我们是一群虔诚的守望者，不管前方道路是否依旧，我们的脚步仍踏向远方;不管路途是否遥远，纵是天涯海角，不过是一瞬之间，不过是咫尺之远。

因为，我们用守望将天涯变成为咫尺，因为，我们用守望将咫尺延伸成远方。

对影响最大的一个人

都说光阴似水，似水般匆匆的光阴里有他笑意盎然也便足够阳光。

6、

从那一刻开始

岁月，从黑发中流过，风，传播爱的信息，将黑发，一点点染白。

童年，梧桐树下，透过缝隙照下的阳光把那头黑发照得很黑很亮，那头黑发很长很长站在风中，轻轻地微笑，望着不远处一跳一跳的短发，满是欢乐的笑声。

夜晚，在灯光下，长发在为短发缝着书包带，因为书很重，长发怕这书包不 3 能承受，于是就在书包带上缝上了一点点爱。

早晨，短发背着这更加牢固的书包出发了，短发亲吻着长发，长发的发梢，触到短发的鼻尖，散发出清幽的香气。

傍晚，短发背着书包一蹿一蹿地回来了，长发在门边静静地等待，望着回家的短发露出一点微笑。

吃过晚饭，阳台上，长发为短发清洗着，短发顶着满头的泡泡，在阳台上嘻笑，长发用清水将短发的满头泡泡冲洗掉，用手轻轻揉着短发的耳朵和眼睛，然后用毛巾轻轻地为短发擦头。月光下，被清洗后的短发，显得乌黑流亮，就像长发一样，却不及长发长，长发轻轻地摸着短发说：“孩子，会长长的，就像妈妈的一样。”

长大后，短发离开了长发，长发为短发的书包缝补着，希望能承受更多的重量，而短发离开后，长发则是无尽的思念、担忧，时间一点点流逝着，长发不再乌黑光亮，可还是在静静等待，等待短发的归来。

梧桐树下，是长发等待，还有——落了一地的梧桐叶，短发长长了，回来看望长发，而在门边看到的还是长发露出的一点点微笑，只是长发不再乌黑光亮。

傍晚，还是在阳台，只是短发变成了乌黑的长发，这次，由童年的短发为长发清洗，长发变得和泡沫一样，都是白色的，在月光下，长发显得出银白色的光泽。

风，轻轻地吹，扬起丝丝缕缕的白发，传递着一点一点的爱，让短发变得更长、更黑。

3、水、自然环境

当你漫步在被净化的溪水边，看着那又重新恢复清亮的水淙淙流过身边时，当你休憩在被净化的湖边的凉亭下，凝视着碧波荡漾的湖面上鸭鹅嬉戏时，你是否体会到水带给你的享受和乐趣?

四、作文(共50分)

根据情境，按要求写作。(10分)

20. 从下面两个题目中任选一题，按要求写作。

(1) 酷爱户外运动的小林，报名参加了学校组织的暑期登山夏令营。他的父母得知后非常

4 生气，怕影响小林的学习，坚决让他退出夏令营。小林十分苦恼，他准备给父母写一段话，以得到他们的理解。请你帮助小林设计这段话，来说服他的父母。

(2)小林家的小狗不小心走丢了，他和家人都十分着急。请你帮助小林写一则寻狗启事，张贴在小区布告栏上，希望能找回小狗。

要求：

(1)内容符合要求。

(2)语言得体。

(3)字数在150-200之间。

(4)不要出现所在学校的校名或师生姓名。

爸爸妈妈，我很感谢你们为我的学习担心，也十分理解你们怕参加夏令营影响我的学习的心情。但是换个角度想，登山是项考验人耐力与毅力的户外运动，它不仅能增强我的体质，开拓我的视野，还能培养吃苦耐劳的坚韧毅力。同时，在紧张的学习之余，适当的户外放松有利于缓解大脑过度疲惫，一举两得，既增强了体质又提高了学习效率，为什么不尝试一下呢?相信我，我会在兼顾登山的同时对学习也不懈怠，将登山的毅力投入到学习中，做到更好。

语言通顺得体3分;符合题意(符合情境规定)2分，中心明确(登山不影响自己的学习，希望得到父母同意)2分，理清楚2分，结构完整1分。

7、诚信

诚信，作为中华民族的传统美德，数千年的传承后仍然光彩依旧。

东汉末年，群雄争霸，一个个英雄的骊歌在此吹响。赤面秉赤心，骑赤兔追风，驰驱时，无忘赤帝;青灯现青史，提青龙偃月，隐微处，不愧青天。这赞的是关羽，诚心的典范忠义的象征。只因桃园结义时的一句"生死相随"，他付出了一生。即使战乱时投了曹操，在得知兄长下落时依然奋不顾身千里相投，过五关我们这个社会斩六将尽显英雄本色。"拼将一死酬知己，致令千里仰义名"。时光荏苒，三国已成为历史的足迹，但岁月带不走，那一个个鲜活的面容，英雄的故事必将永远留传……

5 不得不说，诚信造就了英雄。

5、环境保护

最后的一点绿色，可惜;最后的一滴眼泪，可怜;最后的一丝忏悔，可悲。当汹涌的飞沙弥漫着卷你入潮时，留下的只会是久久的哀叹和遗憾;当干涸的羁风急促着慌忙拉你入谷时，留下的只会是长长的悔恨和惋惜。

听!草原、森林、海洋，她们在哭泣;走兽、游鱼、飞鸟，她们在呐喊。为了曾经秀美的碧水、青山，为了曾经辽阔的清澈、蔚蓝，看一看前面的路吧!再这样走下去，人类无疑一步步走入自己设置的地狱。洗净手上的鲜血吧!从现在开始爱护每一个生命，爱护每一滴水，爱护每一片绿阴……

让我们对绿色作一次深情的呼唤，呼唤美丽的阳光，呼唤蔚蓝的天空，呼唤清澈的湖水，呼唤人与自然的和谐。让我们手拉着手，对这个世界一起呼唤：关爱地球，还我碧水蓝天。

7、科幻故事作文《小孩子的星球》

“小主人，快起床，局部宇宙爆炸将在四小时内开始!包括我们这里!”这是我的电子和平鸽在叫我。“啊!”我显得有些惊慌失措。因为即使走最近路线，乘我的超光速飞碟也只能在四个半小时之后飞出这片地区。就算现在赶紧准备，也来不及了!

宇宙大爆炸开始了。我们的地球在这片区域的边境，所以，我被甩出了这片区域，落在了一个叫做“孩子星球”的水蓝色星球上。

我住在一位好心人的家里。时间长了，我发现，这个星球上的全体居民都是孩子，他们都永远长不大。这些孩子来自各个星球。虽然是孩子，但是样样都不比大人差。他们用自己的智慧和汗水，把“孩子星球”建设得处处都达到了现代化的水平。

“孩子星球”的工业非常发达。星球上有成百上千家工厂，有纺织系统的，有食品工业系统的……工厂里全都是自动化的，仅靠几台电脑和几个智能机器人控制。例如，“孩子星球纺织厂”，这里的纺织小工人们再也不用像过去那样在几台机器中间来来回回地检查了，代替他们的是一个个智能机器人。一旦有了故障，机器人会简单而又迅速地处理一下，如果故障太大，智能机器人处理不了，它就会发出“嘟嘟嘟”的急促尖叫，提醒小工人马上去处理。

“孩子星球学校”的课程十分有趣。学校里的孩子们在玩儿的过程中，不知不觉地学到了许多知识。例如“孩子星球学校”的语文阅读课，一个班的同学同时阅读一篇文章，之后根据文章内容制作动画。每个同学再把文章读一遍，录下来，根据文章的意思插到相应动画中。再调整一个适当的语速。同学们都做完自己的动画时，机器人老师轮流放映每一个同学的动画。同学们在观看动画成品的同时，许多同学都已经能把课文倒背如流了。这里的同学都很爱学习，成绩也都很好。从这里出来的学生，个个才高八斗，都是受重用的人才。

“孩子星球”上的蔬菜和庄稼长得令人吃惊。走进农田，放眼望去，只见一片片蔬菜和庄稼的“森林”展现在你的面前。向日葵高得像一棵小树，葵花盘大得似雨伞。麦粒儿大得像一颗颗红枣，柿子大得像南瓜。如果把柿子挂在商店的门口，有些人很可能误以为它是灯笼呢。在这里，时令蔬菜应有尽有。这里农田里的果实为什么这么大呢?原来，这是利用失重条件种植的，再加上没有狂风暴雨的袭击，阳光充足，养分适中，植物可以充分生长，所以果实才大得惊人。

“孩子星球”上虽然没有大人，但是孩子们照样把星球建设得富饶、发达。理所当然，我希望大家都来“孩子星球”上参观、访问，长一长你们的见识。

8、关于爱国

我们要更加珍惜这来之不易的和平，“少年强则国强”，我们是祖国的花朵，更是祖国的希望。周恩来总理说过：“为中华之崛起而读书”。中国的命运掌握在所有中国人的手上，更掌握在我们青少年手上!我们一定要努力学习，让祖国更加强大。“不忘国耻，振兴中华!”让这句话永远记在我们的心里，激励我们奋发图强。

肃立在墓碑前，我仿佛看到了七八十年前英雄先烈们在战场上奋勇杀敌的画面。细细瞻仰着每一块墓碑，浮想联翩。是他们用自己的鲜血和青春铸就了我

7 们今天的和平和幸福。我们今天来纪念革命先烈，深切缅怀他们的丰功伟绩，表达我们的思念之情，来告慰他们的在天之灵。

⒈人生哲理

1、生命的美丽,永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽,是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽,是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽,是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。

2、生活,就是面对现实微笑,就是越过障碍注视未来;生活,就是用心灵之剪,在人生之路上裁出叶绿的枝头;生活,就是面对困惑或黑暗时,灵魂深处燃起豆大却明亮且微笑的灯展。

2、理想与信念

信念的力量在于即使身处逆境,亦能帮助你鼓起前进的船帆;信念的魅力在于即使遇到险运,亦能召唤你鼓起生活的勇气;信念的伟大在于即使遭遇不幸,亦能促使你保持崇高的心灵。

⒊人间真情

①母爱是迷惘时苦口婆心的规劝;母爱是远行时一声殷切的叮咛;母爱是孤苦无助时慈祥的微笑。

②母爱是一缕阳光,让你的心灵即便在寒冷的冬天也能感受到温暖如春;母爱是一泓清泉,让你的情感即使蒙上岁月的风尘仍然清澈澄净。

③母爱是一滴甘露,亲吻干涸的泥土,它用细雨的温情,用钻石的坚毅,期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点,而是一条流动的河,这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。

1、爱心是一股撞开冰闸的春水,使铁石心肠受到震撼;爱心是一座亮在黑夜的灯塔,使迷途航船找到港湾:爱心是一柄撑起在雨夜的小伞,使漂泊异乡的人得到

8 亲情的荫庇;爱心是一道飞架在天边的彩虹,使满目阴霾的人见到世界的美丽。

2、是一瓢纷洒在春天的小雨,使落寞孤寂的人享受心灵的滋润;爱心是一泪流淌在夏夜的清泉,使燥热不寐的人领略诗般的恬静;爱心是一杯泼洒在头顶的冰水,使高热发昏的人得能冷静地思索;爱心是一块衔含在嘴里的奶糖,使久饮黄莲的人尝到生活的甘甜。

3、力量是无比大的,爱的色彩是无比美的,她可使心中有爱的人幸福,贡献出爱的人快乐,得到爱的人欢笑。可使家庭美满,使社会安定,使世界和平。关心、宽恕和体谅都是爱,让我们一起把爱贡献出来,给社会,给世界,给人间,使人间处处有温暖,处处有温情,处处都有爱。

⒋快乐.幸福.美好

什么是幸福?幸福是果园里果农望着压满枝头果实的满脸喜色,幸福是教室里莘莘学子憧憬未来的动人笑脸。幸福,时时刻刻围绕在你身旁。如果你从母亲手中接过饭碗,心存温馨,那就是幸福;如果你在灯下读着朋友的来信,品味友情,那就是幸福;如果你独坐一隅,静静听歌,凝神遐思,那就是幸福。

⒌真诚.尊重.宽容

1、我们愿意打开心内的窗,才会看见心灵的宝藏;只有我们愿意打开心内的窗,才会看见门外清明的风景;只有我们愿意打开心内的窗,人间的繁花满树与灯火辉煌才会一片一片飘进窗来;只有我们愿意打开心内的窗,我们才能坦然勇敢走出门去,一步一步走向光明的所在。

2、是一缕春风,一泓清泉,一颗给人温暖的舒心丸,一剂催人奋进的强心剂。

3、别人是一种美德,受人尊重是一种幸福。

4、润滑了彼此的关系,消除了彼此的隔阂,扫清了彼此的顾忌,增进了彼此的了解。

5、如海,宽容作舟,泛舟于海,方知海之宽阔;生活如山,宽容为径,循径登山,方知山 9 之高大;生活如歌,宽容是曲,和曲而歌,方知歌之动听。

⑩学会宽容,意味着成长,秀木出木可吸纳更多的日月风华,舒展茁壮而更具成熟的力量。 ⒍友爱与互助

①“朋”可理解成两个月亮坐在天空,相互关怀,相互照亮,缺一不可,那源源不断的光芒是连接彼此的纽带和桥梁!人间的长旅充满了多少凄冷、孤苦,没有朋友的人是生活的黑暗中的人,没有朋友的人是真正的孤儿。

②朋友是夏天的树阴,为你送来一片清凉;朋友是人生中的风景,没有他旅途便黯然失色。朋友是你失意时无言地安抚你的人,朋友是你高兴时与你分享的人;朋友是你骄傲时提醒你的人,是你自卑时鼓励你的人… ⒎成功与挫折

1、大海风平浪静,却常常有狂风和恶浪。希望江河一泻千里,却常常有旋涡和急流,希望生活美满幸福,却常常有悲伤和忧愁。人生旅程并不是一帆风顺的,逆境、失意会经常伴随着我们,但人性的光辉往往在不如意中才显示出来,希望是激励我们前进的巨大的无形的动力 ⒏大自然启示

1、的麦子低垂着头,那是在教我们谦逊;一群蚂蚁能抬走大骨头,那是在教我们团结;温柔的水滴穿岩石,那是在教我们坚韧;蜜蜂在花丛中忙碌,那是在教我们勤劳。

2、下的小草教我们坚强,峭壁上的野百合教我们执着,山顶上的松树教我们拼搏风雨,严寒中的腊梅教我们笑迎冰雪。

也许,你升不成光芒万丈的太阳,但你依然可以升成一轮皎洁的月亮或一颗微弱的星辰,为大地添一分光明,增一分热量。也许,你妆扮不成雍容华贵的牡丹,但你依然可以长成一朵野花或一棵小草,为人类添一缕芳香,增一分活力。

⒐读书与学习

10 ①书是良药,刘向说:"书犹药也,善读可以医愚"书是益友,臧克家说:"读过一本书,像交了一位益友;书是窗户,高尔基说:"每一本书,都在我面前打开了一扇窗户" ②书是世界的一个窗口,人们就是通过这许许多多的窗口去认识世界的。书就是一艘船,它载着人们在知识的海洋中航行。

⒑时间与青春

②时间好象一把尺子,它能衡量奋斗者前进的进程。时间如同一架天平,它能称量奋斗者成果的重量;间就像一把皮鞭,它能鞭策我们追赶人生的目标。时间犹如一面战鼓,它能激励我们加快前进的脚步。