二次函数衔接最值问题

第一篇：二次函数衔接最值问题

初升高衔接教材第5讲二次函数最值问题

第五讲 二次函数的最值问题

二次函数yax2bxc (a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在bb4acb2x处取得最小值，无最大值;当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值。 4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值。

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围。

1

【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)。 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54。

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

练 习

2

第二篇：二次函数的最值问题

雷州市第一中学 徐晓冬

一、 知识要点

对于函数fxax2bxca0，

当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为 。 当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为 。

二、 典例讲解

例

1、 已知函数fxx2x2，

(1)、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。 (2)、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。 (3)、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、 已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论;最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 例

3、 已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、 已知函数fxmx2x2，

x1,2，求函数fx的最小值和最大值。 点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、 练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值.

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。 (1)、求ga的表达表; (2)、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值.

1的a的值，并求出当a取此值时，fx的最大值。 2

第三篇：二次函数的最值问题教案

二次函数的最值问题 莘庄职校 ：吴翩

班级：莘庄职校03级(4)班

2003/12/4 [教学目标]

1、

2、

3、

4、 使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。 引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性， 培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。 [教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。 难点：分类讨论思想的正确运用。 [教学过程]

一、 知识回顾

1、 二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a

2、 图象性质

(动画演示)

(1) 单调性 (2) 最值

二、 问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。(动画演示)

(1)R

f(x)minf(1)

(2)[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

(3)[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5(4)[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f() x3(5)[-2，a]

(学生观察，讨论)

f(2) f(a)

f(x)max①当-2≤a<-1时

f(x)minf(2) f(1)

f(x)max②当-1≤a<0 时

f(x)minf(a) ③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、 问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

(动画演示)

f(m) 解：当m<-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m) f(1)

f(x)max当-3<m<-2时

</m<-2时

f(x)minf(m2) f(1)

f(x)max当-2<m<-1时

</m<-1时

f(x)minf(m2) 当m>-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、 总结归纳

五、 开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

研究：二次函数f(x)x22a1在区间[-1，2]上最值。(动画演示)

第四篇：二次函数最值问题-解析版

【A+级课程】第1讲：二次函数最值问题

1、当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值.

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.

解：作出函数的图象.当x1时，ymin4，当x2时，ymax5.

2、当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值.

解：作出函数的图象.当x1时，ymin1，当x2时，ymax5.

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况：

3、当x0时，求函数yx(2x)的取值范围.

解：作出函数yx(2x)x22x在x0内的图象. 可以看出：当x1时，ymin1，无最大值. 所以，当x0时，函数的取值范围是y1.

4、当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数). 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 解：函数y125xx的对称轴为x1.画出其草图. 22125tt; 22(1) 当对称轴在所给范围左侧.即t1时： 当xt时，ymin(2) 当对称轴在所给范围之间.即t1t10t1时：

125113; 22(3) 当对称轴在所给范围右侧.即t11t0时： 当x1时，ymin1

当xt1时，ymin

151(t1)2(t1)t23. 222122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t12

25、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z(元)会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.

(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?

(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式;

(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益w的最大值.

分析：(1)政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元;(2)利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式;(3)商场销售彩电的总收益=商场销售彩电台数×每台家电的收益，将(2)中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值. 解：(1)该商场销售家电的总收益为800200160000(元);

(2)依题意可设yk1x800，Zk2x200，有400k18001200，200k2200160，解得11k11，k2.所以yx800，Zx200.

55(3)WyZ(x800)11x200(x100)2162000，政府应将每台补贴款额x定为100元，

55总收益有最大值，其最大值为162000元.

说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.

6、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.

2

(1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y

1、y2与x之间的函数关系式. (2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 分析：(1)提价后每间包房的收入=原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数=每间包房收包房提高费数量的一半;(2)酒店老板每天晚餐包房总收入=提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y取得最大值时x的值. 解：(1)y1100x，y2(2)y(100x)(1001x; 211x)y(x50)211250，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当22x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.

说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.

第五篇：二次函数的最值问题修改版

利用数形结合法解决二次函数在闭区间

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1. 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法; 2. 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为(1)x3,0，(2)x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢?

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢?

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

2

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

(三)作业：

1. 求函数fxx22x3在区间t,t1上的最值 2. 求函数fxx2ax3在区间1,1上的最小值