抽象型函数定义域求解研究论文
在函数的三要素——定义域、值域和对应法则中, 定义域和对应法则是核心, 对函数的学习和研究必须建立在定义域的基础上, 因此求解函数的定义域是函数问题研究中的一项重要内容。但在实际研究函数问题的过程中, 定义域却常常容易被忽略, 从而造成错误。函数定义域求解是函数研究的基础和核心, 我们必须掌握函数定义域的求解方法, 才能正确理解函数的意义并对其进行更深层次的研究。
在求函数定义域的问题中, 对应法则直接给出的函数的定义域求解法各种资料上已经介绍得十分详细, 但对于对应法则没有直接给出的函数, 即抽象型函数的定义域求解方法则显得较少。因此, 本文选取了几类较为常见和典型的抽象型函数为例, 针对不同类型的函数为例研究不同的定义域求解方法。
1 若已知f (x) 的定义域, 求f[g (x) ]的定义域
例1:若函数f (x) 的定义域是[0, 1], 求f (2x-1) 的定义域。
解:要使f (2x-1) 有意义, 必须0≤2x-1≤1, 1≤2x≤2。
例2:若f (x) 的定义域是
解:要使f (c o s x+1) 有意义, 必须0<
即:
∴f (cosx+1) 的定义域为{x 2kπ-π<
小结:若f (x) 的定义域, 求f[g (x) ]的定义域时, 其f (x) 的定义域就是g (x) 的值域, 而g (x) 的定义域即是所求f[g (x) ]的定义域。故由g (x) 的值域A求出g (x) 的定义域B, 则B即为所求f[g (x) ]的定义域。
2 若已知f[g (x) ]的定义域, 求f[ϕ (x) ]的定义域
例3:若函数f (3x+1) 的定义域为[-2, 4], 求函数f (2x-3) 的定义域。
解:∵f (3x+1) 的定义域[-2, 4]是指其中的x,
例4:若函数f (sinx) 的定义域是[0, 2π], 求f (lgx) 的定义域。
解:
小结:先由f[g (x) ]的定义域求得f (x) 的定义域, 再由f (x) 的定义域求得的f[ϕ (x) ]定义域。即:若函数f[g (x) ]的定义域为A, 求f[ϕ (x) ]的定义域时, g (x) 的定义域也是A, g (x) 的值域也是ϕ (x) 的值域, 而ϕ (x) 的定义域即为f[ϕ (x) ]的定义域。
3 若已知f[g (x) ]的定义域, 求f (x) 的定义域
例5:若f (1+sinx) 的定义域是
解:∵f (1+sinx) 的定义域
例6:若f (lnx+ex) 的定义域为[1, e], 求f (x) 的定义域。
解:∵f (lnx+ex) 的定义域[1, e]是指其中的x,
小结:若f[g (x) ]的定义域是A, 则g (x) 的定义域也是A, , g (x) 的值域B即是f (x) 的定义域。
4 若已知函数f (x) 的定义域, 求f[g (x) ±ϕ (x) ]的定义域
例7:已知f (x) 的定义域是[-2, 1], 求函数f (-x) +f (1-x) 的定义域。
解:∵f (x) 的定义域是[-2, 1]
即:0≤x≤2
∴函数f (x) 的定义域是[0, 2]
例8:若函数f (x) 的定义域为 (-1, 1) , 求f (x+β) +f (x-β) 。 (-1<β<1) 的定义域。
解:∵f (x) 的定义域是 (-1, 1)
当-1<β<0时, β-1<-1-β<1+β<1-β,
得-1-β<x<1+β
</x<1+β
当β=0时, -1<x<1
</x<1
当0<β<1时, -1-β<β-1<1-β<1+β,
得β-1<x<1-β
</x<1-β
∴当-1<β<0时, f (x+β) +f (x-β) 的定义域为{x-1-β<x<1+β},
</x<1+β},
当β=0时, f (x+β) +f (x-β) 的定义域为{x-1<x<1},
</x<1},
当0<β<1时, f (x+β) +f (x-β) 的定义域为{xβ-1<x<1-β}。
</x<1-β}。
5 结语
求由有限个抽象函数经四则运算得到函数的定义域时, 其解法是, 先求出各个函数的定义域, 然后再求交集。即:若给出f (x) 的定义域, 求f[g (x) ±ϕ (x) ]的定义域时, g (x) 与ϕ (x) 的值域均为f (x) 的定义域, g (x) 与ϕ (x) 的定义域的交集即是f[g (x) ±ϕ (x) ]的定义域。
对于含有字母参数的函数求解定义域时, 必须对字母参数的取值范围进行讨论。
摘要：求解函数的定义域是研究函数问题的一项重要内容。由于对应法则没有给出, 抽象型函数定义域的求解问题显得比其他类型的函数要复杂, 这种复杂性又使抽象型函数定义域求解问题在教学过程中容易被忽略而得不到足够重视。本文选取了几类常见抽象型函数, 以此为例研究抽象型函数的定义域求解方法。
关键词：函数,抽象型,定义域
点击下载文档文档为doc格式