二次函数在中学数学中的应用

一、引言

在中学数学中有一块很重要的内容, 一直是中考和高考的重难点, 那就是二次函数。我们把形如f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的函数叫做二次函数。二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延。可以作为函数来研究, 也可以结合图形来研究。作为最基本的初等函数, 可以用它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、周期性、最大 (小) 值等性质, 还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系;结合图形, 二次函数的图象是一条抛物线, 它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。这些纵横联系, 使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。

二、二次函数在函数性质中的应用

二次函数在函数性质中的应用很多, 下面从七个方面进行总结:

1. 二次函数在解方程中的应用

对于二次方程f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 判别式:△=b2-4ac (1) 当△>0, 原方程有两个不相等的实数根; (2) 当△=0, 原方程有一个实数根 (或者两个相等的实数根) ; (3) △<0;原方程没有实数根。

2. 二次函数在解不等式中的应用

二次不等式是高考每年必考的一个重要内容, 很多时候, 我们要借助二次函数的一些性质来解题。从而使二次不等式简单化, 更容易掌握。

3. 二次函数在分解因式中的应用

谈起二次函数的解析式, 许多读者都能想到一般式y=ax2+bx+c和顶点式y=a (x-h) 2+k, 却往往忽视了另外一种重要的形式——二次函数的零点式 (两根式) y=a (x-x1) (x-x2) (其中, x1、x2是二次函数图象与x轴的交点横坐标) 。在解决有关二次函数的问题中, 若能对其灵活运用, 往往能够收到事半功倍的效果。

4. 二次函数在函数对称性中的应用

5. 二次函数在求函数值域中的应用

利用二次函数求值域的最常用方法有: (1) 根据所给区间与二次函数的对称轴的位置关系求其值域; (2) 遇到类似于二次函数的, 转化为二次函数的函数, 求其值域; (3) 形式初看不是二次方程, 但经过变形可以变为二次函数的, 可以先变形为二次函数, 利用二次函数求其值域; (4) 把求函数值域转化为求一元二次方程有实根的充分必要条件来求函数的值域。

7. 二次函数在求函数最值中的应用

求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向 (即二次函数中二次项系数的正负) , 然后借助于二次函数的图象或性质求解。因此, 定义域、对称轴及二次项系数是求二次函数最值的三要素。

三、二次函数在常数“a>f (x) ”或“a

在数学问题研究中经常会碰到在给定的条件下某些结论恒成立的情况, 二次函数在给定区间上恒成立问题, 其表现形式通常有:①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R;③某不等式的解集为全体实数R;④某表达式的值恒大于或恒小于a等等。

四、二次函数在生活实际中的应用

解决二次函数在生活实际中的应用问题, 是新教材所要求的一个重要能力, 而二次函数型的应用问题是应用问题的主要题型之一, 在研究中应抓住一下一些能力的训练:

(1) 阅读理解、整理数据的能力:通过分析、画图、列表、归类等方法, 快速弄清楚数据之间的关系、数据的单位等等。

(2) 建立二次函数模型的能力:关键是正确选择自变量, 将问题的目标表示为这个变量的函数 (但在许多问题中, 考虑到这个问题的难度, 命题中会给出自变量) , 建立二次函数模型的过程主要抓住某些量之间的相等关系列出二次函数关系式, 注意考虑到生活实际, 依次来确定二次函数的定义域。

(3) 求解二次函数模型的能力:主要是研究二次函数的单调性, 求二次函数的值域、最大 (小) 值 (注意这些能力目前还不高, 只能解答一些简单的问题) 、计算函数值等等, 注意发挥函数图象的作用。

二次函数在生活实际中的应用, 我们要把实际生活问题抽象为数学问题, 通常分为三步:

(1) 阅读理解。即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景, 领悟其中的数学本质, 弄清楚题中出现的量及其数学含义。

(2) 根据各个量的关系, 进行数学化设计。即建立目标二次函数, 将生活实际问题转化为数学问题。

(3) 进行标准化设计。即转化为常规的二次函数问题或其他常规的数学问题加以解决。

五、结束语

总之, 二次函数是中学数学的重要内容, 它可以独立命题, 也可以二次函数为载体, 与其他数学知识交叉整合形成综合性题目。由于此类问题的解题思路与已知条件之间的跨度大, 使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象。二次函数的解题思想是中学数学思想的重要体现, 这一思想体系始终贯穿着中学数学的很多章节。它的整体内容涉及很广, 本文只是二次函数研究的开端, 在以后的教学实践中还将继续深人研究, 也敬请广大的一线数学教师在教学实践中多关注这方面知识, 共同研究, 更趋完善。

摘要：二次函数作为数学研究中的一个非常重要的工具, 在整个中学数学的教与学之中有很多应用。从最浅显的直观图像, 解方程、解不等式、求最值, 到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题、再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题等。在中考和高考中二次函数都占有一定的比重。本文主要通过几类应用实例来展现二次函数在中学数学中的重要价值。

关键词：二次函数,数形结合,实际问题,性质

参考文献

[1] 罗培基.学海导航[M].海口:海南出版社, 2008.

[2] 缪云文.新课程中学数学教学的思考与建议[J].教育革新, 2007 (5) :89-91.

[3] 王影.求函数值域的几种常用方法[J].解题技巧与方法, 2010 (15) :71-72.