考研高数基本初等函数

第一篇：考研高数基本初等函数

函数与基本初等函数2.6幂函数(作业)

响水二中高三数学(理)一轮复习 作业 第二编 函数与基本初等函数Ⅰ

主备人

张灵芝

总第9期

§2.6幂函数

一、填空题 1.设α∈{-1,1,12α ,3}，则使函数y=x定义域为R且为奇函数的所有的α值为 .

α2.幂函数f(x)=x(α是有理数)的图象过点(2，

m2m214)，则f(x)的一个单调递减区间是 .

3.如果幂函数y=(m-3m+3)x

2的图象不过原点，则m的取值是 . 4.如图所示，曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次为 . 21x,5.设函数f(x)=2xx2,

312四个值，则相应的曲线C1，C2，

x1,x1，则f(

1)的值为 . f(2)6.设f(x)=x+x,则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 条件.

127.当0

2121D上封闭.若定义域D=(0，1)，则函数①f(x)=3x-1;②f(x)=-x -22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,

12其中在D上封闭的是 .(填序号即可)

二、解答题 9.求函数y=x

1m2m1 (m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性.

10.已知f(x)=x n22n3(n=2k,k∈Z)的图象在[0，+∞)上单调递增，解不等式f(x-x)>f(x+3).

2 17

x24x5211.指出函数f(x)=2的单调区间，并比较f(-)与f(-)的大小.

x4x42

12.已知函数f(x)=xx51313，g(x)=

xx51313.

(1)证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x)的单调区间;

(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有 不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

第二篇：示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ习题课(二))

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习题课(二)

(函数的概念和图象)

教学过程

复习(教师引导，学生回答)

1.函数单调性的定义.

2.证明函数单调性的基本步骤.

3.函数奇、偶性的定义.

4.根据定义判定函数奇、偶性的步骤.

5.根据奇偶性可以把函数分为四类：奇函数;偶函数;既是奇函数，也是偶函数;既不是奇函数，也不是偶函数.

6.既是奇函数，也是偶函数的函数有无数个，解析式都为f(x)=0，只要定义域关于原点对称即可.

7.映射的定义.

8.映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序的.映射是由集合A、集合B和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A中之任一对B中之唯一.A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，可以允许有剩余;映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射.映射所涉及两个集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合. 导入新课

前面一段，我们一起研究了函数的单调性、奇偶性以及映射有关概念及问题，并掌握了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们将对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想;并通过典型例题进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力. 推进新课

基础训练

思路1

1.对应①：A={x|x∈R}，B={y||y|>0}，对应法则f:

1→y; x

对应②：A={(x,y)||x|<2,|y|<2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，对应法则f:(x,y)→x+y，下列判断正确的是(

)

A.只有①为映射

B.只有②为映射

C.①和②都是映射

D.①和②都不是映射

2.已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个不恒为零的函数，若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是(

)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

3.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增;

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减;

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减.

其中正确的命题是(

)

A.①和③

B.①和④

C.②和③

D.②和④

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4.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：

(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=

解答：1.A 2.A 3.C

4.(1)函数f(x)=-x2+x-6单调区间为(-∞，

(-∞，

x;(3)f(x)=-x3+1.

11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上为增函数，f(x)在[，+∞)上为减函数. 2

2(2)f(x)=x单调区间是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是减函数;

(3)f(x)=-x3+1单调区间为(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

思路2

1.映射f:X→Y是定义域X到值域Y上的函数，则下面四个结论中正确的是…(

)

A.Y中元素在X中不一定有元素与之对应

B.X中不同的元素在Y中有不同的元素与之对应

C.Y可以是空集

D.以上结论都不对

2.下列函数中，既非奇函数又非偶函数，并且在(-∞,0)上是增函数的是(

)

A.f(x)=5x+2

B.f(x)=

C.f(x)=

x

1-1

D.f(x)=x2 x

3.设f(x)为定义在数集A上的增函数，且f(x)>0，有下列函数：①y=3-2f(x);②y=

1;f(x)③y=[f(x)]2;④y=f(x).其中减函数的个数为(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

1x2

4.函数f(x)=(

) x

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

5.函数f(x)=a(a≠0)在区间(-∞,0)上是(

) x

A.增函数

B.减函数

C.a>0时是增函数，a<0时是减函数

D.a>0时是减函数，a<0时是增函数

6.对于定义在R上的函数f(x)，有下列判断：

(1)f(x)是单调递增的奇函数;

(2)f(x)是单调递减的奇函数;

(3)f(x)是单调递增的偶函数;

(4)f(x)是单调递减的偶函数.

其中一定不成立的是_________________.

解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)

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应用示例

思路1

例

1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…(

)

A.f(2)<f(1)<f(4)

</f(1)<f(4)

B.f(1)<f(2)<f(4)

</f(2)<f(4)

C.f(2)<f(4)<f(1)

</f(4)<f(1)

D.f(4)<f(2)<f(1)

</f(2)<f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.

解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，

因为当x<2时，y=f(x)为单调减函数，又因为0<1<2，所以f(0)>f(1)>f(2)，

即f(2)<f(1)<f(4)，故选a.

</f(1)<f(4)，故选a.

解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，画出函数f(x)=x2+bx+c的草图如右图所示：

由草图易知：f(2)<f(1)<f(4)，故选a.

</f(1)<f(4)，故选a.

点评：(1)解法一是先将要比较大小的几个数对应的自变量通过函数图象的对称轴化到该函数的同一个单调区间内，然后再利用该函数在该区间内的单调性来比较这几个数的大小;解法二是根据所给条件画出函数的草图，只需将要比较大小的几个数对应的自变量进行比较大小即可，当然，这与函数图象的开口方向也有关.

记忆技巧：若函数图象开口向上，则当自变量离对称轴越远时函数值越大;

若函数图象开口向下，则当自变量离对称轴越远时函数值越小.

(2)通过此题可将对称语言推广如下：

①若对任意实数x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴;

②若对任意实数x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

ab是函数f(x)的对称轴. 2

例2

有下列说法：

①函数f(x)在两个区间A、B上都是单调减函数，则函数f(x)在A∪B上也是单调减函数;

②反比例函数y=1在定义域内是单调减函数; x

③函数y=-x在R上是减函数;

④函数f(x)在定义域内是单调增函数，则y=[f(x)]2在定义域内也是单调增函数.其中正确的说法有(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分析：本题是有关函数单调性的选择题，解决时采取各个击破的方法.

解：①不正确.因为函数f(x)=

1在区间A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是单调减函数，但f(x)x在区间A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是没有单调性的，所以①不正确、

②不正确.反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性的、 x中鸿智业信息技术有限公司

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③正确、

④不正确.因为函数f(x)=x在定义域(-∞,+∞)内是单调增函数，但是函数y=[f(x)]2=x2在区间(-∞,0]上单调减，在区间[0,+∞)上单调增，而在定义域(-∞,+∞)内是没有单调性的，所以④不正确.

所以正确的说法只有1个，故本题选A.

点评：(1)在“反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性”这一点上，学生x经常会出错，教师应向学生强调.

(2)对于要让我们判断正确与否的问题，要学会通过举反例的方法来判断.

(3)要判断某个说法正确，需要严密的推理论证;要判断某个说法不正确，只需要取出一个反例即可.

例

3定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a的取值范围.

分析：本题所给函数为抽象函数，没有具体的函数解析式，要求实数a的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.

解：因为f(x)的定义域为(-1,1)，所以11a1,2解得0 </a<.①

3113a1,

原不等式f(1-a)+f(1-3a)<0化为f(1-3a)<-f(1-a)，

因为f(x)是奇函数，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化为f(1-3a)<f(a-1)，

</f(a-1)，

因为f(x)是减函数，所以1-3a>a-1，即a<

由①和②得实数a的取值范围为(0,

1.② 21).

2点评：(1)学生容易忘记定义域的限制，因此要重视定义域在解题中的作用.

(2)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义与奇偶性定义的正确运用.

若函数f(x)在区间A上递增，且f(x1)<f(x2)，则x1,x2a;

</f(x2)，则x1,x2a;

x1x2x1,x2A

若函数f(x)在区间A上递减，且f(x1)<f(x2)，则.

</f(x2)，则.

xx2

1变式训练

问题：请对题目条件作适当改变，并写出解答过程.

(学生有可能会得出如下变式)

(错误)变式一：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a的取值范围.

点拨：教师引导学生发现此变式一是错误的，因为偶函数f(x)在整个定义域上不可能是单调函数(图象关于y轴对称)，鼓励学生再改.

(不当)变式二：定义在(-1，1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a的取值范围.

点拨：教师引导学生发现此变式二的题目是正确的，但是没有办法解决.因为解决此类问题是依据函数的单调性脱去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)<0，得f(1-a)<-f(1-3a)，不等式右边的

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负号没有办法去掉.例3中的函数f(x)为奇函数，不等式右边的负号可以拿到括号里面，再根据函数f(x)的单调性来解决即可，而变式二中的函数f(x)为偶函数，不等式右边的负号去不掉就没有办法利用函数f(x)的单调性来解决.

拓展探究：

(正确)变式三：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)<f(1-3a)，求实数a的取值范围.

</f(1-3a)，求实数a的取值范围.

例

4已知函数f(x)=ax3+bx+1，常数a、b∈R，且f(4)=0，则f(-4)=____________.

分析：本题所给的函数虽然给出了函数解析式，但解析式中含有两个参数.想要将这两个参数全部求出来再来求解显然是不可能的，因为题目中只给出了一个条件，根据一个条件想要求出两个未知数的值是办不到的.因此尝试着用整体思想来解决本题.

解：(方法一)设g(x)=ax3+bx，则f(x)=g(x)+1.

因为g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函数.

因为f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1;又因为g(x)是奇函数，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.

(方法二)因为f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，

则f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.

点评：(1)审题要重视问题的特征;(2)整体代换是解决此类问题常用的思想方法.

例

5求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.

分析：本题中的函数是二次函数，求二次函数在闭区间上的最值问题按照“配方——草图——有效图象”三部进行.

解：因为函数f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a<2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;

(2)当2≤a≤4时，f(x)min=f(a)=2-a2;

(3)当a>4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a.

(a2),67a,

2综上所述：f(x)min=2a,(2a4),

188a,(a2).

点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论;最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.

变式训练

1.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.

解：由例5可知f(x)max为f(2)与f(4)中较大者，根据函数f(x)=x2-2ax+2的草图可知：

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4)，则f(x)max=f(2)=6-4a;

(2)当a<3时，f(2)<f(4)，则f(x)max=f(4)=18-8a.

</f(4)，则f(x)max=f(4)=18-8a.

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故f(x)max=64a,(a3),

88a,(a3).2.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.

解：因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函数f(x)的对称轴是x=a，

(1)当a≤2时，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;

(2)当2 </a<3时，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a;

(3)当3≤a<4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a;

(4)当a≥4时，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.

例6

设x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m为何实数值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值.

错解：因为x

1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，

m2. 4m2117

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.

4162117

所以当m=时，x12+x22有最小值，且最小值为-. 416

由韦达定理，得x1+x2=m，

x1·x2=

分析：关于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有两个实根，则它的判别式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到

1，不能忽视一元二次方程有实根4的充要条件.

正解：因为x

1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=m2. 4m2117=(m-)2-.

41621217)-的

416

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-

又因为Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根据二次函数f(m)=(m-草图，知当m=-1时，ymin=

1. 2

点评：求函数值域、最值，解方程、不等式等均要考虑字母的取值范围，有些问题的定义域非常隐蔽.因此，我们要注意充分挖掘题目中的隐含条件.

思路2

例

1是否存在实数λ，使函数f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数?若存在，求出λ的取值范围;若不存在，请说明理由.

分析：已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出λ与所设的x

1、x2的不等关系式，再根据变量x

1、x2的两个范围，求出λ的范围，由两个已知条件求出λ的两个范围，

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若有公共部分则λ存在，若无公共部分，则λ不存在.

解：因为f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ). 若x10，且x12+x22+2>4+4+2=10，

所以当且仅当λ≤10时，f(x1)-f(x2)>0恒成立，从而f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数.

若-1≤x1<x20，且x12+x22+2<1+1+2=4，</x2

所以当且仅当λ≥4时，f(x1)-f(x2)<0恒成立，从而f(x)在区间[-1,0)上是增函数.

综上所述，存在实数λ使f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数，且实数λ的取值范围为[4,10].

点评：本题是一道探索性命题，是一道求函数单调性的逆向问题，定义是解决此类问题的最佳方法.

例

2设定义在R上的偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，若实数x满足f(x)>f(2x+1)，试求x的取值范围.

分析：要求x的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.

解：可分为三类来加以讨论：

(1)若x≥0，则2x+1>0，由题设，函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得0≤x<2x+1，解之得x≥0.

(2)若x0,1即x<-，由于函数y=f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)>

22x10,f(2x+1)f(-x)>f(-2x-1)，而-x>0，-2x-1>0,且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得1x,解之，得x<-1. 2x2x1,x0,

1(3)若即-<xf(2x+1)f(-x)>f(2x+1)，</x

22x10,11x0,

有2解之，得<x<0.

</x<0.

3x2x1,

综上所述，x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).

3点评：(1)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义的正确运用;

若f(x)在区间A上递增，且f(x1)<f(x2)，则x1,x2a,

</f(x2)，则x1,x2a,

xx,21x1,x2A,

若f(x)在区间A上递减，且f(x1)<f(x2)，则

</f(x2)，则

xx,21

(2)若能注意到偶函数y=f(x)具有如下性质：f(x)=f(|x|)，则由题意可得，f(x)=f(|2x+1|)，从而有|x|>|2x+1|，本题的求解可避开讨论，过程更为简捷.

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例3

设函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又当x>0时，f(x)<0,f(1)=-

1.求函数y=f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值. 2

分析：问题中的函数解析式没有给出，求最值应从哪里入手呢?只要知道了函数的单调性，问题也就迎刃而解了.

解：由题意知，对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①

在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.

在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).

设x1,x2∈R且x1<x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).

</x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).

因为x2-x1>0，由题设知f(x2-x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以函数y=f(x)在r上是减函数，因此在区间[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).

</f(x1)，所以函数y=f(x)在r上是减函数，因此在区间[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).

又因为f(1)=-1， 2

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，

则f(-4)=-f(4)=2.

故在区间[-4,4]上函数y=f(x)的最大值为2，最小值为-2.

点评：(1)求解有关抽象函数的问题时，赋值法是常用的方法，给自变量x赋以一些特殊的数值，构造出含有某个函数值的方程，通过解方程使问题获解;

(2)根据函数的单调性求函数的最值是常用方法之一，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(或减)函数，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b)〔或f(a)〕，最小值为f(a)[或f(b)].

例

4有甲、乙两种商品，经营、销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式P=

13x，现有3万元资金投入经营x，Q=

55甲、乙两种商品，设其中有x万元投入经营甲种商品，这时所获得的总利润为y万元.

(1)试将y表示为x的函数;

(2)为使所获得的总利润最大，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少万元?这时的最大利润是多少万元?

分析：这是一道实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.

解：(1)当有x万元投入经营甲种商品时，则有(3-x)万元投入经营乙种商品，根据题意得：y=13x3x(x∈[0,3]). 5

5这就是所求的函数关系式.

(2)设y=3x=t，则x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函数关系式可化为123131(3-t)+t=-(t)2+20(t∈[0,3]). 555223213339

当t=时，ymax=.此时，x=3-()2=，3-x=3-=. 220244

4因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别投入0.75万元和2.25万元，所获最大利润是1.05万元.

点评：(1)遇到实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，另外要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.

(2)求函数的最大值和最小值，方法比较灵活，对一些复杂的函数关系式，通过换元，

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将其转化为熟悉的函数来求解，体现了化归思想的运用，值得我们好好地加以体会.本题中通过换元，将十分复杂的函数关系式转化为我们较为熟悉的二次函数，求函数的最值就变得轻而易举了.

ax21

5例5

已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=2,f(2)=.

2bxc

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)当x>0时，讨论函数f(x)的单调性，并写出证明过程.

分析：用方程确定a,b,c的值，用定义来证明函数单调性.

解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因为f(2)=

5，所2a1,x214a15以=，得a=1，故b1,从而得f(x)=. a12xc0,x21

1(2)f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.证明如下：

xx任取0<x1 </x1

(xx2)(x1x21)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1. )=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x

①若0<x1<x2≤1，则x1-x2<0,0<x1x20，即f(x1)>f(x2).所以y=x+在区间(0,1]上是单调减函数.</x1<x2≤1，则x1-x2<0,0<x1x2

②若1≤x1<x2，所以x1-x21，于是f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以y=x+在区间[1,+∞)上是单调增函数.

</f(x2).所以y=x+在区间[1,+∞)上是单调增函数.</x2，所以x1-x2

x211

综上所述，函数f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.

xx

点评：解题时值得注意的是奇(偶)函数条件的使用，函数是奇函数(或偶函数)也就意味着等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]对于定义域内的任意x都成立，通过恒等式有关知识寻求等量关系.求函数单调区间一般有三种方法：(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性法.本例图象不易作出，利用函数y=x和y=

1的单调性也不行，故只能使用函数单调性的定x义来确定.

例6

已知y=f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0.

(1)解不等式f(x)≥0;

(2)设函数g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)<0}，集合N={m|f[g(x)]<0}，求M∩N.

分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，因此只能由函数的性质，结合函数的草图来解决本题.

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解：(1)因为f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，则f(-1)=-f(1)=0;

当x∈(0,+∞)时，因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，由f(x)≥0得x≥1;

因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f(x)在区间(-∞,0)上也是增函数，又因为f(-1)=0，所以当x∈(-∞,0)时，由f(x)≥0得-1≤x<0.

综上所述，不等式f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞).

(2)由(1)可知f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞)，因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]<0得g(x)<-1或0<g(x)<1，即n={m|g(x)<-1或0<g(x)<1}，因为m={m|g(x)<0}，所以m∩n={m|g(x)<-1}.因为g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)<-1化为-x2+mx-2m+1<0，即(x-2)m+1-x2x21(x2)24(x2)333=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，当x∈[0,1]时，2-x>0，</g(x)<1，即n={m|g(x)<-1或0<g(x)<1}，因为m={m|g(x)<0}，所以m∩n={m|g(x)<-1}.因为g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)<-1化为-x2+mx-2m+1<0，即(x-2)m+1-x2

x22xx2x2根据函数h(t)=t+的图象可知：-[(2-x)+m>21t3]+4≤23+4，当x=23时取等号，所以2x3+4.

点评：本题所给函数是抽象函数，具有一定的综合性;在解决第一问时可以借助函数的单调性与奇偶性画出草图来帮助我们解题;在解决第二问时，可能有学生会分别求出集合M与N，然后再取交集，教师应该引导学生按照以上解答过程来解决省时省力. 巩固训练

思路1

1.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5，-2)上是(

)

A.增函数

B.减函数

C.部分为增函数，部分为减函数

D.无法确定增减性

解答：A

2.设函数f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，则f(3)等于(

)

A.3

B.-3

C.2

D.7

解答：D

3.已知偶函数y=f(x)在区间[0，4]上是增函数，则f(-3)和f(π)的大小关系是(

)

A.f(-3)>f(π)

B.f(-3)<f(π)

</f(π)

C.f(-3)=f(π)

D.无法确定

解答：B

4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是减函数，下面结论正确的是(

) |x|

A.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递减

B.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递减

C.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递增

D.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递增

解答：C

5.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1-x)，则当x<0时，f(x)等于 …(

)

A.x(x+1)

B.x(x-1)

C.x(1-x)

D.-x(1+x)

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解答：A

6.定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间(0，+∞)上的最大值为10，那么函数F(x)在(-∞，0)上的最小值是.

解答：-4

7.函数f(x)=x3+bx2+cx是奇函数，函数g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函数，则b=__________，c=__________.

解答：0 2

8.函数f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.

解答：a≠0奇函数，a=0既是奇函数又是偶函数

9.偶函数f(x)是定义在R上的函数，且在(0，+∞)上单调递减，则f(-

3)和f(a2-a+1)的大4小关系是__________.

10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数，那么满足f(a)+f(a2)>0的实数a的取值范围是__________.

解答：f(-3)≥f(a2-a+1) 10.-1 </a<0

4点评：本组练习以基础题为主，难度不大.

思路2

1.已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.

(1)求y=f(x)的表达式;

(2)求y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.

2.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=1，若当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(x)f(5.5)=___________.

3.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少?

4.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3，

(1)当x∈(-2，6)时，其值为正;x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，其值为负，求a,b的值及f(x)的表达式;

(2)设F(x)=kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k为何值时，函数F(x)的值恒为负值. 4a10a，该集团今年计划对这两项生产共投入,Q=

3

35.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元?最大利润为多少万元?

解答：

1.解：(1)由题意可设f(x)=ax2+bx+1，则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.

123)+，x∈[-1,1], 2413

所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.

24

(2)因为f(x)=x2-x+1=(x-

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2.解：因为f(x+2)=11，所以f(x+4)==f(x)，

f(x2)f(x)

则f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.

3.解：因为25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低产量为150台.

23f(2)4a2a2ba0,

4.解：(1)由已知解得：32a+8a2=0(a<0)，所以a=-4，

23f(6)36a6a2ba0,从而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.

(2)F(x)=k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)<0，只要4k0,得k<-2. 168k0,

5.解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

x1060x(0≤x≤60)，设t=60x,则0≤t≤60，x=60-t2，则33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，

33338

5所以当t=5，即x=35时，(P+Q)max=.

385

因此对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.

3由题意，P+Q=

点评：本组练习对学生的能力要求比较高.

课堂小结

函数的基本性质中单调性与奇偶性是紧密地联系在一起的，在许多问题中常常需要结合在一起加以运用，因此，学习函数时，要正确理解函数的单调性和奇偶性，把握其本质特征，学会灵活地运用函数的单调性和奇偶性解题.

研究函数问题时，要重视函数图象的功能，掌握数形结合的思想方法，培养数形结合解题的意识，提高数形结合解题的能力.

作业

课本第43页习题2.1(3)

3、11.

设计感想

深刻理解函数的有关性质：

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，函数的单调性，奇偶性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.

函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

(1)它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间(可以是定义域，也可以是定义域内某个区间)

(2)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值——作差——变形——定号——结论.

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(3)由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大时，则为增函数，反之，为减函数;由于函数图象的走向能直观反映函数的变化趋势，所以当函数的图象(曲线)从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.

函数的奇偶性：奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.判断函数是否具有奇偶性时，首先要检查其定义域是否关于原点对称，然后再根据定义求出f(-x)并判断它与f(x)的关系. 函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.

函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.

纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.

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第三篇：示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3.2)

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2.3.2 对数函数

整体设计

教材分析

对数函数是我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数等最简单的函数后，在新的知识平台上系统研究的又一类基本初等函数.对数函数的有关知识是以对数概念和运算法则、换底公式作为基础知识来学习的.对数函数的图象是对照指数函数的图象，运用计算机(器)描绘出来的，通过比较分析来研究对数函数的性质，对数函数的教学可利用类比指数函数的教学进行.

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的实际问题提出的，这说明对数函数的概念来自于实践，便于学生接受，但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，要结合指数式强调说明对数函数的定义域.本章节教学的重点是对数函数的图象和性质、会求简单对数函数的定义域、值域.在研究对数函数的时候，底数的取值范围对图象的影响(即单调性的影响)是本节的一个教学难点，因此在教学过程中可以通过指数函数的的图象对比着学习，加强学生数形结合的思想.在比较系统的学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质、复合函数的奇偶性、单调性也成为本节的教学难点. 三维目标

1.理解对数函数的概念，能正确描绘和辨别对数函数的图象.

2.掌握对数函数的性质及简单应用.

3.通过对数函数的概念、图象和性质的学习，使学生分清指数函数和对数函数这两类基本的初等函数在研究方法上的异同之处.使学生体会到知识之间的有机联系以及蕴含在其中的数学思想和方法.

4.通过对数函数的有关性质的研究，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力.

5.通过对数函数的学习，树立相互联系、互相转化的观点，渗透数形结合的数学思想，增强学生的学习积极性，同时培养学生与人合作、共同探讨的优良品质. 重点难点

教学重点：

1.对数函数的概念、图象、性质以及应用.

2.对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活使用.

教学难点：

1.对数函数的底数的变化对函数图象的影响，对于含参数的对数式渗透分类讨论思想.

2.函数图象的平移、翻转变化以及复合对数式函数的图象研究. 课时安排

3课时

教学过程

第一课时

对数函数(一) 导入新课

设计思路一(复习导入)

1.在前面通过系统地学习指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义并说出这两种运算的本质区别.

2.回顾指数函数定义、图象和性质，并绘制指数函数图象，根据图象指出指数函数的相关性质(定义域、值域、过定点、单调性).

在等式ab=N(a>0，且a≠1，N>0)中已知底数a和指数b，求幂值N，就是指数问题;

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已知底数a和幂值N，求指数b，就是我们前面刚刚学习过的对数问题，而且无论是求幂值N还是求指数b，结果都只有一个，有指数函数，那么也有对数函数.

设计思路二(情境导入)

x

在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的函数y=2.因此，当已知细胞的分裂次数x的值(即输入值是分裂次数x)，就能求出细胞个数y的值(即输出值是细胞个数y),这样，就建立起细胞个数y和分裂次数x之间的一个关系式，你还记得这个函数模型的类型吗? 反过来，在等式y=2x中，如果我们知道了细胞个数y，求分裂次数x，这将会是我们研究的哪类问题?

x

能否根据等式y=2，把分裂次数x表示出来?

在关系式x=log2y中每输入一个细胞个数y的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数x的值?

(生思考，并交流思考结果，师总结)

我们通过研究发现：在关系式x=log2y中把细胞个数y看作自变量，则每输入一个y的值，都能得到唯一一个分裂次数x的值，根据函数的定义，分裂次数x就可以看作是细胞个数y的函数，这样就得到我们生活中的又一类与指数函数有密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的问题. 推进新课

新知探究

在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x(年)与物质剩留量y的关系为y=0.84x，我们也可把它写成对数式：x=log0.84y，其中时间x(年)也可以看作物质剩留量y的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的.

一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是(0，+∞).

合作探究：为什么对数函数的定义域是(0，+∞)?

函数y=logax和函数y=ax(a>0，且a≠1)的定义域、值域之间有什么关系?

分析：由指数式和对数式的相互转化可得到：对数函数的定义域就是相应指数函数的值域，对数函数的值域就是相应指数函数的定义域.由指数函数的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，故对数函数的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 由此探究可以得出，研究对数函数的相关性质完全可以由指数函数入手研究，因为两者之间是紧密联系的，根据我们研究指数函数的经历，你觉得下面应该学习什么内容了? 请回顾一下指数函数的图象的研究过程，根据对数的定义，列举几个对数函数的解析式，并尝试在同一坐标系内作出它们的图象.

合作探究：借助于计算器或计算机在同一坐标系内画出它们的图象，并观察各组函数的图象，探究它们之间的关系.

(1)y=2x，y=log2x;

(2)y=(12)x，y=log1x;

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(组织学生讨论，互相交流自己获得的结论，师用多媒体显示以上两组函数图象，借助

x于《几何画板》软件动态演示图象的形成过程，揭示函数y=

2、y=log2x图象间的关系及函数y=(12)x，y=log1x图象间的关系，得出如下结论)

2结论：(1)函数y=2和y=log2x的图象关于直线y=x对称;

(2)函数y=(12x)和y=log1x图象也关于直线y=x对称.

2x

合作探究：分析你所画的两组函数图象,看看一般的指数函数与对数函数图象有什么关系?即当a>0，且a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系?

结论：函数y=ax和y=logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称.

观察归纳：观察课本第66页图233的函数图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数y=logax的哪些性质?

对数函数的图象与性质

a>1

0 </a

(1)定义域：(0，+∞);

性质

(2)值域：R;

(3)过点(1，0)，即当x=1时，y=0;

(4)在(0，+∞)上是单调增函数; (4)在(0，+∞)上是单调减函数

函数y=ax称为y=logax的反函数，反之，y=logax称为y=ax的反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x).

应用示例

例

1求下列函数的定义域：

(1)y=log0.2(4-x);

(2)y=loga

(3)y=logx1(a>0，a≠1);

12(5x3).

解：(1)由题意可得4-x>0，解之得x<4，

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所以函数y=log0.2(4-x)的定义域为{x|x<4}.

(2)由题意可得x1>0，又因为偶次根号下非负，

所以x-1>0，即x>1，

所以函数y=logax1 (a>0，a≠1)的定义域为{x|x>1}.

(3)由题意可得要偶次根号下非负，又因为真数要大于0，

log1(5x3)0,5x31,2

所以即 3x,5x30,5

解得35<x≤45，

</x≤45，

(5x3)的定义域为{x|

3

5故函数y=log12<x≤

</x≤

45}.

点评：解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可.

①若函数解析式中含有分母，则分母不等于0;

②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负;

③0的0次幂没有意义;

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. 求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 问题①：请大家课后总结在求对数函数定义域时需要注意哪些问题? 问题②：在建立不等式组求解的过程中，你认为哪些地方比较容易出错?

例2

比较下列各组数中两个数的大小：

(1)log23.4，log23.8;

(2)log0.51.8，log0.52.1;

(3)log20.8，log0.52.5;

(4)loga5.1，loga5.9;

(5)log75，log67.

分析：(1)(2)两个对数是同底数的，故可直接根据单调性进行比较;(3)虽然不同底但是可以化为同底数的对数，然后再利用单调性进行比较;(4)的底数是个参数，遇到参数的题讨论是必不可少的，于是分类讨论，当a>1时，函数是增函数，当0 </a<1时，函数是减函数.(5)是上述所说情况中没有的，不能化同底，那么只能寻求中介值进行比较，一般都找1或0作为中介值.

解：(1)考查函数y=log2x，因为它的底数是2，且2>1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0<3.4<3.8，所以log23.4<log23.8;

</log23.8;

(2)考查函数y=log0.5x，因为它的底数是0.5，且0<0.5<1,所以它在(0，+∞)上是单调减函数.又因为0<1.8<2.1，所以log0.51.8>log0.52.1;

(3)考查两个log20.8，log0.52.5的底数不相同，但是出现的是2和0.5，故可转化同底log20.8与log20.4的大小比较，与(1)同，因为log20.8>log20.4，所以log20.8>log0.52.5;

(4)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是单调递增的,所以loga5.1<loga5.9;当0loga5.9;</loga5.9;当0

(5)考查函数y=log7x，因为它的底数是7，且7>1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0<5<7，所以log75log66=1，所以log75<log67.

</log67.

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点评：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

例

3已知logm4<logn4，试比较m，n的大小.

</logn4，试比较m，n的大小.

分析：要比较的两个对数真数相同，属于比较底数的大小的问题，所以和前面例2很类似，但是不同的是没有给出它的符号，所以难度要大点，但是m，n的范围都是大于0且不等于1的实数，于是解答时要对m，n的范围进行讨论，此时要利用分类讨论的思想.

解：logm4<logn41log4m1log4n，

</logn41log4m1log4n，

当m>1，n>1时，有0<

1log4m1log4n，

所以log4nn>1.

当0<m<1，0<n<1时，有

</m<1，0<n<1时，有

1log4m1log4n<0，

所以log4n<log4m，此时0<n<m<1.

</log4m，此时0<n<m<1.

当0<m1时，有log4m<0，0<log4n，此时满足.

</log4n，此时满足.</m

所以0<m<1<n.

</m<1<n.

综上所述，m，n的大小关系为m>n>1或0<n<m<1或0<m<1<n.

</n<m<1或0<m<1<n.

点评：本题也可通过作图形进行观察比较，在此不作详解，请学生自己完成.

例

4求下列函数的值域：

(1)y=log2x+2(x≥1);(2)y=log1(x+1)(0<x<3);

</x<3);

22

(3)y=log2(2-x);(4)y=log2(x1)(-3≤x≤1).

分析：由对数函数的图象可得定义域为(0，+∞)，值域为R.所以在求对数函数的值域时要结合图象，根据对数函数的单调性来求解.对于形式上比较复杂的则要先求出定义域，根据具体的形式作出判断，从内到外进行求解.

解：(1)因为2>1，所以函数y=log2x为增函数，当x≥1时，log2x≥0，所以函数y=log2x+2(x≥1)的值域为[2，+∞).

(2)因为0<x<3，所以1<x+1<4，又函数y=log

</x<3，所以1<x+1<4，又函数y=log

所以log4<log(x+1)<log12x为减函数，

</log(x+1)<log12x为减函数，

1212121，即得值域为(-2，0).

(3)由题意可得2-x>0，即得当x<2时，函数的值域为R. 2

(4)令t=x+1，则当-3≤x≤1时，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函数y=log2(x1)

2(-3≤x≤1)的值域为[0，log210].

点评：前面两个比较容易接受，(3)理解有点困难，教学时要强调当x<2时，真数2-x能取到所有的大于0的实数，所以值域为R;(4)是个根式和对数复合的函数求值域的问题，

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此时要先求根式里面的对数的范围，再结合根式有意义最终写出值域.

知能训练

一、课本第69页练习

1、3.

2二、1.求函数y=loga(9-x)(a>0，a≠1)的定义域.

2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)log36_________log38;(2)log0.56_________log0.54;

(3)log0.10.5________lg0.6;(4)log1.51.6_________log20.4.

3.已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3mlog0.3n;

(3)logam<logan(0logan(a>0，a≠1).</logan(0

4.将0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：____________.

解答：

一、1.图略，y=log3x与y=log1x的图象关于x轴对称.

323.(1)log35.4<log35.5;(2)log1π<log1e;

</log35.5;(2)log1π<log1e;

33

(3)lg0.02<lg3.12;(4)ln0.55<ln0.56.

</lg3.12;(4)ln0.55<ln0.56.

二、1.由对数函数的定义知：9-x2>0，解得-3<x<3，

</x<3，

所以函数y=loga(9-x2)(a>0，a≠1)的定义域为{x|-3<x<3}.

</x<3}.

2.(1)<;(2)<;(3)>;(4)>.

3.(1)由于3>1，所以0<m<n.

</m<n.

(2)由于0<0.3<1，所以0<m<n.

</m<n.

(3)由于0n>0.</a

(4)当a>1时，m>n>0;当0 </a<1时，0<m<n.

4.因为0<0.3<1，log20.5<0，log0.51.5=log

2课堂小结

1.对数函数的概念.

2.对数函数的图象和性质.

3.会求对数函数的定义域.

4.利用对数函数的性质比较大小的一般方法和步骤.

作业

课本第70页习题2.3(2)

1、

2、3.

设计感想

本节是对数函数第一课时，主要教学目标就是讲解对数函数的概念，会求简单的对数函数的定义域，根据单调性比较对数大小.教学中通过计算器列表描点或几何画板来刻画对数函数图象，在教学中让学生在同一个坐标系画出同底数的指数函数和对数函数图象，将指数函数和对数函数作比较发现它们的图象是关于直线y=x对称的.从中发现指对数函数的定义域和值域之间的关系，即对数函数中的定义域就是指数函数中的值域，对数函数中的值域就是指数函数中的定义域.在教学中充分利用图象，帮助学生理解底数a的取值对图象的影响(即确定函数的单调性)，对数函数的定义域为正实数这也是个难点，学生在解题中很容易漏掉.讲解定义域时，要注意函数求定义域时需要注意的一些问题，尤其是复合函数的定义域要保证每个部分都要有意义.利用对数函数的单调性进行对数的大小比较时，要让学生观察当底数相同时如何比较，当底数不同时又怎样比较.对于真数相同而底不同的对数大小比较

223<0，所以log20.5<log0.51.5<0.3.

</log0.51.5<0.3.

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可以采取取倒数化同底，也可以利用图象的特征进行观察比较.关于对数求值域的问题，在此只要讲解比较简单的对数求值域，即利用对数函数的单调性进行观察求解，关于含有对数式的复合函数的值域在此涉及的不多，到讲含对数式复合函数的图象和性质后再作加强训练.

(设计者：顾文艳)

第二课时

对数函数(二)

导入新课

将函数y=2的图象通过怎样的变换可得到y=2的图象以及y=2+1的图象?

xx+1x

结论：将y=2的图象向左平移一个单位可得到y=2的图象，将y=2的图象向上平移一个单位可得到y=2x+1的图象.

那么如何由函数y=2的图象得到函数y=2

(学生回答，老师显示如下结论)

结论：(1)由函数的y=2图象得到函数y=2的图象的变化规律为：

当a>0时，只需将函数y=2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=2x+a的图象.

当a<0时，只需将函数y=2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=2x+a的图象.

(2)由函数的y=2x图象得到函数y=2x+b的图象的变化规律为：

当b>0时，只需将函数y=2的图象向上平移b个单位就可得到函数y=2+b的图象.

当b<0时，只需将函数y=2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=2x+b的图象.

以上的变化规律是否对于对数函数也同样适用?如何画y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比较复杂的函数图象呢?这将是本节课我们所要讨论的主要问题. 推进新课

新知探究

在同一个坐标系作出下列函数图象，并指出它们与对数函数y=log2x的图象的关系：

(1)y=log2(x+1)与y=log2(x+2);

(2)y=log2x+1与y=log2x+2.

分析：要画出一个函数的图象，需要描绘图象上的点，于是就要列表、描点然后连线.

解：(1)列出下列的函数数据表：

y=log2x y=log2(x+1) y=log2(x+2) y x x x

0 1 0 -1

1 2 1 0

2 4 3 2

0.5 2 2-1 2-2

x

x

x

x+a

x

x+ax

x+

1x

的图象呢?

-1 0.5 -0.5 -1.5

-2 0.25 -0.75 -1.75

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的图象，如图(1).由图象上点的特征可以得出如下结论：

若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-1，y0)必在函数y=log2(x+1)的图象上.于是函数y=log2(x+1)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到.若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-2，y0)必在函数y=log2(x+2)的图象上.于是函数y=log2(x+2)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移2个单位得到.

(2)列出下列函数数据表：

函数 Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5 -1 0 2 1 2 4 2 3 0.25 -2 -1 8 3 4

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y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2x+1和y=log2x+2的图象，如图(2).由图象上点的特征可以得出如下结论:若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0，y0+1)在函数y=log2x+1的图象上;对应点(x0，y0+2)在函数y=log2x+2的图象上,于是，函数y=log2x+1的图象可由函数y=log2x的图象向上平移1个单位;函数y=log2x+2的图象可由函数y=log2x的图象向上平移2个单位得到.

图(1)

图(2)

点评：通过列表、描点、连线绘图的三步骤，可以画出函数的图象，并由图形上点的特征观察图象之间的转化关系.这样便于学生学习和掌握图象变化的规律.可参照课本第68页例3.

思考

如何由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x-1)与函数y=log2x-1的图象呢?并说出函数y=log2(x+a)和函数y=log2x+b的图象以及函数y=log2(x+a)+b的图象可由函数y=log2x的图象经过怎样的变换得到?

解：函数y=log2(x-1),y=log2x-1的图象与函数y=log2x的图象的变化规律如下：函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位就得到;函数y=log2x-1的图象是由函数y=log2x的图象向下平移1单位就得到.

由函数的y=log2x图象得到函数y=log2(x+a)的图象的变化规律为：

当a>0时，只需将函数y=log2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.

当a<0时，只需将函数y=log2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.

由函数的y=log2x图象得到函数y=log2x+b的图象的变化规律为：

当b>0时，只需将函数y=log2x的图象向上平移b个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.

当b<0时，只需将函数y=log2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.

由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x+a)+b的图象的变化规律为：

先将函数y=log2x的图象向左(当a>0时)或向右(当a<0时)平移|a|个单位，得到函数y=log2(x+a)的图象，再将函数y=log2(x+a)的图象向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位就可得到函数y=log2(x+a)+b的图象.

点评：由列表绘制的图象同样可观察出对应图象上点之间的关系，从而得出函数图象之间的变换关系.当函数y=log2x中的自变量x变为x+a的时候，此时函数y=log2(x+a)的图象就是由函数y=log2x的图象进行左右平移得到，即a>0(左移)和a<0(右移).当在函数整体后变化时，即f(x)变为f(x)+b时，此时函数y=log2x+b的图象是由函数y=log2x的图象进行上下平移，即b>0(上移)和b<0(下移). 对于图象进行多次平移变换所得的函数图象，则要将上述的两种情况合起来，先进行左右平移，再将所得图象进行上下平移，对于平移的先后顺序

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是没有影响的.

应用示例

例

1探究函数y=-logax、y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象之间的关系.

分析：我们需找出函数图象上对应点的坐标之间的关系.若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称;若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.(有条件的学校可以利用几何画板让学生直接观察得出结论)

解：设点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上;点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称;函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.

点评：函数图象上的对应点若关于x轴对称，则函数图象就关于x轴对称;若函数图象上的对应点关于y轴对称，则函数图象就关于y轴对称.

例

2画出函数y=log2|x|的图象，并根据图象写出它的单调区间.

分析：对于遇到含绝对值的问题的时候，基本思想方法是去掉绝对值，于是就要用到分类讨论的思想方法，将函数y=log2|x|写成分段函数的形式，然后在画图象就比较简单了，那么在本题中如何去掉绝对值呢?去掉绝对值以后又该怎么办呢?

(学生回答，老师板书如下)

log2x,x0,

解：由于y=log2|x|=

log(x),x0.2

当x>0时，画出函数y=log2x的图象;当x<0时，画出函数y=log2(-x)的图象.如图所示：

由图象可得函数y=log2|x|的单调增区间为：(0，+∞);单调减区间为(-∞，0).

探究：在例2中除了利用去掉绝对值画出图象，你还能想到用其他的方法解答吗?

(学生相互交流)

结论：由于函数y=log2|x|是偶函数，所以只要先画出函数y=log2x(x>0)的图象，再将函数y=log2x(x>0)的图象关于坐标轴y轴对称过来，就可得到y=log2|x|(x<0时)的图象，两部分合起来就是函数y=log2|x|的图象.

例

3已知函数f(x)=log12(1-x)，(1)求此函数的定义域，值域;(2)判断它的单调性并证明你的结论，并指出单调区间.

分析：对数函数的定义域只要真数大于0，值域必须在定义域的范围内先求内函数的值域，然后根据底数的取值确定外函数的单调性，根据外函数的单调性把值域求出即可.对于函数单调性的证明，要在定义域内任取两个值，然后根据函数单调性的证明方法和步骤对函数值进行作差或作商比较，进而判断单调性，求出单调区间.

解：(1)因为1-x>0，即x<1，所以函数f(x)=log12(1-x)的定义域为(-∞,1);

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因为函数f(x)=log值域为：R.

(2)函数f(x)=log1212(1-x)的定义域为(-∞，1)，当x∈(-∞,1)时，有1-x>0，所以函数的(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.

证明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1<x2，则有

</x2，则有

f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1x1121x21x11x2，

因为x1<x21-x2>0，得</x2

>1，

所以f(x1)-f(x2)=log

所以函数f(x)=log1x1121x2<0，即f(x1)<f(x2)，

</f(x2)，

12(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.

例

4判断下列函数的奇偶性:

(1)函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1);

(2)函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).

分析：判断函数奇偶性的方法和步骤请学生回顾一下，首先定义域要关于原点对称，然后看f(-x)与f(x)之间的关系，解答如下：

解：(1)由题意可得x10,x10即x1,x1,解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函数. x10,x1,

(2)由题意可得即解得-1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(-1，1)，1x0x1,定义域关于原点对称，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函数.

</x<1，所以函数f(x)的定义域为(-1，1)，1x0x1,定义域关于原点对称，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函数.

点评：在判断函数奇偶性的时候，一定要保证定义域关于原点对称，这点学生在解题时很容易遗漏，所以老师在讲解时一定要强调.有些学生会根据对数函数的运算法则将函数进行化简，这个想法很好，但是一定要注意在化简的时候注意不要改变函数的定义域，化简的基本要求是实施的是等价变形.如(1)，有学生会发生下面出现的错解：

因为函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，

由x2-1>0得其定义域为x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)为偶函数.

因此老师在讲解时特别要注意这一点，避免出现上述不该出现的错误.

知能训练

课本第69页练习

2、

4、5.

解答：

2.(1)因为2x+1>0，所以x>1212，所以函数y=log2(2x+1)的定义域为(，+∞).

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1

2因为y=log2(2x+1)=1+log2(x+函数y=log2(x+1212)，所以先将函数y=log2x的图形向左平移

12个单位得到)的图象，再将函数y=log2(x+)的图象向上平移1个单位就可得到函数y=log2(2x+1)的图象.如图(一).

图(一)

图(二)

(2)因为1x11x11x1>0，所以x>1，所以函数y=lg的定义域为(1，+∞).

因为y=lg=-lg(x-1)，所以将函数y=lgx的图形向右平移1个单位得到函数y=lg(x-1)的图象，再将函数y=lg(x-1)的图象作关于x轴对称所得到的图象就是所求函数的图象.如图(二).

4.解：(1)由题意可得：3x=2x+1>0，解得x=1. 2x10x=3.

(2)由题意可得：x22022x1x2x10x=2. (3)由题意可得：x1x

15.解：(1)由题意可得3x+5=3x=-

23.

12

(2)由题意可得2x=log212=2+log23x=1+

(3)由题意可得1-x=log32x=1-log32.

log23.

课堂小结

前面一节课主要学习了对数函数的概念，那么这节课主要是为了加深对对数函数图象以及性质的学习而给出的.讲解了对数函数的图象变换，即左右平移和上下平移以及关于轴对称和关于原点对称图象的画法，会作出函数图象并能根据图象准确地求出函数的单调区间;能根据定义判断含对数式的复合函数的奇偶性和单调性，定义域一定要首先考虑.

作业

1.课本第70页习题2.3(2)、

4、

5、

6、8.

2.请大家利用计算机作出函数y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的图象，加深对函数图象变换的规律的理解;随意画一个函数y=f(x)的图象，观察函数y=f(|x|)的图象和函数y=|f(x)|的图象，看看它们的图象之间的变换关系又如何.是否与本节课得到的变化规律一致.写出你的结论，并加以相关的解释说明.

设计感想

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这节课的图象比较多，所以在刚开始的时候针对不同层次的学生，在这里直接给出几个函数的图象和图象上相关点的坐标，让他们从图象上一些具体的点观察图象之间的关系并得出结论，然后由具体的例子从特殊性推广到一般性，从而达到对知识的学习和掌握.

例1和例2给出了图象关于轴对称的关系式和画法，例3和例4解决了含对数式的复合函数的定义域、值域的求解和单调性、奇偶性的判断，讲解时要利用相关的数学工具作出图象让学生从直观上掌握图形变换，也为以后我们学习图象的变换打下坚实的基础.

(设计者：赵家法)

第三课时

对数函数(三) 导入新课

回顾前面所学有关对数函数的相关内容：

1.对数函数的概念.

2.对数函数的图象和性质以及相应指数函数图象之间的关系.

3.利用对数函数的单调性进行对数大小比较.

4.求解对数函数的定义域要注意真数大于0，遇到对数函数的复合形式要注意根据条件建立不等式组进行求解;求对数函数的值域要根据单调性进行求解.

5.掌握对数函数图象平移的变化规律以及图象的翻转，并能根据图象写出单调区间.

6.利用定义判断对数函数的单调性和奇偶性.

今天我们来继续学习对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些比较复杂的综合问题.在指数函数的学习过程中，我们学习了利用指数函数的单调性求解不等式，以及指数函数和其他函数复合形式的相关问题，如复合函数的单调性的判断以及单调区间的求解问题.我们已经学习了一些对数函数基本的性质，这节课我们来学习对数函数的单调性在对数方程以及对数不等式中的应用;复合函数单调区间的求解等复合函数的综合应用.

应用示例

例

1解下列方程：

(1)4x-3×2x-4=0;(2)(log2x)2-2log2x-3=0.

解：(1)原方程可化为(2x)2-3×2x-4=0，

令t=2x(t>0)，则t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因为t>0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集为{x|x=2}.

2(2)令t=log2x，则原方程可化为t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因为t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，

解得x=12或x=8，

1

2所以原方程的解集为{x|x=或x=8}.

点评：本例题是解指对数方程的问题，遇到这种类型的题目时，应设法将方程化为可解的代数方程的形式，利用换元法将方程转化为我们比较熟悉的代数方程进行求解，最后再求出本题的解，其中要对求出的解进行检验，这一点要对学生多强调.

例2

求下列不等式的解集.

(1)log2(x+1)>log2(2x-1);

(2)logx(3x-2)>2.

分析：解对数不等式时，若底数相同则直接根据对数的单调性建立不等式组，注意真数大于0不要遗漏;若对数的底数不相同，则根据运算法则化为底数相同，然后建立不等式组进行求解;若底数是个参数，则要进行分类讨论.

解：(1)因为a=2>1，所以函数y=log2x为单调递增函数，

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x1x1011

则有2x10<x </x

所以不等式的解集为{x|

12<x<2}.

</x<2}.

(2)由题意可知要对x进行分类讨论，

x1

当底数大于1时，有下列不等式组：3x201<x<2;

</x<2;

23x2x0x12

当底数大于0且小于1时，有下列不等式组：3x20<x<1.

</x<1.

323x2x

综上可得，原不等式的解集为{x|

23<x<2且x≠1}.

</x<2且x≠1}.

点评：利用对数函数的单调性求解对数不等式时，要注意以下几点：定义域要考虑;利用单调性得到正确的不等式;当底数为自变量x时，对x进行讨论所得不等式的解集最后要合并;当底数为参数a时，对a讨论所得不等式的解集不能合并，要分开给出.老师在讲解时一定要强调这一点，因为学生对最后的结果该如何写掌握的还不是很好.

例

3已知x∈[2，4]，求函数y=log12x-log1x+5的值域.

4

4分析：本题采用换元法将函数化为一元二次函数，然后利用单调性求函数的最值.

解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤444412.

又y=u2-u+5=(u当u=1212)2+

194，在u∈[-1，

12]上单调递减，所以当u=-1即x=4时，ymax=7;

234即x=2时，ymin=

234，所以函数的值域为[，7].

点评：利用函数单调性是求函数的最值或值域的主要方法之一，而换元法是化归的常用手段.若函数形式比较复杂则要通过相关变换找出换元的部分，然后利用单调性进行最值的求解，进而求出函数的值域.

例4

求函数y=log0.2(x-x2)的单调区间.

分析：对于复合函数单调区间的求解问题，要先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解.

解：设t=x-x=-(x2

12)+

2

14，则有y=log0.2t.

由x-x2>0解得函数的定义域为(0,1).

在(0，12]上t随x的增大而增大，而y随t的增大而减小，所以y随x的增大而减小，

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即函数在区间(0，12]上是减函数;在[

12，1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减

12小，所以y随x的增大而增大，即函数在区间[

所以函数y=log0.2(x-x2)的增区间为[

12，1)上是增函数.

12，1)，减区间为(0，].

点评：判断复合函数单调性以及求单调区间的时候，要注意先求函数的定义域，然后依据复合函数单调性的判断方法，遵循增、增为增，减、减为增，增、减为减的原则.当对数函数的底数为参数时，则要对底数进行分类讨论.

例

5求证：函数f(x)=loga

1x1x(0 </a<1)是减函数.

分析：对于函数单调性的证明一般利用定义来证明.

证明：由

设g(x)= 1x>0可得-1<x </x

则有g(x1)-g(x2)=.

因为-1<x1<x2<1，所以x1-x20，1-x2>0，所以g(x1)-g(x2)<0，即0<g(x1)<g(x2).

</g(x1)<g(x2).</x1<x2<1，所以x1-x2

因为0logag(x2)，即f(x1)>f(x2).</a

所以函数f(x)=loga1x1x在定义域(-1，1)上是减函数.

点评：本例是对数函数单调性的证明问题，利用定义直接证明即可，但是要考虑到定义域.本题中给出了底数的范围，即0 </a<1，由此可知外函数是单调递减的.若没有给出底数的具体范围则要对底数进行讨论.

知能训练

1.解下列方程：(1)9xxx123=81;(2) 45x=54x.

2解：(1)原方程可化为

32x2x3x1=34，即32x3x12=34

于是有2x2-3x+1=4，解得x=543433.

(2)原方程可化为(45)x=1，所以x=0.

2.函数y=logax在区间[2，10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a=__________.

解：当a>1时，ymax=loga10，ymin=loga2，

则有loga10-loga2=loga

102=loga5=1，所以a=5;

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210

当0 </a<1时，ymax=loga2，ymin=loga10，则有loga2-loga10=loga

3.函数y=log

A.(-∞,3212=loga

15=1，所以a=

15. (x-3x+2)的递增区间是(

)

322]

B.(-∞,1)

C.[,+∞)

D.(2,+∞)

解：由x2-3x+2>0，可得x<1或x>2，即函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)

设t=x2-3x+2，则y=log以函数y=log1212t在(-∞,1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减小，所(x2-3x+2)在区间(-∞,1)上是增函数;在(2,+∞)上t随x的增大而增大，而y随

(x2-3x+2)在区间(2，+∞)上是减函数.综上可得函数t的增大而减小，所以函数y=logy=log1212(x2-3x+2)的递增区间是(-∞,1)，故选B.

4.已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是(

)

A.(0，2)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解：由2-x>0，解得函数的定义域为(-∞,2)，令t=2-x,则y=logat.在区间(-∞,2)上t随x的增大而减小，而y是x的增函数,所以y随t的增大而减小,即y是t的减函数，故0 </a<1,选b.

点评：此练习是针对本节课所讲的内容而设计的，即对数方程的求解、对数不等式的求解、复合对数函数单调性的判断以及单调区间的求解等问题.对学生的训练很有帮助，通过练习使学生熟练掌握对数函数的相关性质，并学会思考问题，提高解决问题的能力.

课堂小结

本节课是对对数函数性质的进一步学习，体会对数函数的单调性在解对数方程和对数不等式中的应用，加强分类讨论思想在解题中的应用.添加了对数函数和二次函数的两种复合以及和一次函数的复合问题，掌握复合函数单调区间的求法，先求定义域，再根据复合函数单调性的判断方法进行判断.

作业

1.课本第70页习题

2、3(2)

7、

9、

10、

11、12.

2.试总结求解对数方程、对数不等式、复合函数单调性的判断以及单调区间的方法和步骤.

设计感想

本节课是对对数函数的进一步学习，主要解决利用对数函数的单调性进行对数方程求解、对数不等式的求解，以及复合函数等相关问题.设计的题目有的比较简单，基础一般的学生比较容易接受和掌握;也有在难度上有所加深的题目，尤其加强了分类讨论思想的应用.对于复合函数的问题，老师可根据所教班级的不同有所选择地进行教学.教学中要注意强调对数函数的定义域，不管是在求解对数不等式还是求复合函数单调区间.接下来通过练习的训练加深对本节课的学习，教学中老师可让学生板演并进行点评，这样效果会更好些.

习题详解

课本第70页习题2.3(2)

1.这两个函数的图象关于x轴对称.共同点为：定义域是(0，+∞)，值域是R，都过点(1，0);不同点：函数y=log4x是定义域上的增函数，函数y=log1x是定义域上的减函数.

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2.(1)由已知可知3x-1>0，所以x>知可知24x313，所以函数y=ln(3x-1)的定义域是(

3413,+∞).(2)由已>0，所以4x-3>0，即x>，所以函数的定义域是(

3423，+∞).

3.(1)log57.8<log57.9;(2)log0.33<log0.32;(3)ln0.32<lg2;(4)log65<log78.

</log57.9;(2)log0.33<log0.32;(3)ln0.32<lg2;(4)log65<log78.

4.证明：函数y=log0.5(3x-2)的定义域是(

3x123x2223，+∞)，任取x

1、x2∈(

23，+∞)，且x1<x2，则log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.

</x2，则log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.

5，因为

<x1<x2，所以0<3x1-2<3x2-2.所以0<3x123x22<1，可得到

</x1<x2，所以0<3x1-2<3x2-2.所以0<3x123x22<1，可得到

log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5

3x123x22>log0.51=0，

即log0.5(3x1-2)>log0.5(3x2-2).

所以函数y=log0.5(3x-2)在定义域上是单调减函数.

5.证明：设f(x)=lg1x1x，由

1x1x>0得-1<x<1，即函数的定义域为(-1，1)，又对于

</x<1，即函数的定义域为(-1，1)，又对于

1x1x定义域(-1，1)内任意的x，都有f(-x)=lg=-lg

1x1x=-f(x)，所以函数y=lg

1x1x是奇函数.

6.函数y=log2(x+1)的图象可以由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到;函数y=log2(x-1)的图象可以由函数y=log2x的图象向右平移1个单位得到，这样，将函数y=log2(x+1)的图象向右平移2个单位就能得到函数y=log2(x-1)的图象，或将函数y=log2(x-1)的图象向左平移2个单位就能得到函数y=log2(x+1)的图象，如图所示.

7.因为log25>log24=2，log58=log525=2，所以

log25>log24=2=log525>log58，即log25>log58.

8.由图可知，函数y=loga(x+b)的图象过(0,2)点和(-2,0)点，将这两点的坐标代入函数解析式可得：

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a3(3舍去),ba2logab

2  loga(b2)0b21b3.9.比较对数函数底数的大小，只要作直线y=1，其交点的横坐标的大小就是对数函数底数的大小，由图可知，有以下关系：0<b </b

10.因为x出现在指数位置，所以本题要利用指数式与对数式的互化公式对x进行求解.

(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.

(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=

所以x+1=log5923-x

92，

，所以x=log5x+2

92-1.

11.(1)由不等式5>2，可得x+2>log52，所以x>log52-2;

(2)由不等式3<6，可得3-x2-log32;

(3)由不等式log3(x+2)>3，可得x+2>27，所以x>25;

(4)由不等式lg(x-1)<1,可得0<x-1<10，所以1<x<11.(定义域要考虑)

</x-1<10，所以1<x<11.(定义域要考虑)

12.证明：对任意的x

1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有

f(x1)f(x2)2x1x22lgx1lgx2212lgx1x2,f(

x1x22)=lg

x1x22，

因为x1x2=(x1x2)≥0，所以

2x1x22≥

x1x2，又因为f(x)=lgx

x1x22是(0,+∞)上的增函数，所以lg

x1x22≥lg

x1x2，即

f(x1)f(x2)2≤f().

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第四篇：文科数学2010-2019高考真题分类训练专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质—后附解析答案

专题二

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲

函数的概念和性质

2019年

1.(2019江苏4)函数的定义域是

.

2.

(2019全国Ⅱ文6)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A.

B.

C.

D.

3.(2019北京文14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明

对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾

客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元;

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________.

4.(2019北京文3)下列函数中，在区间(0，+)上单调递增的是

(A)

(B)y=

(C)

(D)

5.(2019全国Ⅲ文12)设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A.(log3)>()>()

B.(log3)>()>()

C.()>()>(log3)

D.()>()>(log3)

2010-2018年

一、选择题

1.(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是

A.

B.

C.

D.

2.(2018浙江)函数的图象可能是

A.

B.

C.

D.

3.(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足.若，则

A.

B.0

C.2

D.50

4.(2018全国卷Ⅲ)函数的图像大致为

5.(2017新课标Ⅰ)函数的部分图像大致为

6.(2017新课标Ⅲ)函数的部分图像大致为

A.

B.

C.

D.

7.(2017天津)已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

8.(2017山东)设，若，则

A.2

B.4

C.6

D.8

9.(2016北京)下列函数中，在区间

上为减函数的是

A.

B.

C.

D.

10.(2016山东)已知函数的定义域为R.当时，;当时，;当时，.则=

A.

B.

C.0

D.2

11.(2016天津)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

12.(2015北京)下列函数中为偶函数的是

A.

B.

C.

D.

13.(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A.

B.

C.

D.

14.(2015陕西)设，则=

A.-1

B.

C.

D.

15.(2015浙江)函数(且)的图象可能为

A.

B.

C.

D.

16.(2015湖北)函数的定义域为

A.

B.

C.

D.

17.(2015湖北)设，定义符号函数，则

A.

B.

C.

D.

18.(2015山东)若函数

是奇函数，则使成立的的取值范围为

A.

B.

C.

D.

19.(2015山东)设函数

若

，则

A.1

B.

C.

D.

20.(2015湖南)设函数，则是

A.奇函数，且在上是增函数

B.奇函数，且在上是减函数

C.偶函数，且在上是增函数

D.偶函数，且在上是减函数

21.(2015新课标1)已知函数，且，则

A.

B.

C.

D.

22.(2014新课标1)设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

A.是偶函数

B.||是奇函数

C.||是奇函数

D.||是奇函数

23.(2014山东)函数的定义域为

A.

B.

C.

D.

24.(2014山东)对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

A.

B.

C.

D.

25.(2014浙江)已知函数

A.

B.

C.

D.

26.(2015北京)下列函数中，定义域是且为增函数的是

A.

B.

C.

D.

27.(2014湖南)已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

=，=

A.-3

B.-1

C.1

D.3

28.(2014江西)已知函数，，若，则

A.1

B.2

C.3

D.-1

29.(2014重庆)下列函数为偶函数的是

A.

B.

C.

D.

30.(2014福建)已知函数则下列结论正确的是

A.是偶函数

B.是增函数

C.是周期函数

D.的值域为

31.(2014辽宁)已知为偶函数，当时，，则不等式

的解集为

A.

B.

C.

D.

32.(2013辽宁)已知函数，则

A.

B.0

C.1

D.2

33.(2013新课标1)已知函数=，若||≥，则的取值范围是

A.

B.

C.[-2,1]

D.[-2,0]

34.(2013广东)定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是

A.

B.

C.

D.

35.(2013广东)函数的定义域是

A.

B.

C.

D.

36.(2013山东)已知函数为奇函数，且当时，

，则=

A.-2

B.0

C.1

D.2

37.(2013福建)函数的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

38.(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(

)

A.

B.

C.

D.

39.(2013湖南)已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于

A.4

B.3

C.2

D.1

40.(2013重庆)已知函数，，则

A.

B.

C.

D.

41.(2013湖北)为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为

A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.

周期函数

42.(2013四川)函数的图像大致是

A

B

C

D

43.(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为

A.

B.

C.

D.

44.(2012福建)设，则的值为

A.1

B.0

C.

D.

45.(2012山东)函数的定义域为

A.

B.

C.

D.

46.(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A

B

C

D

47.(2011江西)若,则的定义域为

A.(,0)

B.(,0]

C.(,)

D.(0,)

48.(2011新课标)下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

A.

B.

C.

D.

49.(2011辽宁)函数的定义域为，，对任意，，则的解集为

A.(，1)

B.(，+)

C.(，)

D.(，+)

50.(2011福建)已知函数.若，则实数的值等于

A.-3

B.-1

C.1

D.3

51.(2011辽宁)若函数为奇函数，则=

A.

B.

C.

D.1

52.(2011安徽)设是定义在R上的奇函数，当时，，则

A.-3

B.-1

C.1

D.3

53.(2011陕西)设函数满足则的图像可能是

54.(2010山东)函数的值域为

A.

B.

C.

D.

55.(2010年陕西)已知函数=，若=4，则实数=

A.

B.

C.2

D.9

56.(2010广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则

A.f(x)与g(x)均为偶函数

B.

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数

D.

f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

57.(2010安徽)若是上周期为5的奇函数，且满足，则

A.-1

B.1

C.-2

D.2

二、填空题

58.(2018江苏)函数的定义域为

.

59.(2018江苏)函数满足，且在区间上，

则的值为

.

60.(2017新课标Ⅱ)已知函数是定义在上的奇函数，当时，

，则=

.

61.(2017新课标Ⅲ)设函数，则满足的的取值范围是____.

62.(2017山东)已知是定义在R上的偶函数，且.若当时，，则=

.

63.(2017浙江)已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是

.

64.(2017江苏)已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数

的取值范围是

.

65.(2015新课标2)已知函数的图象过点，则

.

66.(2015浙江)已知函数，则

，的最小值是

.

67.(2014新课标2)偶函数的图像关于直线对称，，则=__.

68.(2014湖南)若是偶函数，则____________.

69.(2014四川)设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则

.

70.(2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是__.

71.(2014湖北)设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.

(Ⅰ)当时，为的几何平均数;

(Ⅱ)当时，为的调和平均数;

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

72.(2013安徽)函数的定义域为_____________.

73.(2013北京)函数的值域为

.

74.(2012安徽)若函数的单调递增区间是，则=________.

75.(2012浙江)设函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则=_______________.

76.(2011江苏)已知实数，函数，若，则a的值为________.

77.(2011福建)设是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量∈，∈，以及任意∈R，均有

则称映射具有性质.

现给出如下映射：

①

②

③

其中，具有性质的映射的序号为_____.(写出所有具有性质的映射的序号)

78.(2010福建)已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立;当时，.给出如下结论：

①对任意，有;②函数的值域为;③存在，使得;④“函数在区间上单调递减”的充要条件是

“存在，使得”.

其中所有正确结论的序号是

.

79.(2010江苏)设函数(R)是偶函数，则实数=

.

专题二

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲

函数的概念和性质

答案部分

2019年

1.解析

由，得，解得.

所以函数的定义域是.

2.解析

设，则，

所以f(-x)=，

因为设为奇函数，所以，

即.

故选D.

3.解析

①草莓和西瓜各一盒的价格为，则支付元;

②设促销前顾客应付元，由题意有，解得，而促销活动条件是，所以.

4.解析

由基本初等函数的图像与性质可知，只有符合题意.故选A.

5.解析

是定义域为的偶函数，所以，

因为，，所以，

又在上单调递减，所以.

故选C.

2010-2018年

1.D【解析】当时，函数是减函数，则，作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或，所以，故选D.

2.D【解析】设，其定义域关于坐标原点对称，

又，所以是奇函数，故排除选项A，B;

令，所以，所以()，所以()，故排除选项C.故选D.

3.C【解析】解法一

∵是定义域为的奇函数，.

且.∵，∴，

∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，，

，

∴，

故选C.

解法二

由题意可设，作出的部分图象如图所示.

由图可知，的一个周期为4，所以，

所以，故选C.

4.D【解析】当时，，排除A，B.由，得或，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D.

5.C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B;当时，，排除D;当时，，因为，所以，，故，排除A.故选C.

6.D【解析】当时，，排除A、C;当时，，排除B.选D.

7.A【解析】由题意时，的最小值2，所以不等式等价于

在上恒成立.

当时，令，得，不符合题意，排除C、D;

当时，令，得，不符合题意，排除B;

选A.

8.C【解析】由时是增函数可知，若，则,

所以,由得，解得,

则,故选C.

9.D【解析】由在上单调递减可知D符合题意，故选D.

10.D【解析】当时，为奇函数，且当时，，

所以.而，

所以，故选D.

11.C【解析】由题意得，故选C.

12.B【解析】根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.

13.D【解析】A为奇函数，B为偶函数，C是偶函数，只有D既不是奇函数，也不是偶函数.

14.C【解析】∵，∴.

15.D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A,

B;取，则，故选D.

16.C【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：

，即，即函数的定义域为，故选C.

17.D【解析】当时，，，则;

当时，，，则;

当时，，，则;故选D.

18.C【解析】由，即

所以，，由，

得，，，故选C.

19.D【解析】由题意，由得，

或，解得，故选D.

20.A【解析】函数，函数的定义域为，函数

，所以函数是奇函数.

，已知在上

，所以在上单调递增，故选A.

21.A【解析】∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，

∴=，故选A.

22.B【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B.

23.C【解析】，解得.

24.D【解析】由可知，准偶函数的图象关于轴对称，排除A，C，而B的对称轴为轴，所以不符合题意;故选D.

25.C【解析】由已知得，解得，又，所以.

26.B【解析】四个函数的图象如下

显然B成立.

27.C【解析】用换，得，

化简得，令，得，故选C.

28.A【解析】因为，且，所以，即，解得.

29.D【解析】函数和既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B;选项C中，则，

所以=为奇函数，排除选项C;选项D中，

则，所以为偶函数，选D.

30.D【解析】，所以函数不是偶函数，排除A;因为函数在上单调递减，排除B;函数在上单调递增，所以函数不是周期函数，选D.

31.A【解析】当时，令，解得，当时，

令，解得，故.

∵为偶函数，∴的解集为，

故的解集为.

32.D【解析】，

33.D【解析】∵||=，∴由||≥得，

且，由可得，则≥-2，排除A，B，

当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.

34.C【解析】是奇函数的为与,故选C.

35.C【解析】，∴

36.A【解析】.

37.A【解析】本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知，即函数为偶函数，排除C;由函数过点，排除B，D.

38.C【解析】是奇函数，是非奇非偶函数，而D在单调递增.选C.

39.B【解析】由已知两式相加得，.

40.C【解析】因为，又因为

，所以，

所以3，故选C.

41.D【解析】由题意f(1.1)=1.1-[1.1]=0.1，f(-1.1)=-1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数.又对任意整数a，有f(a+x)=a+x-[a+x]=x-[x]=f(x)，故f(x)在R上为周期函数.故选D.

42.C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故排除A;取=-1，y==>0，故再排除B;当→+∞时，-1远远大于的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.

43.B【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.

44.B【解析】∵π是无理数

∴，则，故选B.

45.B【解析】故选B.

46.D【解析】A是增函数，不是奇函数;B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.

47.A【解析】，所以，故.

48.B【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数.

49.B【解析】令函数，则，所以在上为增函数，又，所以不等式可转化为，由的单调性可得.

50.A【解析】当时，由得，无解;当时，由得，解得，故选A.

51.A【解析】∵为奇函数，∴，得.

52.A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，，

∴，选A.

53.B【解】由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合;由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B.

54.A【解析】因为，所以，故选A。

55.C【解析】∵，∴.于是，

由得.故选.

56.B【解析】.

57.A【解析】∵是上周期为5的奇函数，

∴

58.【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是.

59.【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4.因为在区间

上，，

所以.

60.12【解析】∵是奇函数，所以.

61.【解析】当时，不等式为恒成立;

当，不等式恒成立;

当时，不等式为，解得，即;

综上，的取值范围为.

62.6【解析】由，得，所以函数的周期，所以.

63.【解析】∵，∴

①当时，，

所以的最大值，即(舍去)

②当时，，此时命题成立.

③当时，，则

或，

解得或，

综上可得，实数的取值范围是.

64.【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，

即，解得，故实数的取值范围为.

65.2【解析】由题意可知在函数图象上，即，∴.

66.【解析】∵，所以;

时，，时，，又，

所以.

67.3【解析】∵函数的图像关于直线对称，所以，

，又，所以，

则.

68.【解析】函数为偶函数，故，

即，化简得，

即，整理得，所以，即.

69.【解析】

70.【解析】结合图形(图略)，由，可得，可得.

71.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(或填(Ⅰ);(Ⅱ)，其中为正常数均可)

【解析】过点，的直线的方程为

，令得.

(Ⅰ)令几何平均数，

可取.

(Ⅱ)令调和平均数，得，

可取.

72.【解析】，求交集之后得的取值范围.

73.【解析】由分段函数，;，.

74.【解析】由可知的单调递增区间为，

故.

75.【解析】.

76.【解析】，

.

77.①③【解析】∵，，，

所以

对于①

，具有性质P的映射,同理可验证③符合，②不符合,答案应填.

78.【答案】①②④

【解析】①，正确;

②取，则;，从而

，其中，，从而，正确;③，假设存在使，

∵，∴，∴，这与矛盾，所以该命题错误;④根据前面的分析容易知道该选项正确;综合有正确的序号是①②④.

79.-1【解析】设，∵为奇函数，由题意也为奇函数。所以，解得.

第五篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。