苏州大学高等数学竞赛

第一篇：苏州大学高等数学竞赛

大学 高等数学 竞赛训练 试题

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）

1)

解：因为

所以，原式

2)设，求。

解：因为

……

……

所以。

3)求，其中。

解：

4)求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1)如果，则

2)如果存在正整数，使得，则。

证明：1)因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2)设，则有

。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

求证：在开区间内至少存在一点，使得。

证明：因为，在之间，

所以，

其中，

又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

求证：和。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

记第一型曲面积分为。求证：

证明：当时，。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为

。

第二篇：大一高等数学竞赛策划

一、 目的及意义

高等数学是理工科基础中的基础，也是学科建设的基础。与物理、物化、工

程力学、传输原理、电工学等几乎所有理工科课程有关。03级实践证明98%的同学由于高等数学底子薄弱听不懂课程，导致最后强烈要求将统计热力学改为考查课。而且在许多理工类论文的研究突破点上，高等数学及其数学思维功不可没。它与考研息息相关，且与英语两门决定考研大局。

通过竞赛激发同学学习兴趣，大一时就打好坚实的数学基础，为以后其它知

识学习提供必备的学习工具。03，04级挂科的同学也可以参加，这样可以帮助他们发现学习中的漏洞及时弥补提高整体通过率。还可以为形成考研队伍起到引导、启发作用。而且在教学上起到检验教学的目的，并且通过竞赛活动希望达到教学相长的作用。但最重要的还是希望这次活动为材料系学科建设形成具有特色的模式进行抛砖引玉，为培养具有后劲人才打下基础。

为此学习部组织本次由学习部出题，批卷的高数竞赛活动。并且考完后由学

习部组织同学对试题进行详细讲解以及对其它疑问知识的解答。

三、命题及考试方式

① 试题特点：满分为150分，选择题12题，每题5分。填空题4题，每题4分。

解答题6题，分别

8、

10、

10、

12、

12、14分。基础题共106分，

压轴题44分，且采取多题把关的方式。

② 命题小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

③ 监考小组：总监：孙强督察：马建军(辅导员)

成员：阙永生、魏冰、靳冰花、刘文杰

④ 批卷小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

四、 考试安排

时间：12月24日上午9：00 ~ 11：00(考生8：40进入考场)

地点：13#129

五、 奖励方式

一等奖1 名、二等奖1名、三等奖1名、鼓励奖5名

具体奖励办法：一等奖80元、二等奖50元、三等奖20元、鼓励奖每人钢笔1支、一等奖、二等奖、三等奖荣誉证书各一份

六、 经费操作

①

②

③

④

⑤ 奖品费用总计约为225元。 试卷用纸30元。 光荣榜用纸3元。 命题人员活动经费每人8元(共40元)。 总计：298元

材料系学习部

2005年10月10日

第三篇：大学新生如何学好高等数学

大学新生可能对将要学习的高等数学产生畏惧心理，因为高等数学与初等数学相比，老师的授课方式和学生的

学习方法都发生了改变，如何帮助学生适应这些转变，提高学习效果，本人就这些问题提一点建议供同学们参考：

随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大，正因如此，确立了它在学校课程中占有重要地位,因此学好数学对将来的工作有很大的帮助。但是，学生由高中转入大学后，高等数学明显显示出与中学数学的差别，对学生的学习产生一定的影响。教师适时地给与指导，对帮助新同学克服学习困难会起到积极的作用。下面，浅谈以下几点看法。

一、高等数学与初等数学的区别对刚入大学的新生来说，高等数学与初等数学的主要不同之处在于高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物，而初等数学用静止的观点研究问题。在初等数学中，研究对象基本上都是常量，而高等数学研究的对象基本都是变量，常量与变量的区别，是静止与运动观点的具体体现。另外，高等数学与初等数学相比，其概念更复杂、理论性更强、表达形式更加抽象和推理更加严谨。正是由于高等数学与初等数学存在着如此大的区别，对于刚进大学的学生来说，学习起来就相当困难，以往在中学时形成的学习初等数学的教学方法和学习方法就无法适应新的要求，所以我们应积极探索一些适合高等数学需要的教学方法和学习方法。

二、在教学中应采取的方法

1. 概念的引入要适应学生的思维发展规律美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。这说明数学学科的高度抽象性和概括性，这些特点容易让学生对于高等数学的概念理解产生困难，不能深入理解其中的内涵,造成表面的形式理解，表现在做题时仅能够解答与例题类似的习题，遇到稍微变形的题目时，就不知如何下手，不会举一反三，灵活运用解题方法。因此，在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，讲解时，尽量由浅入深，多从生活中找素材进行引入，使学生慢慢理解消化。例如，在讲解定积分的概念时，要求曲边梯形的面积，根据他们以前掌握的知识，是没法准确得到的，怎样利用他们已有的知识去解决新的问题?教师这个时候，要有目的地去引导，把曲边形分割成几个矩形，矩形的面积求法，学生是很熟悉的，把几个矩形的面积相加，就可以近似地求出曲边梯形的面积。但是还是没法知道准确值，这时教师再适当的引导，把曲边梯形再进一步分割，让学生看到分得越多，得到的值就越接近准确值，最后求极限就可以把问题解决。通过这样慢慢的引导，学生能明白概念的来龙去脉，对概念的理解会深刻一点，也容易记住概念的实质，而不再死记硬背，起到事半功倍的效果。这种让学生也参与其中而不再被动接受知识的授课方式，能促进他们从中学的那种思维方式向大学学习的思维方式转变。 2.培养学生学习的兴趣

教师讲授新知识时，要采取各种各样的方法，调动学生学习的积极性，比如上课时多和学生交流，了解他们在想什么，学习数学时有什么困难，多关心他们，师生之间融洽的关系也能使学生学习的兴趣增加。在课堂上要坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则。讲课一定要做到思路清晰、重点突出、层次分明，对于重点、难点的地方，要不厌其烦，运用各种方法，反复解释，使学生理解其精髓;对于次要、简单的地方可以一带而过，让学生课后自学。课堂上只有精讲，才能给学生留出较为充裕的时间进行消化吸收。如果讲得太细，第一是时间不允许，第二是陷入繁琐的细节，反倒使学生抓不住要领。对于学生而言，听课只是从老师那里接受到了知识，若不经过消化吸收，就永远不是自己的东西。另外适当的时候介绍一下与所学的内容相关的数学典故，可以拉近学生与数学的距离，激励他们学习的热情。在讲解有些概念的时候，我们可以引用经典例子，让学生了解数学的发展历史，这样就可以使得课堂没有那么的枯燥无味。比如我们在讲解数列极限的时候就可以引用我国古代数学家刘徽的“割圆术”来了解极限的思想方法。他在计算圆周率的时候，为了计算圆的周长，将圆六等分。作圆的内接正六边形。则此六边形就比较接近圆周了，如此逐渐倍增分点数，依次作圆的正12 边形，正24 边形，正48 边形等等。刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，就是说，分点数越多，所作的圆内接正多边形越接近圆周。如此一直下去，则圆内接正多边形无限地接近圆周。当分割越多时，内接正多边形与圆的差异就越小，当无限增多时，则就无限接近圆的周长。在数学上我们就把这个精确的量称为数列的极限。这样给出数列极限的定义就避免了枯燥、太笼统，也使得学生产生了对数列极限学习的兴趣。老师还可以启发学生自己举出身边的一些有关数列极限的例子，从而增加课堂学习的气氛和乐趣。总之，让学生觉得高等数学并非深不可测，增强他们学习的自信心，逐渐适应高等数学的学习。只要因材施教，善于总结经验，找到适合学生特点的教学方法，就能使学生尽快适应高等数学的学习，取得良好的教学效果。

3. 引导学生尽快调整心态

学生的心态是影响听课效果的重要因素之一，教学是教师和学生互相适应的过程，大一学生刚从中学升入大学，对于大学数学课堂教学还不太适应，对于教师的依赖心理较强。一部分学生期望教师把知识讲深讲透，课堂完全解决问题，这种心理不能很好地适应大学的教学特点。教师要注意引导学生调整学习心态和学习方法，主动地适应大学数学的课堂教学，培养他们自学的能力，在教学中要允许学生有一个适应过程。在第一学期刚开学的前几周，我们注意到了由中学到大学应有一个衔接过程，讲课进度稍慢，较难的内容讲得详尽些，随着学生对大学数学的课堂教学的适应，讲课进度随之加快，并着重分析基本方法、重点和难点。如果学生能够尽快地调整好心态，主动适应大学数学的课堂教学，不仅能够使教师更好地发挥自己的教学特长，而且可以帮助学生培养学习能力，注意这一点，就会使课堂教学取得更好的效果。

三、要引导学生建立良好的学习习惯

古人曰：“凡事预则立，不预则废”。学习中也同样适用，也就是说在学习中预习也是很重要的，预习可以提高课堂学习质量，因为提前把知识点看过后，老师在讲新内容时，可以跟得上老师的思路，不至于遇到稍不理解的地方时，就对继续听讲产生障碍，从而不明白的问题越来越多，业余时间就需要花费大量时间理解、消化。另外带着问题听课，可以集中精神，把主要精力用在“刀刃”上。从小上学我们就提倡课前预习、课堂上认真听讲，课后复习巩固，这样的好习惯在我们学习高等数学时同样很有效，预习首先应从总体上把握所学内容，把以前与之有联系的内容浏览一遍。看哪些内容是自己学过的，哪些是自己新接触的，分析新知识与以前学的知识有什么联系和区别，比如预习“数列的极限” 一节时就要比较和高中所学的数列的极限有什么区别和联系，在听课时就可以有目的的听讲，看老师的讲解和自己的分析有什么相同和不同，仔细领会新学知识的要点。上课时一定要精神饱满、专心听讲，紧跟老师的思路，积极思考老师上课时提出的问题，遇到不理解的地方，一定和老师多交流，及时把问题解决，以免问题越积越多，影响后续课程的学习。课后复习巩固同样很重要，因为大学数学与高中数学教学相比，课时明显减少，一节课讲的内容较多，老师课后也不可能象高中那样安排时间领着学生复习，所以学生必须在课余时间自己复习巩固所学知识。课后一定要自觉的多做一些练习题，因为做练习不仅可以加深对内容的理解，使所学知识更加牢固，而且做练习题还可以检验自己掌握知识的程度。千万记住课前预习、课堂上认真听讲、课后复习巩固，三者缺一不可，在学习中切记不可偷懒，一步一个脚印，尽快适应高等数学的学习。另外，学生自己也应从心理上适应大学的数学学习。因为高等数学与初等数学相比，概念复杂、理论性强、推理严谨，这些特点很容易使学生对学好数学缺乏信心，进而对数学学习产生抵触情绪。要克服这种情绪，首先就要学生增强学好数学的自信心，克服害怕厌倦的心理，这是学好数学的前提。要消除这种消极的思想就要求学生在学习中能够懂得数学、应用数学，培养喜欢数学的兴趣，把握学习的主动权，提高学习的自觉性。

总之，刚跨入大学校门的大一学生，应尽快找到中学数学和高等数学的衔接点，尽快适应从中学到大学的转变。

第四篇：中南大学高等数学在线作业一

单选题

1. 下列说法正确的是()

(A) 若 (B) 若 (C) 若 (D) 若

可导

不连续

极限不存在

不可导

参考答案：

(D)

没有详解信息!

2. 下列各对函数中，( )中的两个函数相等. (A) (B) (C) (D)

参考答案：

(A)

没有详解信息!

3. 下列各对函数中，( )是相同的。

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C) 没有详解信息! 4.

函数

是奇 (A) 函数

是偶

(B) 函数

既奇函数

(C) 又 是偶函

数

是非奇(D) 非 偶函

数

参考答案：

(B)

没有详解信息! 5.

已知

(A) 1

(B) 任意实数 (C) 0.6

(D) -0.6

参考答案：

(D)

没有详解信息! 6.

设

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(B)

没有详解信息!

7. 下列命题正确的是( )

(A) (B)

(C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 8.

设

则

(A) 2

(B) 1

(C) -1

(D) -2

参考答案：

(A)

没有详解信息! 9.

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 10.

函数

处()

不取(A) 极值

取极

(B) 小值

取极

(C) 大值

是否取极值

(D) 与 a有关

参考答案：

(A)

没有详解信息! 11.

是()

无穷大(A) 量

无穷小

(B) 量

有界变

(C) 量

无界变

(D) 量

参考答案：

(C)

没有详解信息! 12.

若

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息!

13. 下列极限存在的是()

(A)

(B)

(C) (D)

参考答案：

(D)

没有详解信息! 14.

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

参考答案：

(B)

没有详解信息! 15.

设函数

单调减(A) 函数

有界函

(B) 数

偶函

(C) 数

周期函

(D) 数

参考答案：

(C)

没有详解信息! 16.

设

则(

). (A) (B) (C) (D)

参考答案：

(B)

没有详解信息! 17.

已知

，其中,是常数，则()

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息!

. 18. 广义积分()收敛

(A) (B)

(C)

(D)

参考答案：

(C)

没有详解信息!

19. 有且仅有一个间断点的函数是()

(A) (B) (C)

参考答案：

(B)

没有详解信息!

)中的两个函数相等. 20. 下列各函数对中，(

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(D) 没有详解信息! 21.

设

使()

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(D)

没有详解信息! 22.

若函数

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(B)

没有详解信息! 23.

函数

的定义域为().

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(D)

没有详解信息! 24.

设函数

的图形关于( )对称。

=x

(A) y

(B) x 轴

(C) y 轴

(D) 坐标原点

参考答案：

(D)

没有详解信息! 25.

设，则()

(A) (B) (C) (D)

为常数

为常数

=0

参考答案：

(B)

没有详解信息! 26.

设

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 27.

若

内( ). (A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 28.

可去间(A) 断点

跳跃间

(B) 断点

无穷间

(C) 断点

振荡间

(D) 断点

参考答案：

(A)

没有详解信息! 29.

设

记

，则有(). (A) (B) (C) (D)

参考答案：

(B)

没有详解信息!

()。 30. 下列无穷积分中收敛的是

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 31.

二重极限

0 (A) 等于 1 (B) 等于 (C) 等于

(D) 不存在

参考答案：

(D)

没有详解信息!

32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是()

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C) 没有详解信息! 33.

若(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：

(D)

没有详解信息! 34.

设函数

(A)

(B)

(C)

(D) x

参考答案：

(C)

没有详解信息! 35.

函数

在点

处( ).

有定义

无定义

有定义(A) 且有极

(B) 但有极

(C) 但无极 ,则至少存在一点

，使

无定义

(D) 且无极

限

限

限

限

参考答案：

(B)

没有详解信息! 36.

利用变量替换

化为新的方程().

(A) (B) (C)

(D)

参考答案：

(A)

没有详解信息! 37.

设

，则必有()

(A)

(B)

(C)

(D)

的符号位不能确定

参考答案：

(B)

没有详解信息! 38.

设

可导的()

(A) 充分必要的条件

(B) 必要非充分的条件

(C) 必要且充分的条件

(D) 既非必要又非充分的条件

参考答案：

(A)

没有详解信息! 39.

设

(A) 1

(B) 2

(C)

(D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 40.

处的值为()

(A) (B) (C)

(D) 1

参考答案：

(C)

没有详解信息! 41.

设函数

处()

极限不 (A) 存在;

极限存

(B) 在 但不

连续

连续但不

(C) 可导;

可

(D) 导

参考答案：

(C)

没有详解信息! 42.

设

()

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(B)

没有详解信息! 43.

设

的大小关系时()

其中(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(A) 没有详解信息! 44.

若在

为(). 上升的(A) 凸弧

下降的

(B) 凸弧

上升的

(C) 凹弧

下降的

(D) 凹弧

参考答案：

(D)

没有详解信息! 45.

如果点

的某邻域内有连续二阶偏导，

取极大值。

(A) (B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 46.

设处间断，则有()

(A) (B) (C) (D) 若

处一定没有意义

不是无穷小

参考答案：

(D)

没有详解信息! 47.

设函数

(A) (B) (C)

(D)

参考答案：

(C)

没有详解信息! 48.

当

(A) 不取极值 (B) 取极大值 (C) 取极小值

(D) 取极大值

参考答案：

(B)

没有详解信息! 49.

设

(A) x

(B) x+1

(C) x+2

(D) x+3

参考答案：

(D)

没有详解信息! 50.

过点(1，2)且切线斜率为

的曲线方程为y=() (A)

(B) (C) (D)

参考答案：

(C)

没有详解信息!

第五篇：华南理工大学高等数学教学课件7

第三节

函数的极限

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 ：设函数fx当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0(任意小)总存在正数X，当xX时，一定有

fxA

那么常数A称为函数fx当x时的极限，记为limxfxAfxAx。

6x51例1 ：证明 1)limxx6 ; 2)limxax10a1 证明：1)对于任给的(任意小)0，

6x555x6xx 取X5，当xX时有

6x5x6 所以lim6x5xx6。(如图6) 注 1：直线y6称为函数y6x5x的水平渐近线。 2)对于任给的(任意小)0， 111要使ax1，即1ax1aloga1axaloga1

当0a1时，指数函数是递减的，所以

loga11xloga1 令Mmax1,1loglog，则当Mxx0时有

a1a1，或loga111loga1 xM当xMx0时有

loga111loga1 Mx即当xM时总有

loga11x1loga1 xa1

1xa10a1。 所以limx注2:x有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数fxarctanx(如图7)。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。

注 3：当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xXfxA。 ，极限记为xlim当x0时，且x无限增大。即x。则定义中的xX改为xX，fxA。 极限记为xlim例2：证明：xlimsinx0 x证明：对于任给的(任意小)0，

sinxsinx10 xxx取X，当xX时有

sinx0 x1所以xlimsinx0。 x

二、自变量趋于有限值时函数的极限

1)、函数极限的定义

定义 ：设函数fx在点x0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数(任意小)，总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值fx都满足不等式

fxA

fxA，或那么常数A就叫做函数fx当xx0的极限。记为xlimx0fxA,xx0。

x212例3 ：证明 lim。 x12x2x13证明：对于任给的(任意小)0，

x1x12x12x11x1 x2122x2x132x1x132x1332x16x3令x1，则有1xx1x

x21211x1x1x1 26x32xx136x3取min,，当0x1时有

13131323x212 22xx13x212所以lim。 x12x2x132例4：证明lim1x21x0。

xx0证明：对于任给的(任意小)0， 1x1x2202x2x01x1x220xx01x20xx0

令xx01，则有xx0xx01x1x0

21x21x0xx01x20xx012x01x20xx0

21x0取min1,，当0xx0时有

12x021x21x0

2所以lim1x21x0。

xx0cosxcosx0。 例5：证明xlimx0证明：证明：对于任给的(任意小)0，

cosxcosx02sinxx0xx0xx0sin2sinxx0(注解) 222取，当0xx0时有

cosxcosx0

cosxcosx0。 所以xlimx0注4：函数极限的几何意义(如图9)。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数2x1fx2x3x0x0当x0时，此函数从左右两边越来越接近的数是不一样的。(如图10)

注5：当x从右边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0(去心邻域)改为x0xx0(右

fxA或fxA,xx0改为limfxA或半邻域);把xlimx0xx0; fxA,xx0 当x从左边趋近于x0时，即xx0,xx0，我们记作xx0，只需把上面定义中的0xx0(去心邻域)改为x0xx0(左半邻fxA或fxA,xx0改为limfxA或域);把xlimx0xx0。 fxA,xx0例6：证明：limx2x24x4x424

证明：对于任给的(任意小)0，

x24x4x424x24x2(注意x2)

取，当2x2时有

x24x4x424

所以limx2x24x4x424。

2)、函数极限的性质

性质1 ：(唯一性)如果数A,B是函数fx当xx0时的极限，则一定有AB。

证明 ：假设AB。无妨设AB，取所以存在正数1，当xx01时有

fxAAB 2ABfxA，。因为xlimx02fxB，因此存在正数2，当xx02时有 又因为xlimx0fxBAB 2取max1,2，当xx0时有

ABfxBfxAfxBfxAAB

这是一个矛盾，从而证明AB成立。

fxA，则存在正数,M，当性质2 ：(局部有界性)如果xlimx00xx0时，一定有fxM。

fxA，取1，则存在正数，当0xx0证明 ：因为xlimx0时有

fxA1

即有

fxAfxA1fx1A

取

M1A

则得所证结论。

fxA而且A0(或A0)那么就性质3：(局部保号性)如果xlimx0存在着点x0的某一去心邻域当x在该邻域内时就有fx0(或。 fx0)证明 ：如果A0，我们取存在正数当0xx0时有

fxAA 2AfxA，所以一定，因为xlimx02即有fxAAA0。 22性质4：如果在x0的某个去心邻域内有fx0(或fx0),而且xx0limfxA，那么A0(或A0)。 证明 ：设当0xx0时有fx0。用反证法，假设这时有A0，根据性质A0。▍ 3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以作业：1题

1、4小题、2题

1、2小题、5题、7题。

思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤?处理这个步骤你有何经验?