二元函数的连续性与可微性讨论分析

定义多元函数连续性定义若, 则称函数f (P) 在点P0是连续的。

定理若二元函数f (x, y) 在其定义域内一点 (x, y) 处可微, 则f (x, y) 在该点处必然连续。

定理若函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 的邻域内连续, 存在, 则函数在点P0可微。

例1证明函数

在点 (0, 0) 处连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0, 0) 处不连续, 而f (x, y) 在点 (0, 0) 可微。

解析由于所以f (x, y) 在点 (0, 0) 处连续。

当x2+y2=0时,

当时, x2+y2≠0

同理可证在点 (0, 0) 处不连续。

然而

所以f (x, y) 在点 (0, 0) 可微。

当动点 (x, y) 沿直线y=kx趋于点 (0, 0) 时, 显然对不同的k有不同的极限值。因此, 上述极限不存在, 故在点 (0, 0) 处不可微。

显然

因此, 在点 (0, 0) 处的任何邻域中均有无意义之点及无界。同理可得, 具有类似的性质。

例3证明函数

若x2+y2≠0及f (0, 0) =0, 于点 (0, 0) 处的领域中连续且有有界的偏导数和, 但此函数在点 (0, 0) 处不可微。

解析函数f (x, y) 在x2+y2≠0的点显然是连续的。由不等式

可知

故f (x, y) 在点 (0, 0) 的邻域中连续。

当x2+y2≠0时, 由于

故在点 (0, 0) 的邻域内有界.同理可得在点 (0, 0) 的邻域内有界。

且极限

是不存在的, 因此可知函数f (x, y) 在点 (0, 0) 处不可微。

结束语:

上述例析表明, f (x, y) 在某点 (x0, y0) 的偏导数存在, f (x, y) 在点 (x0, y0) 可以不连续;f (x, y) 在某点 (x0, y0) 连续, f (x, y) 在点 (x0, y0) 的偏导数也可能不存在;f (x, y) 在某点的 (x0, y0) 偏导数存在与否, 与其在该点是否连续无关。

摘要：多元函数微分学的内容与一元函数微分学大致相同, 主要研究连续性、可微性、可导性及其之间的关系, 但多元函数微分学又有自身的特点, 本文将主要研究二元函数的连续性与可微性。

关键词：二元函数,连续微分

参考文献

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