高等数学解题中概率论方法的应用研究

概率论是从数量上对随机现象统计规律进行研究的一门学科, 很多概率论思想与概率论方法适用于高等数学问题, 并且可以为学生解题提供更加广阔的思路。高等数学教师要在教学中注重概率论方法的应用, 引导学生学会运用概率论方法简化解题过程, 启发数学思维, 提高学习效率。

一、概率论概述

作为研究随机现象数量的数学分支, 概率论与高等数学之间有着密不可分的联系。在高等数学解题过程中常常会用到概率论思想, 教师应该结合实际教学内容, 科学引导学生运用概率论, 掌握更多解题方法, 从而有效提高学生数学解题能力, 帮助学生积累更多解题技巧。如下对概率论进行几点分析:

(一) 内涵

所谓概率论, 就是对现象数量规律进行研究的数学分支, 随机现象与现象相对而言。但是在一定的条件下, 会出现某一些结果的现象为决定性现象。比如:标准大气压下, 纯水要在100摄氏度的条件下才会沸腾。随机现象则是在基本条件不变的状况下, 每次试验或者观察前, 不能肯定出现哪种结果, 这就是一种偶然性。如:扔一颗硬币, 有可能出现正面, 也有可能出现反面, 随机现象实现和它观察成为随机试验。随机试验的每种可能被称为基本事件, 单个基本事件可以称之为随机事件, 一组事件也成为随机事件, 也称之为简称事件。在日常生活中还包括很多奠定的随机试验, 比如掷骰子、抽扑克牌、扔硬币、轮盘游戏等。另外, 事件的概率是对其发生可能性量度的衡量, 一些事件在以此随机实践中发生是存在偶然的, 如果在相同条件下, 如果大量重复出现, 那么就说明其具有一定的数量规律。

(二) 发展

概率论起源于17世纪, 那时候概率论的内容还很单一, 不完善。直到18世纪, 概率论才开始快速发展。概率论的发展与雅克比·伯努利有着密切的关系, 为什么说其是概率论有密切关系, 是因为其提出了概率论发展的起源, 即伯努利定理, 具体内容:在进行实验时, 严格根据规定执行, 在多次实验之后, 一些事件发生的概率就会逐渐变得稳定。他提出的这个定理对于概率论的发展起到了一定的促进作用。从那以后, 概率论被越来越多地领域所应用。经过一个世纪的发展, 到19世纪初, 在拉普拉斯提出了概率论的理论分析之后, 概率论已经形成一个学科体系。拉普拉斯将其定义为:对某一随机现象进行了n次实验与观察, 其中A事件出现了m次, 即出现的频率为m/n。在大量的反复实验之后, 发现m/n接近于一个常数。在经历几个世纪的发展之后, 目前为止, 概率论已经被完善并且趋于成熟。概率论被各个学科领域广泛应用, 如物理学、农业技术等。概率论的广泛应用对社会的发展进步起到了一定的推动作用。

二、概率论在高数中的运用

高等数学是众多学科中难度最大的一门。所以在高等数学的解题过程中, 如果只是按照传统的解题方法进行解题, 不仅解题过程会很复杂烦琐, 而且最终得到的答案也不一定会准确。所以在解高等数学的题目时, 应该将概率论的知识充分地应用到其中, 这样不仅能够快速解题, 还能够大大地提高准确率。概率论在不同的高等数学题目中的应用不同, 下面为学生提供几个常见的解题思路。

(一) 概率思想在高等数学化简问题中的应用

选择一些数字, 这些数字都确定在一定范围中, 然后把这些数字视为一个事件所发生的概率, 然后利用概率的分布, 对问题进行解决, 在应用的过程中也可以使用泊松分布性质来解决问题。这种计算方式不仅可以将原本复杂的步骤简化, 还能够提高计算结果的准确性。在高等数学化简问题中, 概率论的思想的应用, 可以将概率论的思想和化简问题进行练习, 在将问题变得简单的同时还能够激发学生对“概率和数理统计”知识产生学习兴趣。为了方便理解, 用下面这个具体的例子来将概率思想在化简问题中的应用进行展示。

例:有这样100盏灯, 将这些灯进行编号, 编号按照阿拉伯数字进行排序, 因为灯的开关属于闸开关, 现将这些灯的开关都打开, 确保所有的灯都保持亮的状态, 然后在将所有的开关都关闭, 确保所有开关关闭之后, 然后, 开始将编号为2的倍数的全部灯的开关都打开, 然后将3的倍数的灯全部打开, 依次循环操作, 最终将100倍数的灯都打开。

(二) 概率思想在高等数学积分中的应用

据有效数据实验表示, 概率论的思想在高等数学积分中也能够有着较高的应用机制, 不仅可以将原本复杂的积分问题简化, 还能够使得结果变得相对准确。概率论的思想在高等数学积分中的应用, 是在结合式子本身的性质下, 在经过一些变形之后, 将原本复杂的积分问题变化为概率密度函数, 这样在利用概率密度函数相关性质后, 可以将问题进行解决, 这也被称为归一性, 通过变形, 将积分函数中的一部分变成1, 这样整个函数就变得简单了, 在进行计算时, 就会变得简单。+∞ (x-σ) 2

比如:计算

解:设连续型随机变量X～N (u, a) , -∞<u0, 其概率密度为:</u

此时, 利用概率密度归一性可得:

(三) 利用概率论解决随机变量数学期望和方差关系

由于高等数学这一学科本来就是一门难度比较大的学科, 在其众多的内容中, 随机变量的数学期望和方差的关系难度比较大, 尤其是对其进行计算, 其难度更大。在结题时, 如果可以确定随机变量X的分布情况, 那么对于X的特征也就清晰可见。但是在进行实际解题时, 随机变量的分布情况并不是很容易确定, 所以在实际解题时, 只要将数字具有的特征进行确定即可。所以, 在面对随机变量不容易计算的问题时, 首先要确定一些数字的特征, 也就是确定其数学期望和方差。

但是在实际问题中, 有时候数学期望和方差在进行计算时, 会存在较大的难度。在计算时可以引入概率论的思想, 将函数式进行变形, 转变成随机变量数学期望, 这样就可以将问题变得简单, 进而将问题进行解决。还有时候可以通过广义积分来解题, 但是这种解题方式在实际运算中比较复杂, 需要用两次积分, 并且还要进行极限运算, 要保证每一个步骤都准确, 才能够得到准确地答案, 为了保证准确率, 需要进行多次的检查, 这会浪费大量的时间。

例:轮盘游戏在我们的生活中比较常见, 整个大轮盘上有37个格子, 这些格子的间距相同, 并且对这些格子进行编号, 分别为0、1、2……36, 这些格子中所有的偶数涂成黄色, 奇数涂成绿色, 人们通过确定颜色来获得输赢。比如, 一个人买黄, 他将大轮盘进行转动, 在其转动一段时间之后, 自然停止, 如果标签指在黄色格子上, 那么他本次获得胜利, 然后可以获胜, 如果停在了绿色格子上, 那么这个人就输了, 如果停在0上, 那么这个人还有一次转动轮盘的机会, 规则和上面相同。如果参与这个游戏的人, 其将10元作为赌注, 请问其输赢额的数学期望是多少?首先, 将标签指向黄色的概率, 即18/37, 这时候其可以获得20元钱。

其次, 算出标签指向绿色的概率, 即18/37, 这时候其可以获得-10元。

这名玩家的输赢额的数学期望为:20×18/37-10×18/37+ (10×18/37—10×19/37) ×1/37=4.86元。

(四) 利用概率论解决二重积分计算问题

高等数学众多内容中, 还有一个比较难的重点内容, 那就是二重积分, 并且二重积分问题在高等数学中的应用也比较多, 不仅可以计算曲面面积还可以计算平面薄片对质点的引力等问题。但是很多学生在学习二重积分时, 对于它的计算都不是很容易理解和应用, 在解题时就更难以下手。针对不好解决的二重积分问题, 可以使用概率论的思想来进行解题。可以根据二重积分问题, 转变成一个概率模型, 然后在对正态分布的性质进行应用, 将问题进行转换, 使得原本很难计算的二重积分问题, 变成了求一个点或者是一个区域的概率的问题, 之后将形成的函数进行求解, 得到答案, 这种计算方式不仅节省时间, 还具有较高的准确性。

采用概率统计思想设计进行随机试验, 采用频率与概率的关系测定力的近似值, 这种方法十分有意思。将概率论思想与高等数学相融合, 这就说明教室在实际教学中, 如果可以将合理对学生展开训练, 可以有效提高学生数学学习的积极性, 提高学生数学计算效率和质量。

(五) 利用概率模型求解高等数学问题

概率模型是概率论中非常重要的一部分, 利用概率模型可以解决很多复杂、抽象的数学问题, 从而简化数学解题过程, 提高学生解题准确率。在概率论运用中, 教师应该引导学生学会运用概率模型解决高等数学问题。

例如, 计算∑nk=2Cknxkyn-k (x>0, y>0) 这一题目时, 需首先对其进行分析.即依据不均匀规则将一枚硬币共抛出n次, 每次硬币掉落在地面上时正面朝上的概率为P=xx+y, 在上抛n次整个过程中出现正面次数用字母T表示, 于是P={T=k}=CknPk (1-p) n-k (k=0, 1, 2, …, n) , 由分布规律理论可知:

最后便可顺利地得出该题目的计算结果:

三、结束语

在高等数学教育改革过程中, 教师要不断革新教学手段。不仅如此, 教师还应该通过挖掘教材内容, 科学训练学生数学思维, 提高学生综合数学能力提升。概率论在高等数学教学中的应用, 可以有效提高学生的数学解题能力, 借助教师的科学引导和帮助, 学生数学思维会更加完善。本文首先分析了概率论的基本内容, 并结合概率论对其在高等数学解题中的应用进行了分析, 旨在助力于高等数学教育水平不断提升。

摘要：作为数学一个分支, 概率论在数学解题中应用, 可以有效指导学生思维, 帮助学生更好、更准确地解决数学问题。高等数学教学过程中教师应该教会学生运用概率论方法, 帮助学生掌握更多解题技巧, 提高学生解题能力。本文就以概率论为内容, 对其在高等数学解题中的应用进行几点研究。

关键词：概率论方法,高等数学,随机变量,概率模型

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