空间向量法求空间的角

第一篇：空间向量法求空间的角

空间向量求空间角

教学知能目标：1.理解空间向量求解空间角的一般方法;

2.能用空间向量解决空间角问题。

教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。 教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。 教学难点：线面角，面面角的化归。

一、复习引入：

1 .在三棱锥PABC中，PAAB,ABAC,ACPA,

则面ABC的法向量是什么?面PBC PAPBPC2，的法向量又怎么求?

2 .空间向量的数量积运算公式是什么?

二、新课探究：

四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，AB1,AA14,E,F,G分

A1D1C1PACBZ别是CC1,AC,BB1的中点。

问题1：求异面直线B1F,D1E所成角的余弦值.

探究：如何用空间向量求异面直线所成的角?

AB1EGDFBCY设l1与l2是两异面直线，a,b分别为l

1、l2的方向向量，它们所成角为， l

1、l2所成的角为，则θ与相等或

Xab互补，则coscos

ab

αab

问题2：求直线AC与平面AGF所成角的余弦值; 1

探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角?

如图，设l为平面的斜线，lA，a,为l的方

Ban向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与

平面所成的角为，则sincosanan

问题3：求二面角AAG1F的平面角的余弦值。

探究：如何用空间向量求二面角?

平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1,n2 = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则coscosn1nn

21n2

φαACαn1An2φβlOB

三、巩固提高：

已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为(1)当时SA2a时，求异面直线a的正方形，

(2)当SA2a时AB和SC所成角的余弦值;求直线BD和平面SCD所成角的余弦值;(3)

ZSSA的值为多少时，二面角BSCD的大AB小为120? 当

四、小结：

ADYBXCab1.求异面直线所成的角时，一定要注意(0,90]，从而有coscos

ab2.求直线与平面所成的角时，一定要注意它和a,n之间的关系，从而有ansincos

an3.求二面角时一定要注意它和m,n之间的关系，从而有

mncoscos

，同时还要观察图形确定二面角的范围。

mn

五、作业：选修2-1，习题3.2A组1,2,4,6

第二篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

第三篇：向量空间总结

一、知识结构图

二、结构说明

⑴本章主要包括向量代数和空间解析几何的基本内容.向量代数是研究空间解析几何的基础，解析几何中，直线、平面方程的建立都是由向量的共线或垂直关系得到的. ⑵理解和灵活运用向量的各种运算，是学好本章的基础.⑶空间直角坐标系的引入是联系本章两部分的纽带，有了坐标系，向量的表示和运算均化为向量坐标之间的代数运算，使向量的运算广泛应用于解决几何问题. ⑷直线和平面方程是本章的重点.

三、知识拓展

向量代数在初等几何中的应用

研究几何的代数方法除了常用的坐标方法外还有向量方法，有些几何概念用向量表示比较简单，下面举例说明向量方法在解决初等几何问题中的应用.

1、三线共点问题

例1 证明三角形三条高线交于一点 证明：设

的两条高线

，

交于M点，连AM.则有由于因为

所以有所以有

即

即

所以有即

即

从而三角形ABC的三条高线交于一点M.

所以

2、垂直关系的证明

例2 空间四边形ABCD的对角线互相垂直的充分必要条件是对边的平方和相等. 证：在空间四边形ABCD中设则有a+b+c+d=0.必要性：设则

即

，则

，即有

两式相加得所以

充分性：设

由于所以

所以

用向量的方法还可以证明许多几何定理，例如：三角形的余弦定理;平行四边形成为菱形的充分必要条件是对角线互相垂直;三角形的三条角平分线交于一点等等.三点共线问题也可用向量方法来研究.

四、综合测试

1、填空题：

⑴设向量角为

时，m=________.当时，m=______，当时，m=______.当a与b夹

⑵设⑶点⑷与向量⑸过点

且与关于

，则

______.

面的对称点坐标为________;关于z轴对称点的坐标为_______.

同时垂直的向量是_________.

垂直的直线方程是_____________.

⑹过一点

___________.

且与直线

和直线都平行的平面方程为

⑺直线与平面

的交点为__________,夹角为________.

⑻曲线在

平面上的投影方程为_____________.

2、求通过直线且与

平行的平面方程.3、判断两直线与

和

的位置关系?

是否可确定一个平面，若能，求出平面方程.4、设平面

与L垂直的直线方程.，直线试求在平面内过L和的交点且

5、直线间的最短距离.

.求与，与之

五、综合测试答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

;;

.;;

.

⑸ ⑹

⑺;夹角

⑻

2、

3、

、

5、

第四篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中

2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;

3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;

4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可

只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法

2

解：

因为x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第五篇：空间向量

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同)

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1)，则四点P、A、

B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.首先该图形能建坐标系---如果能建 (三维垂直特征)----则先要会求面的法向量

求面的法向量的方法是

1。尽量在空中找到与面垂直的向量

2。如果找不到，那么就设n=(x,y,z) (待定系数法)

然后因为法向量垂直于面-----所以n垂直于面内两相交直线,可列出两个方程

两个方程，三个未知数, 然后根据计算方便

取z(或x或y)等于一个数 ,然后就求出面的一个法向量了 。

会求法向量后：

1。二面角的求法就是求出两个平面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos=|n·n1|/|n|

如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交，那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交，那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 在平面上任取(除被求点在该平面的射影外)一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1

点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则

线线平行 l∥m <=> a∥b <=> a=kb;

线面平行 l∥α <=> a⊥μ <=> a·μ=0;

面面平行 α∥β <=> μ∥ν <=> μ=kν

线线垂直 l⊥m <=> a⊥b <=>a·b=0;

线面垂直 l⊥α <=> a∥μ <=> a=kμ;

面面垂直 α⊥β <=> μ⊥ν <=> μ·ν=0