高中数学几何证明选讲(集锦)-范文网

高中数学几何证明选讲

第一篇：高中数学几何证明选讲

高中数学几何证明选讲

几何证明选讲

1、(佛山市2014届高三教学质量检测

(一))如图，从圆O 外一点A引圆的切线AD和割线ABC，

已知AD3，AC3，圆O的半径为5，则圆心O 到AC的距离为. 答案：

22、(广州市2014届高三1月调研测试)如图4，AC为⊙O的直径，

OBAC，弦BN交AC于点M

.若OCOM1，

则MN的长为

答案：1ks5u

3、(增城市2014届高三上学期调研)如图2，在△ABC中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则答案：

4、(省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末) 如图，过点C作ABC的外接圆O的切线交BA的延长线于点D.若

83DB

图

2CD， ABAC2，

则BC.

答案：

5、(惠州市2014届高三第三次调研考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F, E是AB延长线上一点,

且DFCF，AF:FB:BE4:2:1,

若CE与圆相切,则线段CE的长为

答案：

6、(珠海市2014届高三上学期期末)如右图，AB是圆O的直径，D

F E 72 C

BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB3，

OC5，则CD答案：

47、(揭阳市2014届高三学业水平考试)如图(3)，已知AB是圆O

的直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，CD=4，AB=3BC，

则圆O的半径长是.

答案：

3AOB

8、(汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测)已知PA是圆O的

切线，切点为A，PA2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，

PB1，则圆O的半径R答案：

9、(肇庆市2014届高三上学期期末质量评估)如图3，在ABC中，

ACB90o，CEAB于点E,以AE为直径的圆与AC交于点D，若BE2AE4，CD3，则AC______

答案：8

310、(东莞市2014届高三上学期期末调研测试)如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠OAC=60°，AC=1，则AD的长为____

答案：

11、(汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试)已知AB为半

圆O的直径， AB4，C为半圆上一点，过点C作半圆的

切线CD，过点A作ADCD于D，交半圆O于点E，

DE1，则BC的长为

答案：2

第二篇：高中数学《几何证明选讲》测试题新人教A版选修4-1

人教(A)版选修4-1《几何证明选讲》综合复习

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作

圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()

A.15B.30C.45D.60

【解析】由弦切角定理得DCAB60,又ADl,故DAC30,

FGHG11，∴FGCG.∴CF3FG. CGDG22

在Rt△FBC中，∵CF3FG，BFFG，由勾股定理，得CF2BF2BC2.

.∴FG3. ∴(3FG)2FG22.解得FG3(负值舍去)

[或取CG的中点H，连结DH，则CG2HG.易证△AFC≌△DHC，∴FGHG，

CDCG2FG2CF3FG.D∥FB∴.故CG2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，

CBCF3FG3

2

，解得BDRt△CFB中，由勾股定理，得

3解得BD

∴BDFH∵.] (3FG)2FG22，∴FG3(舍去负值)

22.(本小题满分14分)

ACBC如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分.ABAC

割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果12,那么称直线l为该图形的黄金分割线. SS1

(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?

(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?

(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.

(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.

第22题图【解析】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h.

111SADS△BDCBDS△ADCADh,S△BDCBDh,S△ABCABh,所以△ADC， 222S△ABCABS△ADCAD

ADBDSS又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有.因此△ADC△BDC. ABADS△ABCS△ADC

所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.

1ss(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时s1s2s,即12，所2ss1

以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.

(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DECS△FCE 设直线EF与CD交于点G.所以S△DGES△FGC.所以S△ADCS四边形AFGDS△FGC

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S四边形AFGDS△DGES△AEF，S△BDCS四边形BEFC. S△ADCS△BDCS△AEFS四边形BEFC又因为，所以S△ABCS△ADCS△ABCS△AEF因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线. (第22题答图1)

(第22题答图2) (4)画法不惟一，现提供两种画法;

画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是ABCD的黄金分割线.

画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线.

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第三篇：高三数学~几何证明选讲

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高三数学~~几何证明选讲

1、外接圆的切线证明

 [ 高三数学] 题型:探究题

问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路

考查知识点：

 圆的切线的判定定理及性质定理

难度:难

解析过程：

规律方法：

熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键。

2，急!关于一道几何题!

 [ 高三数学]题型:解答题

在三角行ABC中，角C=30度，O为外心，I为内心，边AC上的点D与边BC上的点E，使AD=BE=AB，求证：OI=DE且OI垂直

问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路

德智知识点 http://wwwdezhi.com/knowledge德智QQ学习分享群：26192056

2德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue

考查知识点：

难度:难直角三角形射影定理

解析过程：

解：

已知三角形ABC中，O、I为其外心和内心，角C=30度，D、E分别为AC和BC上两点，且AD=AB=BE，求证：OI=DE，且OI垂直于DE。

证明：辅助线如图所示：

∵O为外心

∴∠AOB=2∠C=60°

∴△AOB为等边三角形

∵I为内心

∴∠IAB=∠IAE

又∵AB=AE

利用SAS

可知：△IAB≌△IAE

同理可证：△IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠AIB

=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/

2=180°-(180°-30°)/2=105°

∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD

=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF) =(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2

=60°+∠BAO/2=60°+30°

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue =90°

∴EO⊥DI

同理可知：DO⊥EI

∴O为△EID的垂心

∴IO⊥ED

∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°

∴∠OID=∠DEO

又∵∠EID=45°

∴△EFI为等腰直角三角形

∴EF=IF

根据ASA知：△OIF≌△DEF

∴OI=ED

综上所述：OI⊥ED且OI=ED

规律方法：

此题太难，高考的要求不会这样难啊。知识点：几何证明选讲

概述

所属知识点：

[几何证明选讲]

包含次级知识点：

平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理

知识点总结

本节主要包括平行切割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理等知识点。

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3、相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：

相似的简单方法：

(1)两角对应相等，两三角形相似;

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;

(3)三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似;

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;

(2)相似三角形周长的比等于相似比;

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5、圆周角定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

6、圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。

7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质

8、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段

9、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

10、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

12、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

常见考法

本节在段考和高考中，是以填空题的形式出现，属于选做题。一般属于容易题。

误区提醒

在利用相似三角形解答时，注意通过对应边找对应角，通过对应角找对应边，不要找错了。

【典型例题】

例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点

E.例2 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2.

(1)求AC的长;

德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue (2)求证：EF=

BE.

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第四篇：2012高考数学几何证明选讲

几何证明选讲

模块点晴

一、知识精要

值叫做相似比(或相似系数)。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑

6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

(1)两角对应相等，两三角形相似;

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;

(3)三边对应成比例，两三角形相似。

形与三角形相似。

对于任意两个三角形，

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

对于任意两个三角形，

如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

条直线平行于三角形的第三边。

1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似;

(

2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;

(2)相似三角形周长的比等于相似比;

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

的比例中项。

两条切线的夹角。

二、方法秘笈

⒈几何证明选讲内容的考点虽多，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主。

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难。

⒊紧扣课本中的例习题进行学习，重视各个定理的来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法;

试题解析

一、选择题

例1.(2012北京、理科)如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于

点E.则()

A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²

【解析】A。在ACB中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以CD理的CD

二、填空题

例1.(2012全国、文科)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

F,AF3,FB1,EF

ADDB,由切割线定

CECB,所以CE·CB=AD·DB。

32,则线段CD的长为

【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A

A1，又∠B=∠B，CBF∽ABC，CBBFCBCF,,代入数值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行线等分线段定理得解得CD=

ACCD



AFFB

.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于

_______.PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

PAPBPCPD,即1(12)(3-r)(3r),r

例3.(2012天津、理科)如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，

EF=

32，则线段CD的长为

【解析】∵AF=3，FB=1，EF=

432

ABAF

，由相交弦定理得AFFB=EFFC，所以FC=2，

FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

FCBD

，BD=

2=

，设CD=x，则AD=4x，再由切

割线定理得BD=CDAD，即x4x=(

练习题

1.(2012湖北、理科)

)，解得x=，故CD=

43.如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

答案：

22.(2012陕西、文理科)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB5。

三、解答题

例1(2012年全国新课标卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的

外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

(Ⅰ)CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】(1)CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBFCF//ABAFBCBCCD

(2)BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

O相交例2.(2012辽宁、文理科)如图，⊙O和⊙

于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，

两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明

(Ⅰ)ACBDADAB;(Ⅱ) ACAE。

例3.(2012江苏、理科)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结

BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE.

求证：EC.

【解析】

21-A题)

第五篇：高三数学拟试题《几何证明选讲》

广东省各地2014届高三11月模拟数学理试题分类汇编

几何证明选讲

1、(广东省百所高中2014届高三11月联考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC

1，则AC=___

答案：

22、(广东省宝安中学等七校2014届高三第二次联考)如图4,在ABC中,DE//BC,EF//CD,

若BC3,DE2,DF1,则AB的长为________.

答案：9

2延长AE交BC_____.

3、(广州市培正中学2014届高三11月月考)(几何证明选做题)

的中点，点E在线段BD上，A

4、2014届高三上学期调研)(几何证明选讲选做

题)如图2，在△ABC中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，

则BF=.答案：

8 3DBFEC图2- 1 -

5、(海珠区2014届高三上学期综合测试

(二))(几何证明选讲选做题)如图4，平行四边形

ABCD中，AE:EB1:2, AEF的面积为1cm2, 则平行四边形ABCD的面积为cm2.答案：2

46、(惠州市2014届高三上学期第二次调研)(几何证明选讲选做

题)如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切

线，P是切点，

D30。，AB4，BD2，PA=.

答案：2

37、(揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考)如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC4，PB8，则CD_______.答案：4.8

8、(汕头市潮师高级中学

2014届高三上学期期中)(几何证明选讲选做题)如图，从圆O外

一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知ADAC6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为.

答案：

59、(汕头四中2014届高三第二次月考)(几何证明选讲选做题)如图,AD为圆O直径,BC

切圆O于点E,ABBC,DC

BC , AB4,DC1,则AD等于.- 2 -

答案：

510、(佛山市石门中学2014届高三第二次检测)(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB，CD是半径为2的圆O的两条弦，它们相交于P，且P是AB的中点，PD=4，∠OAP=30°，则CP=

____.

答案：9

3 - 3 -