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空间向量与空间角学案(通用)

空间向量与空间角学案第一篇:空间向量与空间角学案3.1.2空间向量基本定理学案范文3.1.2空间向量的基本定理一.自学达标: 1.共线向量定理:2.共面向量定理:3.空间向量分解定理:,b,4.ac可作空间的基底的充要条件是:5.已知。

空间向量与空间角学案

第一篇:空间向量与空间角学案

3.1.2空间向量基本定理学案范文

3.1.2空间向量的基本定理

一.自学达标: 1.共线向量定理:

2.共面向量定理:

3.空间向量分解定理:

,b,

4.ac可作空间的基底的充要条件是:

5.已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA

1B1C1D1,AB1c,

试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB

1二.例题精选:

例1.已知三棱柱ABC-A1B1C1,设

ABa,ACb,AA

1c,M,N分别为AC1 ,BC中点,

证明:(1)MN,a,

c共面

(2〕证明:MN

A1B

例2:空间四边形中,OAa,OBb,OC

c,M,N分别

为OA,BC中点,G在MN上,NG2GM,用基底

{a,b,c}表示MN,OG

三.达标练习:

1.下列命题正确的是()



A.若a与b共线,b与c共线,则a与ca共线



B.向量、b、c共面即它们所在的直线共面

C.零向量没有确定的方向b

D.若a,则存在唯一的实数,使ab

2.设空间四点O、A、B、P,满足OPmOAnOB

,其中

mn1,则()

A. P在直线AB上B. P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对

3. ①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知

ab,则a,b

与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN

不能构成空



间的一个基底,则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空



c间的一个基底,若ma,则{a,b,c,m}

也是空间的一个基底。其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4

{a,b,

4.若c}是一组基底,则xyz0是

xaybzc

的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在

B和D11

1B1D上,且BE3B1B,DF3

D1D。

(1)证明A,E,C1,F四点共面;

(2)若EFxAByADz

AA1,求xyz

自助餐:对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C,

且有OPxOAyOBzOC

(x,y,zR),xyz1,证明A,B,C,P四点共面

第二篇:空间向量与立体几何

(时间:120分钟,满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)

1.向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若a与b共线,则() A.x=1,y=1B.x=1

12y=-2C.x=1y

36

2D.x=-1y=2

632.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值是() A.6B.5C.4D.3

3.设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m的值为()

A.3B.2C.1D.12

4.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

→→→→→5.在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=()

A.2+1522133B.3-3C.3-3D.123b+3c

6.已知a,b,c是空间的一个基底,设p=a+b,q=a-b,则下列向量中可以与p,q一起构成空间的另一个基底的是()

A.aB.bC.cD.以上都不对

7.已知△ABC的三个顶点A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为()

A.2B.3C.646

57D.7

8.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是() A.(236)B.(-23677777,-7C.(2,-36236777)和(7,77) D.(236236777)和(77,-79.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6且a⊥b,则x+y为()

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

10.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是()

A.x>

4B.x<-4C.0

A.30°

B.45°C.60°

D.90°

12.已知二面角α-l-β的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为()

A.2B.3C.4D.5

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中横线上)

13.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a+b与向量a-2b的坐标分别是________;________.→→

14.在△ABC中,已知AB=(2,4,0),BC=(-1,3,0),则∠ABC=________.

15.正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________.

16.在下列命题中:①若a,b共线,则a,b所在的直线平行;②若a,b所在的直线是异面直线,则a,b一定不共面;③若a,b,c三

向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;④已知三向量a,b,c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc,其中不正确的命题为________.

三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

)

17.(10分)如图,空间四边形OABC中,E,F分别为OA,BC的→→→→

中点,设OA=a,OB=b,OC=c,试用a,b,c表示EF.

18.(12分)设a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数a,b,c使a4=aa1+ba2+ca3成立?如果存在,求出a,b,c的值;如果不存在,请说明理由.

20.(12分)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,PC与平面ABCD所成角是45°,F是AD的中点,M是PC的中点.

求证:DM∥平面PFB

.

19.(12分)四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3,AA′=7,∠BAD=60°,∠BAA′=∠DAA′=45°,求AC′的长.

21.(12分)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在C1C上,且C1E=3EC.

(1)证明A1C⊥平面BED;

(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.

22.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.

(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;

(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.

第三篇:向量代数与空间解析几何(大全)

1.向量代数与空间解析几何

向量代数:向量的线性运算,向量的坐标,向量的数量积,向量积,两向量平行与垂直的条件。 平面与直线:会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线:了解曲面的概念,如坐标轴为旋转轴的旋转曲面,母线平行于坐标轴的柱面方程;了解空间曲线的参数方程和一般方程,会求空间曲线在坐标面上的投影。

2.多元函数微分学

多元函数:会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分:偏导数的计算,复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导;会求全微分; 偏导数的应用:方向导数和梯度;空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线;最大值、最小值问题,条件极值,拉格朗日乘数法。

3.多元函数积分学

二重积分:化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序;二重积分的计算(直角坐标、极坐标);利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分:三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);

曲线积分:两类曲线积分的计算方法;格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分:两类曲面积分的计算方法;高斯公式。

4.无穷级数

常数项级数:级数收敛的判定,几何级数和P—级数的敛散性;正项级数的比较、比值及根值审敛法,交错级数的莱布尼兹定理,绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数:较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法,幂级数求和函数;函数展开成幂级数。 傅里叶级数:函数展开为傅里叶级数,函数与和函数的关系,函数展开为正弦或余弦级数。

5.常微分方程

可分离变量微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式:

1、向量的数量积、向量积计算公式;

2、全微分公式;

3、方向导数公式;

4、拉格朗日乘数法;

5、格林公式、高斯公式;

6、函数的麦克劳林展开公式。

7、一阶线性方程的通解公式;

第四篇:用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,下列结论成立的是( C )

A.若a∥n,则a∥αB.若a·n=0,则a⊥α

C.若a∥n,则a⊥αD.若a·n=0,则a∥α

解析:由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D,直线a⊂平面α也满足a·n=0.

2.已知α,β是两个不重合的平面,其法向量分别为n1,n2,给出下列结论:

①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β;

③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β.

其中正确的是( A )

A.①③B.①④

C.②③D.②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3,-2,1),B(4,-5,3),则与向量AB

标是( C )

1A.(3,1,1)B. (-1,-3,2)

13C.(-2,2,-1)D.(2,-3,- 2)

→=(1,-3,2)=-2(-131), 解析:AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(-2,2,-1),故选C.

4.设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m等于 2 .

5.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k= 4 .

解析:因为α∥β,所以(-2,-4,k)=λ(1,2,- 2),

所以-2=λ,k=-2λ,所以k=4.

→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z).若AB→⊥BC→,BP→=(x-1,y,-3), 6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC,则实数x= 7,y= -7,z= 4 .

→·→=x-1+5y+6=0解析:由已知BPAB

→·→=3x-1+y-3z=0BPBC

4015解得x=7,y=-7z=4. →·→=3+5-2z=0ABBC ,

7.(原创)若a=(2,1,-3),b=(-1,5,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 58 .

解析:因为a·b=(2,1,-3)·(-1,5,3)=0,

所以a⊥b,又|a|=22,|b|29,

所以以a,b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|=22×29=258.

8.如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE

.

证明:如图,连接OP,因为PA=PC,AB=BC,所以PO⊥AC,BO⊥AC,

又平面PAC⊥平面ABC,所以可以以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.

则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4, 0,3).由题意,得G(0,4,0).

→=(8,0,0),OE→=(0,-4,3), 因为OB

设平面BOE的一个法向量为n=(x,y,z),

→n·OB=0x=0则,即, →=0-4y+3z=0OEn·

取y=3,则z=4,所以n=(0,3,4).

→=(-4,4,-3),得n·→=0. 由FGFG

又直线FG不在平面BOE内,所以FG∥平面BOE

.

9.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA

=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.

(1)求证:PB∥平面EFH;

(2)求证:PD⊥平面AHF

.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).

→=(2,0,-2),EH→=(1,0,-1), (1)因为PB

→=2EH→, 所以PB

因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,

所以PB∥平面EFH.

→=(0,2,-2),AH→=(1,0,0),AF→=(0,1,1), (2)因为PD

→·→=0×0+2×1+(-2)×1=0, 所以PDAF

→·→=0×1+2×0+(-2)×0=0, PDAH

所以PD⊥AF,PD⊥AH,

又因为AF∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.

第五篇:空间向量乘积

课时提升作业(二十一)

空间向量的数乘运算

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是( ) A.有相同起点的向量

B.等长向量 C.共面向量

D.不共面向量

【解析】选C.由题意知,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是共面向量. 2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( ) A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行 B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面

D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb

【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立. 【变式训练】错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线是直线AB∥CD的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线,则错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线. 3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( ) A.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 D.以上都不对

【解析】选B.因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以3错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,所以P,A,B,C共面. 【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。,则( ) A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面

【解析】选B.由6错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。, 得(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=2(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+3(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 即错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。. 由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面. 4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则

( ) A.a∥e

1B.a∥e2

C.a与e1,e2共面

D.以上三种情况均有可能 【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=te1, 所以te1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2, 则e1与e2共线,不符合题意. 同理,a与e2也不平行. 由向量共面的充要条件知C正确. 5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,则错误!未找到引用源。等于( ) A.2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

D.-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

【解析】选A.由已知得2(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=0, 所以错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,则下列向量中与错误!未找到引用源。相等的向量是( )

A.-错误!未找到引用源。a+错误!未找到B.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引C.错误!未找到引用源。a-错误!未找到引D.-错误!未找到引用源。a-错误!未找到

引用源。b+c 用源。b+c 用源。b+c 引用源。b+c

【解析】选A.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

=-错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+c.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线

(填是或否). 【解析】设a=λb, 即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2, 所以错误!未找到引用源。⇒错误!未找到引用源。 所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线. 答案:否

8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。表示向量错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。=

.

【解析】错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,若错误!未找到引用源。=xa+yb+zc,则x+y+z=

.

【解析】在△OBD中,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =a-b+c, 故x+y+z=1. 答案:1

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 设错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,试用a,b,c表示错误!未找到引用源。. 【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将错误!未找到引用源。表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示错误!未找到引用源。. 【解析】如图所示,连接AN,

则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)-错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =c+错误!未找到引用源。(b-c)-错误!未找到引用源。(a+b) =-错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c. 【拓展延伸】数形结合法表示向量

用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将错误!未找到引用源。表示为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. 11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. (1)判断错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。三个向量是否共面. (2)判断点M是否在平面ABC内. 【解析】(1)由已知,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面. (2)由(1)知向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面, 所以点M在平面ABC内. 【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面. 【证明】如图, 在封闭图形ABNM中, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。找到引用源。+错误!未找到引用源。, ① 在封闭图形CDNM中, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, ②

+错误!未又因为M,N分别为线段AC,BD的中点, 所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0, ①+②得2错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面.

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量错误!未找到引用源。的为( )

A.错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。-3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。-3错误!未找到引用源。

【解析】选C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。.由图知x=3,y=-2,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。. 2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。+z错误!未找到引用源。(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是

( ) A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0正确; ②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误; ③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量; ④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。+z错误!未找到引用源。(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面. 【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( ) A.错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0

C.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0 D.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。

【解析】选C.因为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0, 所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 所以M与A,B,C必共面. 3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。等于( ) A.错误!未找到引用源。

B.3错误!未找到引用源。

C.3错误!未找到引用源。

D.2错误!未找到引用源。

【解析】选B.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。. 4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,则x的值为( ) A.1

B.0

C.3

D.错误!未找到引用源。 【解析】选D.因为错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,且M,A,B,C四点共面,所以x+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,x=错误!未找到引用源。.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的

条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个). 【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj. 答案:充要 6.有下列命题: ①若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则A,B,C,D四点共线; ②若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则A,B,C三点共线; ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-错误!未找到引用源。e2,b=-e1+错误!未找到引用源。e2,则a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是

(把所有真命题的序号都填上). 【解析】根据共线向量的定义,若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-错误!未找到引用源。e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确. 答案:②③④

三、解答题(每小题12分,共24分)

7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面. 【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2. 因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线, 所以错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。=2λ错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=μ错误!未找到引用源。=2μ错误!未找到引用源。. 于是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。(2λ错误!未找到引用源。+2μ错误!未找到引用源。)=λ错误!未找到引用源。+μ错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面.故M,N,P,Q四点共面. 8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。(0≤k≤1). 求证:(1)错误!未找到引用源。与向量a和c共面. (2)MN∥面A′AB. 【证明】(1)显然错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。=kb+kc, 且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=a+k错误!未找到引用源。 =a+k(-a+b)=(1-k)a+kb, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc. 因此,错误!未找到引用源。与向量a和c共面. (2)由(1)知错误!未找到引用源。与向量a,c共面, a,c在面A′AB内,而错误!未找到引用源。不在面A′AB内, 所以MN∥面A′AB.

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