空间向量与空间角学案
第一篇：空间向量与空间角学案
3.1.2空间向量基本定理学案范文
3.1.2空间向量的基本定理
一.自学达标： 1.共线向量定理：
2.共面向量定理：
3.空间向量分解定理:
,b,
4.ac可作空间的基底的充要条件是：
5.已知平行六面ABCD-Aa,ADb,AA
1B1C1D1,AB1c，
试用基底{a,b,c}表示如下向量AC1,BD1,CA1,DB
1二.例题精选：
例1.已知三棱柱ABC-A1B1C1，设
ABa,ACb,AA
1c，M,N分别为AC1 ,BC中点，
证明：(1)MN，a,
c共面
(2〕证明：MN
A1B
例2：空间四边形中，OAa,OBb,OC
c，M,N分别
为OA,BC中点，G在MN上，NG2GM，用基底
{a,b,c}表示MN，OG
三.达标练习：
1.下列命题正确的是()
A.若a与b共线，b与c共线，则a与ca共线
B.向量、b、c共面即它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向b
D.若a，则存在唯一的实数，使ab
2.设空间四点O、A、B、P，满足OPmOAnOB
，其中
mn1，则()
A. P在直线AB上B. P不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上D.以上都不对
3. ①任意给出三个不共面的向量都可以作为一个基底②已知
ab，则a，b
与任何向量都不能构成空间一个基底③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN
不能构成空
间的一个基底，则A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空
c间的一个基底，若ma，则{a,b,c,m}
也是空间的一个基底。其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4
{a,b,
4.若c}是一组基底，则xyz0是
xaybzc
的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在
B和D11
1B1D上，且BE3B1B，DF3
D1D。
(1)证明A,E,C1,F四点共面;
(2)若EFxAByADz
AA1，求xyz
自助餐：对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有OPxOAyOBzOC
(x,y,zR)，xyz1，证明A,B,C,P四点共面
第二篇：空间向量与立体几何
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1.向量a=(2x,1,3)，b=(1，-2y,9)，若a与b共线，则() A.x=1，y=1B.x=1
12y=-2C.x=1y
36
2D.x=-1y=2
632.已知a=(-3,2,5)，b=(1，x，-1)，且a·b=2，则x的值是() A.6B.5C.4D.3
3.设l1的方向向量为a=(1,2，-2)，l2的方向向量为b=(-2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为()
A.3B.2C.1D.12
4.若a，b均为非零向量，则a·b=|a||b|是a与b共线的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
→→→→→5.在△ABC中，AB=c，AC=b.若点D满足BD=2DC，则AD=()
A.2+1522133B.3-3C.3-3D.123b+3c
6.已知a，b，c是空间的一个基底，设p=a+b，q=a-b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()
A.aB.bC.cD.以上都不对
7.已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，-3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()
A.2B.3C.646
57D.7
8.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是() A.(236)B.(-23677777，-7C.(2，-36236777)和(7，77) D.(236236777)和(77，-79.已知向量a=(2,4，x)，b=(2，y,2)，若|a|=6且a⊥b，则x+y为()
A.-3或1B.3或-1C.-3D.1
10.已知a=(x,2,0)，b=(3,2-x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()
A.x>
4B.x<-4C.0
A.30°
B.45°C.60°
D.90°
12.已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为()
A.2B.3C.4D.5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上)
13.已知{i，j，k}为单位正交基底，且a=-i+j+3k，b=2i-3j-2k，则向量a+b与向量a-2b的坐标分别是________;________.→→
14.在△ABC中，已知AB=(2,4,0)，BC=(-1,3,0)，则∠ABC=________.
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________.
16.在下列命题中：①若a，b共线，则a，b所在的直线平行;②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面;③若a，b，c三
向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面;④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc，其中不正确的命题为________.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
)
17.(10分)如图，空间四边形OABC中，E，F分别为OA，BC的→→→→
中点，设OA=a，OB=b，OC=c，试用a，b，c表示EF.
18.(12分)设a1=2i-j+k，a2=i+3j-2k，a3=-2i+j-3k，a4=3i+2j+5k，试问是否存在实数a，b，c使a4=aa1+ba2+ca3成立?如果存在，求出a，b，c的值;如果不存在，请说明理由.
20.(12分)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点.
求证：DM∥平面PFB
.
19.(12分)四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=5，AD=3，AA′=7，∠BAD=60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，求AC′的长.
21.(12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在C1C上，且C1E=3EC.
(1)证明A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1-DE-B的余弦值.
22.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.
(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
第三篇：向量代数与空间解析几何（大全）
1.向量代数与空间解析几何
向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。 平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。
曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程;了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。
2.多元函数微分学
多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。
偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导;会求全微分; 偏导数的应用：方向导数和梯度;空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线;最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。
3.多元函数积分学
二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序;二重积分的计算(直角坐标、极坐标);利用二重积分求曲面面积、立体体积。
三重积分：三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);
曲线积分：两类曲线积分的计算方法;格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。
曲面积分：两类曲面积分的计算方法;高斯公式。
4.无穷级数
常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性;正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。
幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数;函数展开成幂级数。 傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。
5.常微分方程
可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。
牢固掌握下列公式：
1、向量的数量积、向量积计算公式;
2、全微分公式;
3、方向导数公式;
4、拉格朗日乘数法;
5、格林公式、高斯公式;
6、函数的麦克劳林展开公式。
7、一阶线性方程的通解公式;
第四篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C )
A.若a∥n，则a∥αB.若a·n=0，则a⊥α
C.若a∥n，则a⊥αD.若a·n=0，则a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n=0.
2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：
①若n1∥n2，则α∥β;②若n1∥n2，则α⊥β;
③若n1·n2=0，则α⊥β;④若n1·n2=0，则α∥β.
其中正确的是( A )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，-2,1)，B(4，-5,3)，则与向量AB
标是( C )
1A.(3，1,1)B. (-1，-3,2)
13C.(-2，2，-1)D.(2，-3，- 2)
→=(1，-3,2)=-2(-131)， 解析：AB22
13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(-2，2，-1)，故选C.
4.设l1的方向向量为a=(1,2，-2)，l2的方向向量为b=(-2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2 .
5.设平面α的法向量为(1,2，-2)，平面β的法向量为(-2，-4，k)，若α∥β，则k= 4 .
解析：因为α∥β，所以(-2，-4，k)=λ(1,2，- 2)，
所以-2=λ，k=-2λ，所以k=4.
→=(1,5，-2)，BC→=(3,1，z).若AB→⊥BC→，BP→=(x-1，y，-3)， 6.已知AB
4015且BP⊥平面ABC，则实数x= 7，y= -7，z= 4 .
→·→=x-1+5y+6=0解析：由已知BPAB
→·→=3x-1+y-3z=0BPBC
4015解得x=7，y=-7z=4. →·→=3+5-2z=0ABBC ，
7.(原创)若a=(2,1，-3)，b=(-1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58 .
解析：因为a·b=(2,1，-3)·(-1,5，3)=0，
所以a⊥b，又|a|=22，|b|29，
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a|·|b|=22×29=258.
8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE
.
证明：如图，连接OP，因为PA=PC，AB=BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz
.
则O(0,0,0)，A(0，-8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，-4,3)，F(4, 0,3).由题意，得G(0,4,0).
→=(8,0,0)，OE→=(0，-4,3)， 因为OB
设平面BOE的一个法向量为n=(x，y，z)，
→n·OB=0x=0则，即， →=0-4y+3z=0OEn·
取y=3，则z=4，所以n=(0,3,4).
→=(-4,4，-3)，得n·→=0. 由FGFG
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE
.
9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA
=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.
(1)求证：PB∥平面EFH;
(2)求证：PD⊥平面AHF
.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0).
→=(2,0，-2)，EH→=(1,0，-1)， (1)因为PB
→=2EH→， 所以PB
因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
所以PB∥平面EFH.
→=(0,2，-2)，AH→=(1,0,0)，AF→=(0,1,1)， (2)因为PD
→·→=0×0+2×1+(-2)×1=0， 所以PDAF
→·→=0×1+2×0+(-2)×0=0， PDAH
所以PD⊥AF，PD⊥AH，
又因为AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF.
第五篇：空间向量乘积
课时提升作业(二十一)
空间向量的数乘运算
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是( ) A.有相同起点的向量
B.等长向量 C.共面向量
D.不共面向量
【解析】选C.由题意知,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是共面向量. 2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( ) A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行 B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面
D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb
【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立. 【变式训练】错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线是直线AB∥CD的( ) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线,则错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。共线. 3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( ) A.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 D.以上都不对
【解析】选B.因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以3错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,所以P,A,B,C共面. 【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。,则( ) A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面 D.五点O,P,A,B,C必共面
【解析】选B.由6错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。, 得(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=2(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+3(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 即错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。. 由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面. 4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则
( ) A.a∥e
1B.a∥e2
C.a与e1,e2共面
D.以上三种情况均有可能 【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=te1, 所以te1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2, 则e1与e2共线,不符合题意. 同理,a与e2也不平行. 由向量共面的充要条件知C正确. 5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,则错误!未找到引用源。等于( ) A.2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
【解析】选A.由已知得2(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=0, 所以错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,则下列向量中与错误!未找到引用源。相等的向量是( )
A.-错误!未找到引用源。a+错误!未找到B.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引C.错误!未找到引用源。a-错误!未找到引D.-错误!未找到引用源。a-错误!未找到
引用源。b+c 用源。b+c 用源。b+c 引用源。b+c
【解析】选A.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+c.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线
(填是或否). 【解析】设a=λb, 即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2, 所以错误!未找到引用源。⇒错误!未找到引用源。 所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线. 答案:否
8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。表示向量错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。=
.
【解析】错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,若错误!未找到引用源。=xa+yb+zc,则x+y+z=
.
【解析】在△OBD中,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =a-b+c, 故x+y+z=1. 答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 设错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c,试用a,b,c表示错误!未找到引用源。. 【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将错误!未找到引用源。表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示错误!未找到引用源。. 【解析】如图所示,连接AN,
则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)-错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =c+错误!未找到引用源。(b-c)-错误!未找到引用源。(a+b) =-错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c. 【拓展延伸】数形结合法表示向量
用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将错误!未找到引用源。表示为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. 11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. (1)判断错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。三个向量是否共面. (2)判断点M是否在平面ABC内. 【解析】(1)由已知,得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面. (2)由(1)知向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面, 所以点M在平面ABC内. 【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面. 【证明】如图, 在封闭图形ABNM中, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。找到引用源。+错误!未找到引用源。, ① 在封闭图形CDNM中, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, ②
+错误!未又因为M,N分别为线段AC,BD的中点, 所以错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0, ①+②得2错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。, 所以向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量错误!未找到引用源。的为( )
A.错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。-3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。-3错误!未找到引用源。
【解析】选C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。.由图知x=3,y=-2,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。. 2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。+z错误!未找到引用源。(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是
( ) A.1
B.2
C.3
D.4 【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0正确; ②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误; ③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量; ④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。+z错误!未找到引用源。(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面. 【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( ) A.错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0
C.错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0 D.错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
【解析】选C.因为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=0, 所以错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 所以M与A,B,C必共面. 3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。等于( ) A.错误!未找到引用源。
B.3错误!未找到引用源。
C.3错误!未找到引用源。
D.2错误!未找到引用源。
【解析】选B.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+2错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。. 4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,则x的值为( ) A.1
B.0
C.3
D.错误!未找到引用源。 【解析】选D.因为错误!未找到引用源。=x错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,且M,A,B,C四点共面,所以x+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,x=错误!未找到引用源。.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的
条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个). 【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj. 答案:充要 6.有下列命题: ①若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则A,B,C,D四点共线; ②若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则A,B,C三点共线; ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-错误!未找到引用源。e2,b=-e1+错误!未找到引用源。e2,则a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是
(把所有真命题的序号都填上). 【解析】根据共线向量的定义,若错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-错误!未找到引用源。e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确. 答案:②③④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面. 【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2. 因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线, 所以错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。=2λ错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=μ错误!未找到引用源。=2μ错误!未找到引用源。. 于是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。(2λ错误!未找到引用源。+2μ错误!未找到引用源。)=λ错误!未找到引用源。+μ错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。共面.故M,N,P,Q四点共面. 8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,错误!未找到引用源。=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。(0≤k≤1). 求证:(1)错误!未找到引用源。与向量a和c共面. (2)MN∥面A′AB. 【证明】(1)显然错误!未找到引用源。=k错误!未找到引用源。=kb+kc, 且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=a+k错误!未找到引用源。 =a+k(-a+b)=(1-k)a+kb, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc. 因此,错误!未找到引用源。与向量a和c共面. (2)由(1)知错误!未找到引用源。与向量a,c共面, a,c在面A′AB内,而错误!未找到引用源。不在面A′AB内, 所以MN∥面A′AB.