高中数学联赛内容简介

第一篇：高中数学联赛内容简介

高中数学联赛几何定理

梅涅劳斯定理

BFAECD1。 FAECBD

BFAECD1，逆定理：一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若FAECBD一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则

则D,E,F三点共线。

塞瓦定理

BDCEAF=1。 在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

托勒密定理

ABCD为任意一个圆内接四边形，则ABCDADBCACBD。

逆定理：若四边形ABCD满足ABCDADBCACBD，则A、B、C、D四点共圆

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：

(1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

(2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

(3)若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

(4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 斯特瓦尔特定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB·DC+AC·BD-AD·BC=BC·DC·BD。 22

2三角形旁心

1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定(1)对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算

(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-point circle)，

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

几何不等式

1托勒密不等式:任意凸四边形

ABCD四点共圆时取等号。 ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当

2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:设△ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c2≥4S 4欧拉不等式:设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。

圆幂

假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂;可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0;

根轴

1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。

相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线;

2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线;

3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线;

4，蒙日定理(根心定理)：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心;

第二篇：高中数学联赛中常见的几何定理

梅涅劳斯定理 ：

梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。证明：

过点A作AG‖BC交DF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理：

在△ABC内任取一点O，

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1证法简介

(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

(Ⅱ)也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)

/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点塞瓦定理推论(赵浩杰定理)：

设E是△ABD内任意一点，

AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，(塞瓦定理)则 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)

由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1(塞瓦定理推论)

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因为△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD (1)

而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因为BE+ED≥BD

(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、A

C、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD; 因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA; 两式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA; 但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。证毕。

三、

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC〃BD=AB〃CD+AD〃BC.

证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP.得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP.得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB〃CD+AD〃BC.即AC〃BD=AB〃CD+AD〃BC.

推论

1.任意凸四边形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

推广

托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

平面几何里的欧拉定理：

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr.

证明：

O、I分别为⊿ABC的外心与内心.

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点.连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径.

由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA〃ID.(作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明)

但DB=DI(可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得)，

故只需证2Rr=IA〃DB，即2R∶DB=IA∶r 即可.

而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得.故得R2-d2=2Rr，即证.

第三篇：2014年全国高中数学联赛(江西赛区)预赛南昌地区获奖名单

一等奖

姓名年级学校成绩

贺东高二南昌大学附属中学104

李韬高二江西师大附中滨江校区100

王立新高二江西省南昌县莲塘第一中学99万圣杰高二江西师大附中(青山湖校区)99李钰环高二新建二中94

左永强高二南昌市第二中学89

林政江高二南昌市第二中学88

吴凌鹏高二南昌大学附属中学88

彭世博南昌一中88

万绍伟高二江西省南昌县莲塘第一中学87林春晓高二江西师大附中滨江校区86石少宏高二江西师大附中滨江校区84王子腾高一南昌大学附属中学84

孔涛逸高二江西师大附中滨江校区84姜通昊高二江西师大附中(青山湖校区)83罗文尤高一江西师大附中(青山湖校区)82熊斌高二江西师大附中滨江校区82

张伟高二新建二中81

金文卓高二新建二中81

徐仕豪高二南昌外国语学校81

余扬昊高一江西师大附中滨江校区81余子恒高二江西师大附中(青山湖校区)80吴康高二进贤一中80

程盛淦高二南昌市第二中学78

程旖高二新建二中76

袁铭鸿高一南昌市第二中学76

彭文鼎高二江西师大附中滨江校区76刘云欢高二进贤一中75

易浩琨高一江西师大附中滨江校区75

二等奖

姓名年级学校成绩

钟立高一南昌十中74

魏超高二江西省南昌县莲塘第一中学74

刘仁鹏高二江西省南昌县莲塘第一中学73 邹万冰高二进贤一中73

谢晨昱高一江西师大附中滨江校区73

刘琎高一江西师大附中滨江校区72

肖霈高二江西师大附中(青山湖校区)72 姜波高二进贤一中71

罗杨高二南昌市进贤县第二中学71

刘磊高二江西省南昌县莲塘第一中学71

包志文高二江西师大附中(青山湖校区)71

陈港晴高二江西省南昌县莲塘第一中学70

黄龙高二江西省南昌县莲塘第一中学70

徐立飞高二南昌市第二中学70

衷天尧高二新建二中69

张杭高二江西省南昌县莲塘第一中学69

杨俊文高二江西师大附中滨江校区68

涂俊高二江西省南昌县莲塘第一中学68

魏君高二南昌市第二中学68

邓荣标高二新建二中67

徐良平高二江西省南昌县莲塘第一中学67

涂旭辉高二江西省南昌县莲塘第一中学67

余翰良高二江西师大附中(青山湖校区)66

陈进高二江西省南昌县莲塘第一中学66

俞晨露高二江西师大附中(青山湖校区)65

姜鹏昊高二进贤一中65

刘越高二进贤一中65

胡明智高二南昌市第二中学64

沈哲远高二南昌外国语学校64

余韵高二进贤一中64

喻泽鹏高二进贤一中64

辛琨高二江西师大附中(青山湖校区)63

黄子健高二江西省南昌县莲塘第一中学63

胡翔骋高一江西师大附中滨江校区62

章书远高二江西省南昌县莲塘第一中学62

刘海高二南昌外国语学校62

尹伊颜高二南昌十中62

张力高二新建二中62

李靖辉高二南昌市第二中学62

万畅高二江西省南昌县莲塘第一中学62

王若成高二南昌外国语学校62

戴煌冰高二南昌大学附属中学62

侯馨翔高一江西师大附中(青山湖校区)62

李昌龙高二江西师大附中(青山湖校区)62

黄子煊高二南昌市第二中学61

邓楠高二南昌大学附属中学61

柳雨铭高二南昌市第二中学61

龚喜荣高二新建二中61

张杨高二进贤一中61

罗子博高一江西师大附中(青山湖校区)61

刘文达高二江西师大附中滨江校区61

龙腾跃高二南昌市第二中学61

周雨萌高二江西师大附中(青山湖校区)60

肖铭高二南昌市第二中学60

郑昊昊高二进贤一中60

涂振兴高二江西省南昌县莲塘第一中学60

郭仲琨高二南昌十中60

许煜坤高二南昌十中60

程凌翔高二新建二中60

江希高二进贤一中59

胡鑫鹏高二南昌外国语学校59

胡方舟高二新建二中59

胡香华高二江西省南昌县莲塘第一中学59

余森扬高一南昌市第二中学59

喻加耀高二新建二中58

曾庆晟高一江西师大附中(青山湖校区)58

周睿强高二新建二中58

晏慎威高二南昌市进贤县第二中学58

陈唯佳高二南昌外国语学校58

李雅琳高二江西省南昌县莲塘第一中学58

刘上高一江西师大附中(青山湖校区)58

徐政奇高二江西师大附中(青山湖校区)58

高亦博高二江西省南昌县莲塘第一中学58

唐泽辰高二新建一中57

刘子洋高一江西师大附中滨江校区57

罗政杰高一新建二中57

姜林高二江西省南昌县莲塘第一中学57

徐伟雄高二新建二中57

周舟高二新建二中57

晏斌扬高一南昌市第二中学57

熊宇威高二江西师大附中(青山湖校区)57

胡鑫高二南昌市进贤县第二中学57

龚浩辉高二江西省南昌县莲塘第一中学57

徐高祥高二江西省南昌县莲塘第一中学57

胡启帆高一南昌市第二中学57

余孟超高二南昌市第二中学57

黄正高一南昌市第二中学57

以上同学均已获得参加2014年全国高中数学联赛(江西赛区)决赛的资格,相关事项请查阅预赛通知.

三等奖

姓名年级学校成绩

李浩高二新建二中56

刘阳高一新建一中56

涂家亮高二新建二中56

周玉树高二江西省南昌县莲塘第一中学56 蒋欣怡高二南昌外国语学校56 汪鹏高二江西省西山国际学校56 谢兆青高二南昌十中56

陈志阳高二江西省南昌县莲塘第一中学56 杨诚高一新建二中56

程宇高二南昌十九中56

郑彦通高一江西师大附中滨江校区56 曹宇轩高二江西师大附中滨江校区56 秦家琦高二南昌市第二中学56 涂文清高二进贤一中56

范冬阳高二江西省南昌县莲塘第一中学55 龚良俊高二江西省南昌县莲塘第一中学55 易佳力高二江西省南昌县莲塘第一中学55 黄欣高二江西师大附中(青山湖校区)54 戴阅高二南昌外国语学校54 涂文辉高一新建一中54

刘宇聪高一新建二中54

万火根高一新建一中54

刘诗璇高一南昌外国语学校54 夏奕丽高一新建二中54

张志威高二江西省南昌县莲塘第一中学54 张淳岭高一南昌市第二中学54 许怡高一江西师大附中滨江校区54 朱琳高一新建二中54

涂耀廷高一江西师大附中(青山湖校区)54 周韬高二江西师大附中(青山湖校区)54 陈嘉浩高一南昌三中54

邹元昊高一南昌三中54

陈涵高一南昌十九中54

吴莹丽高二进贤一中53

程赟高一江西师大附中滨江校区53 李慧琪高二江西师大附中滨江校区53 段一波高二新建二中53

张飞龙高二新建一中53

屈思超高二江西省南昌县莲塘第一中学53 殷佳杨高一江西师大附中(青山湖校区)53 陈曦远高二江西师大附中(青山湖校区)52 李杰高二进贤一中52

章嘉昊高二南昌十九中52

万欣豫高一南昌市第二中学52

刘泽彦高二江西师大附中(青山湖校区)52 张明强高二进贤一中52

陈锡逾高二南昌市第二中学52 章学城高二南昌市第二中学52 向劲孟高二进贤一中52

淦子恒高一南昌大学附属中学52

杨宇杰高二江西师大附中(青山湖校区)52 蔡央高二江西省南昌县莲塘第一中学52 宋佳敏高二江西省南昌县莲塘第一中学52 王振鹏高一江西师大附中滨江校区52 万志伟高二南昌十九中52 吁少豪高二进贤一中52

胡凯琪高二进贤一中52

王翔高一新建二中52

刘家杰高二江西省南昌县莲塘第一中学52 余鑫婷高二南昌三中52

姜志豪高二进贤一中52

张鼎怀高一南昌市第二中学52 王储辉高一南昌市进贤县第二中学51 吴蕾高二南昌外国语学校51 蔡洪波高一新建二中51

徐昆高二江西省南昌县莲塘第一中学51 左琪高二南昌市第二中学51 周宇高二江西师大附中滨江校区51 唐坤高二新建二中51

雷一鸣高二江西省南昌县莲塘第一中学51 姜旺俊高二江西师大附中滨江校区51 罗俊杰高二新建二中50

季京成高一进贤一中50

赵伟刚高二南昌市进贤县第二中学50 熊杨帆高二南昌三中50

李光昊高一江西师大附中(青山湖校区)50 石宇衡高二南昌市第二中学50 饶忠君高二南昌市进贤县第二中学50 刘泽祺高一江西师大附中(青山湖校区)50 胡旺高二新建二中50

应宗珣高二江西省南昌县莲塘第一中学50 万思萌高二南昌外国语学校50 王梓禹高二南昌市第二中学50 罗彬彬高二新建二中49

秦秋亮高二南昌市第二中学49 晏凌波高一南昌大学附属中学49 喻鹄高一新建二中48

郑文钧高一江西师大附中(青山湖校区)48 陈涵晟高二江西师大附中(青山湖校区)48 万仁星高二南昌市进贤县第二中学48 文睿钧高二江西省南昌县莲塘第一中学48 熊斌高二南昌市第二中学48 有阳含高二南昌市第二中学48 胡圣懿高二江西师大附中滨江校区48 杨雨昊高一南昌市第二中学48

邓哲璇高二江西师大附中(青山湖校区)48 吴武强高二进贤一中48

郎羽寅高二江西师大附中(青山湖校区)48 喻水康高一新建二中48 曾智康高二南昌市第二中学48

姜灵高一江西师大附中(青山湖校区)48 丁博文高二新建一中48

郭皓鹏高一南昌大学附属中学48 樊雅俊高二江西省南昌县莲塘第一中学48 吴欣阳高二进贤一中48

俞泽人高一江西师大附中(青山湖校区)48 王宏宇高二进贤一中48 杜昌恩高二新建二中48 伍彦蓉高二南昌外国语学校48 龚汉青高二南昌十九中48 曾文彬高二南昌市第二中学48

陈坦高二江西省南昌县莲塘第一中学48 章鹏程高二江西省南昌县莲塘第一中学48 徐瑞翔高二江西省南昌县莲塘第一中学48 傅怀颖高二江西师大附中滨江校区48

第四篇：高中数学教材章节内容

必修1全部知识点 集合： 集合的概念集合的基本关系集合的基本运算函数概念与基本初等函数Ⅰ： 函数的概念函数的性质函数的运算指数函数对数函数幂函数函数与方程函数模型

必修2全部知识点 立体几何初步： 空间几何体直观图三视图空间图形的基本关系空间图形的公理空间图形的平行空间图形的垂直简单几何体的面积平面解析几何初步： 直线与方程圆与方程空间直角坐标系

必修3全部知识点 算法初步： 算法与程序框图基本算法语句中国古代数学中的算法案例统计： 随机抽样总体估计线性回归概率： 事件与概率古典概型几何概型概率的应用

必修4全部知识点 基本初等函数Ⅱ(三角函数)： 三角函数的定义弧度制任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象三角函数的性质同角三角函数的基本关系式

平面向量 ： 向量的概念向量的线性运算平面向量的基本定理平面向量的坐标表示平面向量的数量积向量的应用三角恒等变形： 和与差的三角函数公式简单的三角恒等变换倍角公式半角公式三角函数的积化和差与和差化积

必修5全部知识点

解三角形： 正弦定理余弦定理三角形应用举例数列： 数列的概念数列的表示法等差数列等比数列数列的综合应用数列求和数列通项求法不等式： 不等关系一元二次不等式二元一次不等式组线性规划基本不等式不等式的性质均值不等式绝对值不等式选修全部知识点 常用逻辑用语： 命题量词简单的逻辑联结词充要条件圆锥曲线与方程： 椭圆双曲线抛物线直线与圆锥曲线的位置关系轨迹方程的求法空间向量与立体几何： 空间向量的运算空间向量的应用距离和二面角三垂线定理导数及其应用： 导数的概念导数的几何意义导数的运算导数的应用定积分微积分极限复合函数的导数推理与证明： 合情推理演绎推理直接证明间接证明数学归纳法反证法分析法证明数系的扩充与复数的引入： 复数的概念复数的四则运算计数原理： 分类加法计数原理分步乘法计数原理排列组合二项式定理概率与统计： 随机变量概率分布超几何分布二项分布离散型随机变量的均值离散型随机变量的方差正态分布独立性检验几何证明选讲： 相似三角形的判定相似三角形的有关性质直线与圆的位置关系圆锥曲线性质

坐标系与参数方程： 坐标系参数方程极坐标极坐标方程不等式选讲： 不等式的基本性质和证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用数学归纳法与贝努利不等式

第五篇：北京市高中数学教材及考试教材内容目录

人教版高中数学

必修A,B版

1、

2、

3、

4、5 选修 A版15本 数学1- 1 (选修)A版 数学1- 2 (选修)A版 数学2- 1 (选修)A版 数学2- 2 (选修)A版 数学2- 3 (选修)A版

数学3- 1 (选修)A版数学史选讲 数学3- 3 (选修)A版球面上的几何 数学3- 4 (选修)A版对称与群 数学4- 1 (选修)A版几何证明选讲 数学4- 2 (选修)A版矩阵与变换 数学4- 4 (选修)A版坐标与参数方程 数学4- 5 (选修)A版不等式选讲 数学4- 6 (选修)A版初等数论初步

数学4- 7 (选修)A版优选法与试验设计初步 数学4- 9 (选修)A版风险与决策

北京高考10本书人教版A版 必修：

1、

2、

3、

4、5 选修：2-1 2-2 2-3 4-1 4-4 文理科必修1-5 理科选修2-

1、2-

2、2-3 4-

1、 4-4 文科选修1-1 1-2

目录：

新课标人教A版高中数学教材目录(必修+选修)

必修1

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

1.2 函数及其表示

1.3 函数的基本性质

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

2.1 指数函数

2.2 对数函数

2.3 幂函数 第三章 函数的应用

3.1 函数与方程

3.2 函数模型及其应用

必修2 第一章 空间几何体

1.1 空间几何体的结构

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.3 空间几何体的表面积与体积 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.2 直线的方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式

第四章 圆与方程

4.1 圆的方程

4.2 直线、圆的位置关系

4.3 空间直角坐标系

必修3 第一章 算法初步

1.1 算法与程序框图

1.2 基本算法语句

1.3 算法案例

第二章 统计

2.1 随机抽样

2.2 用样本估计总体

2.3 变量间的相关关系

第三章 概率

3.1 随机事件的概率

阅读与思考 天气变化的认识过程

3.2 古典概型

3.3 几何概型

必修4 第一章 三角函数

1.1 任意角和弧度制

1.2 任意角的三角函数

1.3 三角函数的诱导公式

1.4 三角函数的图象与性质

1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)

1.6 三角函数模型的简单应用

第二章 平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

2.2 平面向量的线性运算

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.4 平面向量的数量积

2.5 平面向量应用举例

第三章 三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.2 简单的三角恒等变换

必修5 第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

1.2 应用举例

1.3 实习作业

第二章 数列

2.1 数列的概念与简单表示法

2.2 等差数列

2.3 等差数列的前n项和

2.4 等比数列

2.5 等比数列前n项和

阅读与思考 九连环

第三章 不等式

3.1 不等关系与不等式

3.2 一元二次不等式及其解法

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.4 基本不等式

选修1-1 第一章 常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1.2 充分条件与必要条件

1.3 简单的逻辑联结词

1.4 全称量词与存在量词

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

2.2 双曲线

2.3 抛物线

阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用

第三章 导数及其应用

3.1 变化率与导数

3.2 导数的计算

3.3 导数在研究函数中的应用

3.4 生活中的优化问题举例

走进微积分

选修1-2 第一章 统计案例

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎证明

阅读与思考 科学发现中的推理

2.2 直接证明与间接证明

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念

3.2 复数代数形式的四则运算

第四章 框图

4.1 流程图

4.2 结构图

选修2-1 第一章 常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1.2 充分条件与必要条件

1.3 简单的逻辑联结词

1.4 全称量词与存在量词

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 曲线与方程

2.2 椭圆

2.3 双曲线

2.4 抛物线

选修2-2 第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

1.2 导数的计算

1.3 导数在研究函数中的应用

1.4 生活中的优化问题举例

1.5 定积分的概念

1.6 微积分基本定理

1.7 定积分的简单应用

第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

2.2 直接证明与间接证明

2.3 数学归纳法

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念

3.2 复数代数形式的四则运算

选修2-3 第一章 计数原理

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.2 排列与组合

1.3 二项式定理

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布列

2.2 二项分布及其应用

2.3 离散型随机变量的均值与方差

2.4 正态分布

第三章 统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 选修3-1数学史选讲

第一讲 早期的算术与几何

一

二

三 第二讲

一

二

三

四 第三讲

一

二

三

四 第四讲

一

二

三

四 第五讲

一

二

三 第六讲

一

二 第七讲

一

二

三

四 第八讲

一

二

三 第九讲

一

二

三 古埃及的数学

两河流域的数学

丰富多彩的记数制度

古希腊数学

希腊数学的先行者

毕达哥拉斯学派

欧几里得与《原本》

数学之神──阿基米德

中国古代数学瑰宝

《周髀算经》与赵爽弦图

《九章算术》

大衍求一术

中国古代数学家

平面解析几何的产生 坐标思想的早期萌芽

笛卡儿坐标系

费马的解析几何思想

解析几何的进一步发展

微积分的诞生

微积分产生的历史背景

科学巨人牛顿的工作

莱布尼茨的“微积分”

近代数学两巨星 分析的化身──欧拉

数学王子──高斯

千古谜题

三次、四次方程求根公式的发现

高次方程可解性问题的解决

伽罗瓦与群论

古希腊三大几何问题的解决

对无穷的深入思考 古代的无穷观念

无穷集合论的创立

集合论的进一步发展与完善

中国现代数学的开拓与发展 中国现代数学发展概观

人民的数学家──华罗庚

当代几何大师──陈省身

选修3-3球面上的几何

第一讲 从欧氏几何看球面

一 平面与球面的位置关系

二 直线与球面的位置关系和球幂定理

三 球面的对称性

第二讲 球面上的距离和角

一 球面上的距离

二 球面上的角

第三讲 球面上的基本图形

一 极与赤道

二 球面二角形

三 球面三角形

1.球面三角形

2.三面角

3.对顶三角形

4.球极三角形

第四讲 球面三角形

一 球面三角形三边之间的关系

二、球面“等腰”三角形

三 球面三角形的周长

四 球面三角形的内角和

第五讲 球面三角形的全等

1.“边边边”(s.s.s)判定定理

2.“边角边”(s.a.s.)判定定理

3.“角边角”(a.s.a.)判定定理

4.“角角角”(a.a.a.)判定定理

第六讲 球面多边形与欧拉公式

一 球面多边形及其内角和公式

二 简单多面体的欧拉公式

三 用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式

第七讲球面三角形的边角关系

一 球面上的正弦定理和余弦定理

二 用向量方法证明球面上的余弦定理

1.向量的向量积

2.球面上余弦定理的向量证明

三 从球面上的正弦定理看球面与平面

四 球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离

第八讲 欧氏几何与非欧几何

一 平面几何与球面几何的比较

二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型

三 欧氏几何与非欧几何的意义

选修3-4对称与群

第一讲

一

二

三 第二讲

一

二

三

第三讲

一

二

三

四

平面图形的对称群 平面刚体运动

1.平面刚体运动的定义

2.平面刚体运动的性质

对称变换

1.对称变换的定义

2.正多边形的对称变换

3.对称变换的合成

4.对称变换的性质

5.对称变换的逆变换

平面图形的对称群

代数学中的对称与抽象群的概念 n元对称群Sn 多项式的对称变换

抽象群的概念 1.群的一般概念

2.直积

对称与群的故事 带饰和面饰

化学分子的对称群

晶体的分类

伽罗瓦理论

选修4-1几何证明选讲

相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理

平行线分线段成比例定理

相似三角形的判定及性质 1.相似三角形的判定

2.相似三角形的性质

直角三角形的射影定理

直线与圆的位置关系 圆周角定理

圆内接四边形的性质与判定定理 第一讲

一

二

三

四 第二讲

一

二

三

四

五 第三讲

一

二

三 圆的切线的性质及判定定理

弦切角的性质

与圆有关的比例线段

圆锥曲线性质的探讨 平行射影

平面与圆柱面的截线

平面与圆锥面的截线

选修4-2

第一讲

一

二

第二讲

一

二 第三讲

一

二

三

第四讲

一

二

线性变换与二阶矩阵

线性变换与二阶矩阵

(一)几类特殊线性变换及其二阶矩阵

1.旋转变换

2.反射变换

3.伸缩变换

4.投影变换

5.切变变换

(二)变换、矩阵的相等

二阶矩阵与平面向量的乘法

(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用

变换的复合与二阶矩阵的乘法

复合变换与二阶矩阵的乘法

矩阵乘法的性质

逆变换与逆矩阵

逆变换与逆矩阵 1.逆变换与逆矩阵

2.逆矩阵的性质

二阶行列式与逆矩阵

逆矩阵与二元一次方程组

1.二元一次方程组的矩阵形式

2.逆矩阵与二元一次方程组

变换的不变量与矩阵的特征向量

变换的不变量—矩阵的特征向量 1.特征值与特征向量

2.特征值与特征向量的计算

特征向量的应用 1.Aa的简单表示

2.特征向量在实际问题中的应用 选修4-4 第一讲坐标系 第二讲参数方程

选修4-5不等式选讲

第一讲

一

二

第二讲

一

二

三 第三讲

一

二

三 第四讲

一

二 不等式和绝对值不等式

不等式

1.不等式的基本性质

2.基本不等式

3.三个正数的算术-几何平均不等式

绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

2.绝对值不等式的解法

讲明不等式的基本方法

比较法

综合法与分析法

反证法与放缩法

柯西不等式与排序不等式

二维形式柯西不等式

一般形式的柯西不等式

排序不等式

数学归纳法证明不等式

数学归纳法

用数学归纳法证明不等式

选修4-6初等数论初步

第一讲

一

二

三 第二讲

一 整数的整除

整除

1.整除的概念和性质

2.带余除法

3.素数及其判别法

最大公因数与最小公倍数

1.最大公因数

2.最小公倍数

算术基本定理

同余与同余方程

同余

二

三

四

五

六 第三讲

一

二

三 第四讲

一

二 1.同余的概念

2.同余的性质

剩余类及其运算

费马小定理和欧拉定理

一次同余方程

拉格朗日插值法和孙子定理

弃九验算法

一次不定方程

二元一次不定方程

二元一次不定方程的特解

多元一次不定方程

数伦在密码中的应用

信息的加密与去密

大数分解和公开密钥

选修4-7优选法与试验设计初步

第一讲

一

二

三

四

五

六

第二讲

一

优选法

什么叫优选法

单峰函数

黄金分割法——0.618法

1.黄金分割常数

2.黄金分割法——0.618法

分数法

1.分数法

2.分数法的最优性

其他几种常用的优越法

1.对分法

2.盲人爬山法

3.分批试验法

4.多峰的情形

多因素方法

1.纵横对折法和从好点出发法

2.平行线法

3.双因素盲人爬山法

试验设计初步

正交试验设计法

1.正交表

2.正交试验设计 3.试验结果的分析

4.正交表的特性

二 正交试验的应用

选修4-9风险与决策

第一讲

一

二

第二讲 第三讲 第四讲

一

二

三

风险与决策的基本概念

风险与决策的关系

风险与决策的基本概念

1.风险(平均损失)

2.平均收益

3.损益矩阵

4.风险型决策

探究与发现 风险相差不大时该如何决策

决策树方法

风险型决策的敏感性分析

马尔可夫型决策简介

马尔可夫链简介

1.马尔可夫性与马尔可夫链

2.转移概率与转移概率矩阵

马尔可夫型决策简介

长期准则下的马尔可夫型决策理论

1.马尔可夫链的平稳分布

2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则

3.平稳准则的应用案例