初中数学竞赛题含答案

第一篇：初中数学竞赛题含答案

初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1

初中数学因式分解(一)

因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具.是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用.

1.运用公式法

整式乘法公式，反向使用，即为因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b);

(2)a±2ab+b=(a±b);

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b);

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b).

几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数;

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数;

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数.

分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab; (4)a-ab+ab-b.

22

2752

2

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy;(2)x-8y-z-6xyz; n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc.

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1.

1514132

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例4 分解因式：x-9x+8.

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3;(2)(m-1)(n-1)+4mn;

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1);(4)ab-ab+a+b+1.

422

43

322963223

3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12.

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90.

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x.

22

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6.

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2

).

1.分解因式：

(2)x10+x5-2;

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5.

练习一

2.分解因式：

(1)x+3x-4;

(2)x-11xy+y;

(3)x+9x+26x+24;

(4)x-12x+323.

3.分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1; (2)x+7x+14x+7x+1;

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1; (4)(x+3)(x-1)(x+5)-20. 3

2222

43

232432422

2初中数学因式分解(一)答案

7

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

1.运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b);

(2)a±2ab+b=(a±b);

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b);

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b).

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数;

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数;

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数.

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

2

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

2

n-2

n-1333

2

2

2222

23322332222222y-2xy; n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz;

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab;

(4)a-ab+ab-b.

解 (1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y).

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz).

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

=(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c).

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)

8 22222

222

22

2

2333n-1nn

2

n

2n-1n2

22n-1n2

2

2

2

22n-1n4

2

2

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc.

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).

分析我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b

的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b).

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.

33

3

3

3

3

3

2

2

333

324

3

22

3

44

3

2

2

3

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=[(a+b)3+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca).

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a+b+c-3abc 33322

22

23

3

3

3

3

3

3

3

3

3

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc;当a+b+c>0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33

3

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1.

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解.

解因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，

所以 16151413

2nn

151514

13

2

9

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

例4 分解因式：x-9x+8.

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.

解法1 将常数项8拆成-1+9.

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x.

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

解法3 将三次项x拆成9x-8x.

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8).

解法4 添加两项-x+x.

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8).

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.

10 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3;

(2)(m-1)(n-1)+4mn;

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1);

(4)ab-ab+a+b+1.

解 (1)将-3拆成-1-1-1.

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3).

(2)将4mn拆成2mn+2mn.

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1).

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=[(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=[(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3).

(4)添加两项+ab-ab.

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1).

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.

3.换元法 222

2

2332

233222222

2

2222

2

242

2

4

2

2422

2

2

4222

2

2

222222

222222226

33363

3

3

39639633322422

422963

11

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12.

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.

解设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5).

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90.

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90.

令y=2x+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1).

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x.

解设x+4x+8=y，则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8).

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6.

解法1 原式=6(x+1)+7x(x-1)-36x

=6[(x-2x+1)+2x]+7x(x-1)-36x

12 42

2

2

24

2

243

2222222

2

2

2222222

2

2

22

222

222

22

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x][3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).

说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体.

解法2

22

22

222

2

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3). 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y).

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式.

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy].令x+y=u，xy=v，则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y).

2222222242222222

22222

13

第二篇：初中百科知识竞赛题含答案 - 副本

雨溪中心学校教育工会百科知识竞赛试卷

1、为什么先看见闪电后听到雷声? ( )

2、中国第一个奥运会冠军是谁? ( )

3、下面的称号各是谁? ( )

A、诗圣—李白 B、诗仙—杜甫 C 、诗鬼—王维 D、田园诗人——陶渊明

4、月亮围绕什么东西转?转一周期多长? ( )( )

5、地震在地球上每年多少次? ( )

A、300万次 B、400万次 C 、500万次 D、600万次

6、春节有哪些风俗? ( ) A、扫房 B、放爆 C、贴春联 D、吃年夜饭

7、像牛、羊、鸡等动物能预测地震吗? ( )

8、桃树是先开花，后长叶吗? ( )

9、地球的血是岩浆还是水? ( )

10、地球的骨架是山脉还是岩石? ( )

11、为什么不要看电焊火花? ( )

12、正确的看电视方法是不是关了灯看电视? ( )

13、随便举出三个中华人民共和国的十大元帅? ( )

14、按顺序写出我国古代都有什么朝? ( )

15、什么是流星? ( )

16、中国历史上杰出的天文学家是谁? ( )

17、电池的发明人是伏特还是瓦特? ( )

18、第1个到达月球的两个宇航员是谁? ( )

1

19、泰山在哪个省? ( ) 20、亚马逊河在哪里? ( )

21、世界上最毒的蜘蛛是狼蜘蛛还是红蜘蛛? ( )

22、木头都会浮在水上吗? ( )

23、法国的首都是什么? ( )

24、英国的首都是什么? ( )

25、日本首都是什么?

26、意大利的首都是什么?

27、美国的首都是什么?

28、最大的哺乳动物是什么?

29、最大的两栖动物是什么? 30、最早的农作物是什么?

31、驰名全国的三大饮料是哪三样? (

32、世界四大水果是哪四样? (

33、日本的国花是什么?

34、郁金香是什么地方的国花?

35、甩掉中国贫油帽子的人是谁?

36、谁发明了麻醉术?

37、橡皮是谁发明的?

38、中国是谁发明了导弹?

39、海龟的寿命有几百岁? 40、中国是世界上产虎最多的国家，那么什么最为名贵?

41、什么动物是人最早驯养的?

42、最高的哺乳动物是什么?

43、泰国的国花是什么?

44、代表着和平的植物是什么?

45、不给仙人掌浇水，最多能活4年、5年还是6年?

46、飞机是谁发明的?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

47、全球的四大害是哪四种? ( )

48、第一个预报彗星的是谁? ( )

49、汉民族的共同语是什么? ( ) 50、用手“读书的文书是什么文? ( )

51、最古老的文学体裁是什么? ( )

52、微萍是不是世界最小的有花植物? ( )

53、龙血树是不是活的最长寿命的树?

54、被称为天然监测仪的植物是小草还是苔藓?

55、被称为捕虫神刀手的是什么动物?

56、中国是何时参加奥运会的?

57、乒乓球是中国人引为骄傲的“国球”吗?

58、使用裁判最多的比赛项目是什么?

59、冰淇淋是哪国发明的? 60、世界上第一个两次获得若贝尔奖的是谁? 6

1、酱油是从哪个朝代开始的? 6

2、领带是最早出现在中国的还是罗马国时代的? 6

3、厨师帽是英国发明的还是法国发明的? 6

4、最早的地雷是爱迪生发明的还是戚继光发明的? 6

5、感恩节是哪国的节日? 6

6、感恩节是每年的几月的第几个星期几? ( 6

7、植物是空气的净化器代器吗? 6

8、含义深刻的小故事是什么? 6

9、中国最大的诗歌集是《盛唐诗》吗? 70、中国最早的名医是谁? 7

1、我国最有名的长篇神话小说是什么书?

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

)

( )( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

( 7

2、谁根据小仲马的《茶花女》改编了同名歌剧? ( ) A.奥斯汀 B.威尔第 C.福楼拜

73、李清照词中名句"寻寻觅觅,冷冷清清,凄凄惨惨戚戚"的词牌名是: ( ) A.醉花阴 B.一剪梅 C.如梦令 D.声声慢

74.泰戈尔获得诺贝尔文学奖的作品是: ( ) A.《飞鸟集》 B.《吉檀迦利》 C.《草叶集》 D.《瑭璜》

75."破釜沉舟"讲的是历史上哪位名人的事迹 ( ) A.李煜 B. 项羽 C. 贾岛 D. 李世民

76.樱花的花期一般有几天 ( ) A. 5天 B. 6天 C. 7天 D. 8天

77.在俄罗斯象征友谊的颜色是什么 ( ) A. 蓝色 B. 红色 C. 绿色 D. 黄色

78.旗袍起源于我国哪个少数民族的服装 ( ) A. 傣族 B.汉族 C. 维吾尔族 D. 满族

79. 历史上被称为“家之贤妻，国之良相”的是___朝的马皇后。(

) 80. 乒乓球是中国的国球。你知道世界上仅有的三名获得过"大满贯"的运动员 的名字吗? ( ) A. 瓦尔德内尔，刘国梁，王励勤 B. 孔令辉，王励勤，金泽洙 C. 瓦尔德内尔，孔令辉，刘国正 D. 瓦尔德内尔，孔令辉，刘国梁 81. 我国可以发展边境贸易最多的省(区)是 ( ) A.内蒙古 B.新疆 C.云南 D.西藏

82. 被称为"万园之园"的我国古典园林是 ( ) A.圆明园 B. 颐和园 C.拙政园

83. 战国时期,主张人们不分贵贱等级、互爱互利，反对不义战争的思想家是 A.孔子 B.孟子 C.老子 D.墨子

84. 战国时期,总结前人医疗经验归纳出的四诊法,是哪位名医? ( ) A.李时珍 B.华佗 C.李冰 D.扁鹊

85.我国规模最大,内容最丰富的石窟群是: ( )

( ) A. 敦煌莫高窟 B. 龙门石窟 C. 云港石窟

86、中国农业银行发行的信用卡是： ( )

A 龙卡 B 金穗卡 C 牡丹卡

87、人在死海里会浮还是沉? 8

8、吴敬梓是哪本名著的作者? 8

9、薄公英靠什么传播种子? 90、“山外青山楼外楼”的下句是： 9

1、“孤帆远影碧空尽"的下一句是什么? 9

2、“打蛇打七寸”的七寸是指：

A 心脏 B 大肠 C 胆

93、《钢铁是怎样炼成的》作者是谁? 9

4、不明飞行物的英文缩写是? 9

5、俗称“四不象”的动物是： 9

6、被称为我国“瓷都”的是指哪一城市? 9

7、北极的气温比南极的气温： 9

8、校园歌曲《童年》的词曲作者是：

99、李白笔下的“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”指的是哪个风景区? 100、奥林匹克运动会的口号是更快、更高、更强对不对? 10

1、将断丝的白炽灯泡重新搭上后,灯光与灯丝未断前相比哪个亮 10

2、蜗牛在农业生产上是害虫还是 益虫 ? 10

3、冬天倒开水时，容易爆破的杯子是薄的玻璃杯还是厚的玻璃杯? 10

4、马是怎样睡觉的? A 站着睡 B 躺着睡 C 倒着睡 10

5、“新郎官”最早用来指： A新科状元 B 新科进士 C 新科秀才

5 10

6、下列对围棋的表述正确的是： A 执黑者先走 B 执白者先走 10

7、书画作品中的"四君子"是指哪四种植物? 10

8、"身无彩凤双飞翼"的下一句是： 10

9、六弦琴是什么乐器的别称： A 钢琴 B 吉他 C 小提琴

110、植树节是指哪一天? 1

11、中国三大火炉是除了重庆 南京还有哪个城市? 1

12、人体最坚硬的部分是： A 牙齿 B 头盖骨 C 指甲 1

13、鱼有心脏吗?

1

14、海马是马吗? 1

15、“皇帝”的正式称号，始于：A 周王 B 秦始皇 C 汉高祖 1

16、电脑的中央处理器英文简写是什么? A CPU B ROM C RAM 1

17、一公斤铁和一公斤棉花哪一个轻? 1

18、冰糖是用白砂糖做的，对不对?

119.唐朝是历史上空前强盛的帝国，第二个皇帝李世民执政清明，社会安定，经济繁 荣。被称为什么?

120.世界上许多国家都有一个别称，哪个国家被称为“黄金之国”? 1

21、.世界上跑得最快，每小时可达145公里的动物是什么? 1

22、神州六号乘载的航天员是聂海胜和谁?

123.用户在互联网上的另一台主机传输文件到自己的计算机，称为?

1

24、一草一木总关情，赠送玫瑰表达爱情，赠送百合表示百年好合，赠红豆约定俗成的意思是什么?

1

25、距离地球最近的行星叫什么?

1

26、水表上的度是表示耗水量，一度即一吨水，而电表上的度表示耗电量，请问，一度表示多少?

6 1

27、 著名壁画《最后的晚餐》是欧洲文艺复兴时期意大利哪位著名画家之手?

1

28、.在天平上的两个盘子里各放一个大小相同盛满水的桶，其中有一只桶里浮着一块木头，请问两只桶哪个重一些?

129. ___是孩子的第一任教师，____是孩子的第一任学校。

130、. 园林史上光彩夺目的瑰宝_______是世界上最大最宏伟的园林，被誉为“一切造园林艺术的典范”。

1

31、酒中含有酒精，饮酒过多或经常饮酒，会造成酒精中毒，使身体受损，那么，饮酒对人体的哪些器官最为有害?(

) A.眼睛 B.皮肤 C.心脏 D.肺

1

32、.哪国人送礼时避偶就奇，通常用

1、

3、

5、7等奇数，但却忌讳“9”?(

) A 朝鲜 B 泰国 C 中国 D 日本

1

33、牛奶是健康的食品，牛奶含钙丰富可以补充人体所需的多种元素。牛奶在什么时候喝对身体最有好处?(

) A.早晨 B.下午 C.晚上 D.随时

1

34、.我国许多名山都有一个雅称，请问，“五岳独尊”指的是哪座名山?(

) A . 黄山 B. 泰山 C .九华山 D. 普陀山

1

35、. 152.李白的《静夜诗》中“床前明月光”的“床”指的是什么?(

) A.床 B.井栏 C.窗户

1

36、.“横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛”是鲁迅先生的名句，其中“孺子牛”一词出自《左传》当时是什么意思?(

) A. 对子女的宠爱 B .对下属的关爱 C. 对大众的奉献

1

37、.看完电视节目后，将电视机用电视机罩套住是防尘的好方法，那么什么时候用最恰当呢?(

) A. 关机，完全冷却后 B.关机 ，稍微冷却后 C. .关机后的任何时间 D.一关机就立即罩上

1

38、台湾是我国最大的岛屿，他属于_____。(

) A .珊瑚岛. B . 大陆岛

7 1

39、.提及电影时，人们都钟情于“好莱坞片”，其实，好莱坞指的是?(

) A .电影厂 B .电影制作公司 C .电影城

140、人生中只能换一次牙，正常情况下乳牙有多少颗?(

) A.16 B.18 C.20 D.22 1

41、长江三峡西起重庆奉节，冬至湖北宜昌，全长193公里，三峡是瞿塘峡、巫峡、西陵峡的总称，“三峡居中间位置的是哪个峡“?(

) A瞿塘峡 B巫峡 C西陵峡

1

42、世界上被称为“瓷国和诗国”的是哪个国家?(

) A.印度 B.新加坡 C.中国 D.美国

1

43、.因特是中文译音。英文为interner,是计算机网络互联网。因特网是由哪个国家政府出资创建的?(

) A.英国 B.日本 C.美国 D .中国

1

44、.我国单位面积产量位居谷物作物之首是( )?A 水稻B 玉米C 高粱D 小麦 ) 1

45、 姐姐责怪弟弟：“你已经把糖块总数的吃掉了一半”，接着又说“你已经吃掉剩下块数的平方值。”请问原来有多少块糖?(

)

1

46、大挂钟敲6下用30秒，敲12下要用多少秒?(

) A.60 B.66 C.72 147. 在两个并列数字3和4之间，加上一个什么符号可以得到一个大于3小于4的数呢(?

) 148 唐、宋、元、明、清以来帝王在位时间最长的是谁?多少年?(

)

149 三个2，不许用运算符号，写出最大的数。(

)

150 铁木真是19世纪初时的蒙古族首领，他被称为什么?(成吉思汗)

第三篇：小学六年级数学奥林匹克竞赛题（含答案）

某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数?

解：

设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是(A-2)/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+(A-2)/4-(A+22)=(A-90)/4，而6*(A-90)/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是(A-2)/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392

电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元?

解：设一张电影票价x元 (x-3)×(1+1/2)=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做

(x-3){现在电影票的单价}×(1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为(1+2/1)} 左边算式求出了总收入

(1+1/5)x{其实这个算式应该是：1x*(1+5/1) 把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*(1+5/1)，减缩后得到(1+1/5x)} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等

甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款

答案

1 取40%后，存款有

9600×(1-40%)=5760(元) 这时，乙有：5760÷2+120=3000(元) 乙原来有：3000÷(1-40%)=5000(元)

由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗?巧克力糖多少颗?

答案

加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍

再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗

巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗

小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4!”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个?

答案

小明说：“你有球的个数比我少1/4!”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份

4*1/6=2/3 (小明要给小亮2/3份玻璃球) 小明还剩：4-2/3=3又1/3(份)

2 小亮现有：3+2/3=3又2/3(份)

这多出来的1/3份对应的量为2，则一份里有：3*2=6(个)

小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6=24(个)

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4

三人共同搬完，需要

60 × 2÷(6+ 5+ 4)= 8(小时)

甲需丙帮助搬运

(60- 6× 8)÷ 4= 3(小时)

乙需丙帮助搬运

(60- 5× 8)÷4= 5(小时)

一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,

3 完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 答案

甲乙丙3人8天完成 :5/6-1/3=1/2 甲乙丙3人每天完成 :1/2÷8=1/16， 甲乙丙3人4天完成 :1/16×4=1/4 则甲做一天后乙做2天要做 :1/3-1/4=1/12 那么乙一天做 :[1/12-1/72×3]/2=1/48 则丙一天做 :1/16-1/72-1/48=1/36 则余下的由丙做要 :[1-5/6]÷1/36=6天 答：还需要6天

股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1%和2%分别交纳印花税和佣金(通常所说的手续费)。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱?

答案

10.65*1%=0.1065(元) 10.65*2%=0.213(元) 10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元) 13.86*1%=0.1386(元) 13.86*2%=0.2772(元) 0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元) 14.2758-10.9695=3.3063(元) 答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.

某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少

4 答案

(100+40)/2.8=50本 100/50=2 150/(2+0.5)=60本 60*80%=48本 48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元对我有帮助

一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人 解: 设需要增加x人 (40+x)(15-3)=40*15 x=10 所以需要增加10人

仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨?

解：第1次运走：2/(2+7)=2/9. 64/(1-2/9-3/5)=360吨。 答：原仓库有360吨货物。

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人?

答案

原来达标人数占总人数的 3÷(3+5)=3/8 现在达标人数占总人数的 9/11÷(1+9/11)=9/20 育才小学共有学生

60÷(9/20-3/8)=800人

小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道? 答案

设小王做了a道，小李做了b道，小张做了c道

5 由题意1/2a=1/3b=1/8c c-a=72 解得a=24 b=36 c=96

甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件?

答案

设甲做了X个，则乙做了(242-X)个 6X=5(242-X) X=110 242-110=132(个)

答：甲做了110个，乙做了132个

某工会男女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之比是10:8:7，甲组中男女比是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之比

答案

设男会员是3N，则女会员是2N，总人是：5N 甲组有：5N*10/[10+8+7]=2N，其中：男：2N*3/4=3N/2，女：2N*1/4=N/2 乙级有：5N*8/25=8/5N，其中男：8/5N*5/8=N，女：8/5N*3/8=3/5N 丙级有：5N*7/25=7/5N 丙级中男有：3N-3N/2-N=N/2，女有：2N-N/2-3/5N=9/10N 那么丙组中男女之比是：N/2：9/10N=5：9 甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元?

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：8+7+5=20份 每份需要的人数：(60+40)÷20=5人

6 甲村需要的人数：8×5=40人，多出劳力人数：60-40=20人 乙村需要的人数：7×5=35人，多出劳力人数：40-35=5人 丙村需要的人数：5×5=25人 或 20+5=25人 每人应得的钱数：1350÷25=54元 甲村应得的工钱：54×20=1080元 乙村应得的工钱： 54×5=270元

p166 19题

李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利0.2元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天获利比原来增加了50%。问：每千克水果降价多少元?

答案

设以前卖出X 降价a 那么0.2X * (1+0.5)=(0.2-a) * 2x 则0.1X=2aX a=0.05

.哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题?

解：设哈利波特答对2X题，答错X题 20×2X-6X=68 40X-6X=68 34X=68 X=2 答对：2×2=4题 共有：4+2=6题

爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这 7 些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行李的质量。

答案

设可免费携带的重量为x kg，则：

(150-3x)/4=(150-x)/8 //等式两边非免费部分单价相同; 解方程：x=30

一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，求有多少只船?

答案 解法一：

设船数为X，则 (15X+9)/18=X-1 15X+9=18X-18 27=3X X=9 答：有9只船。

解法二：

(15+9)÷(18-15)=8只船 --每船坐18人时坐了8只船 8+1=9只船

建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的是2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨? 答案

8 设2堆为X吨,则一堆为X+85吨 X+85-30=2(X-30) x=115(2堆) x+85=115+85=200(1堆)

自然数1-100排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为432，问这六个数最小的是几

答案

六个数分别是46 47 48 96 97 98

甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲地驶到乙地用了8小时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路长多少千米? 答案

两段路所用时间共8小时。

柏油路时间：(420-x)÷60

泥土路时间： x÷40

7-(x÷60)+(x÷40)=8 有x÷120=1 所以x=120

一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人? 设有x个人

9 x+x/2+x/3=55 x=30

学校购买840本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的是低年级段的2倍，中年级段分的是低年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书?

设低年级段分得x本书，则高年级段分得2x本,中年级段分得(3x-120)本 x+2x+3x-120=840 6x-120=840 6x=840+120 6x=960 x=960/6 x=160 高年级段为：160*2=320( 本) 中年级段为：160*3-120=360(本) 答：低年级段分得图书160本，中年级段分得图书360本，高年级段分得图书320本.

学校田径组原来女生人数占1/3,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径组总人数的4/9。现在田径组有女生多少人? 解 设 原来田径队男女生一共x人 1/3x+6= 4/9(x+6) x=30 1/3x+6=30*1/3+6=16 女生16人

小华有连环画本数是小明6倍如果两人各再买2本那么小华所有本数是小明4倍两人原来各有连环画多少本?

解：设小华的有x本书

10 4(x+2)=6x+2 4x+8=6x+2 x=3 6x=18

小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的年龄各是多少?

答案 1 设小春x岁，则妈妈x+27岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁，爸爸4x+54-38=4x+16岁

x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5 所以小春5岁，妈妈32岁，爷爷74岁，爸爸36岁。

2 爷爷+爸爸+(妈妈+小春)

=爷爷+(爷爷-38)+(爷爷/2)=147 爷爷=74岁 爸爸=36岁

妈妈+小春=小春+27+小春=74/2=37 小春=5岁 妈妈=5+27=32岁

小春一家四口人的年龄各是74，36，32，5岁

3 (147+38)÷(2×2+1)=37(岁) 36×2=74(岁) 爷爷的年龄 74-38=36(岁) 爸爸的年龄

11 (37+27)÷2=32(岁) 妈妈的年龄 32-27=5(岁) 小华的年龄

甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之1比乙校参加人数的4分之1少1人，甲乙两校各多少人参赛?

解：设甲校有x人参加，则乙校有(22-x)人参加。 0.2 x=(22-x)×0.25-1 0.2x=5.5-0.25x-1 0.45x=4.5 x=10 22-10=12(人) 答： 甲校有10人参加，乙校有12人参加。

在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为50%? 答案1 解

设原有盐水x千克，则有盐40%x千克，所以根据关系列出方程： (40%x)/(x+1)=30% 得出x=3，再设须加入y千克盐，则有方程：

(1.2+y)/(4+y)=50%得出y=1.6

54比45多20%，算法，设所求为x，x(1+20%)=54 算出结果45 答案2 设原有溶液为x千克，加入y千克盐后，浓度变为50% 由题意，得溶质为40%x，则有 40%x/(x+5)=30% 12 解之得 x=15千克

则溶质有15*40%=6千克 由题意，得

(6+y)/(15+5+y)=50% 解之得 y=8千克

故再加入8千克盐，浓度变为50%

某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来节省的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔?

答案

红笔买了x支。

(5x+30×9)×(1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8 x=36.

甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人原来各有多少钱?

答案

乙的话表明：甲钱5倍与乙钱2/3一样多 所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70， 而乙多于甲的6倍， 所以，乙多于60 13

设乙=75，甲=75*2/3÷5=10,丙=100-10-75=15 设乙=90，甲=90*2/3÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万，每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元?

答案

设：甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额(30-x)万元。 列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4 化简：4.2-0.02x=4 0.02x=0.2 解得：x=10(万元)

某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的3/5只有甲种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元?

答案1 根据题意，

甲种超过了100本，乙种不到100 本 甲乙花的总钱数比为2:1 那么甲打折以前，和乙的总钱数比为： (2÷0.9)：1=20:9 甲乙册数比为5:3 甲乙单价比为(20÷5)：(9÷3)=4:3 14 优惠前，甲种每本：1.5×4/3=2元

答案2 答案

设甲买了x本,则乙为3/5x,x>100 买乙共付了:3/5x*1.5=0.9x元 则甲共付了:0.9x*2=1.8x元 所以甲优惠后每本为:1.8x/x=1.8元 则优惠前:1.8/0.9=2元

两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍?

答案

两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的 A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧1/2 B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧1/3 设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍 2(1—x/2)=1—x/3 解得x=1.5 由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好

学校组织春游，同学们下午1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路4Km/小时，爬山3Km/小时，下山为6Km/小时，返回时间为2.5时。问：他们一共行了多少路

答案1 设走的平路是X公里 山路是Y公里

15 因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时 Y/3-Y/6=1小时 Y=6公里

去时共用3.5小时 则X/4+Y/3=3.5 X=6 所以总路程为2(6+6)=24km 答案2 解：春游共用时：7：00-1：00=6(小时) 上山用时：6-2.5=3.5(小时) 上山多用：3.5-2.5=1(小时) 山路：(6-3)×1÷(3÷6)=6(千米) 下山用时：6÷6=1(小时) 平路：(2.5-1)×4=6(千米) 单程走路：6+6=12(千米) 共走路：12×2=24(千米) 答：他们共走24千米。

工程问题

1.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时? 解：

1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5=45/80表示5小时后进水量 1-45/80=35/80表示还要的进水量

35/80÷(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

16

2.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天?

解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为(16-x)天 1/20*(16-x)+7/100*x=1 x=10 答：甲乙最短合作10天

3.一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时? 解：

由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量

(1/4+1/5)×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。

所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。 1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。

1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。

17

4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工;如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成? 解：由题意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+„„+1/甲=1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+„„+1/乙+1/甲×0.5=1 (1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天)

1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等) 得到1/甲=1/乙×2 又因为1/乙=1/17 所以1/甲=2/17，甲等于17÷2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个? 答案为300个

120÷(4/5÷2)=300个

可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。

6.一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵;如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵? 答案是15棵

算式：1÷(1/6-1/10)=15棵

7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水 18 放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完? 答案45分钟。

1÷(1/20+1/30)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。 1/2÷18=1/36 表示甲每分钟进水 最后就是1÷(1/20-1/36)=45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天? 答案为6天 解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做3天的工作量=甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3 时间比的差是1份 实际时间的差是3天

所以3÷(3-2)×2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法：

[1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1 解得x=6

9.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两 19 支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟? 答案为40分钟。 解：设停电了x分钟 根据题意列方程

1-1/120*x=(1-1/60*x)*2 解得x=40

二.鸡兔同笼问题

1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只? 解：

4*100=400，400-0=400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。

400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么? 4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只(从400只变为396只)，鸡的总脚数就会增加2只(从0只到2只)，它们的相差数就会少4+2=6只(也就是原来的相差数是400-0=400，现在的相差数为396-2=394，相差数少了400-394=6)

372÷6=62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只 100-62=38表示兔的只数

三.数字数位问题

1.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少? 解：

20 首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19，20~29„„90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+„„+90=450 它有能被9整除 同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除; 同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除(这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005 从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除; 200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。 最后答案为余数为0。

2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值... 解：

(A-B)/(A+B) = (A+B2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。

(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100

3.已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少? 答案为6.375或6.4375 21 因为A/2 + B/4 + C/16=8A+4B+C/16≈6.4，

所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。 当是102时，102/16=6.375 当是103时，103/16=6.4375

4.一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数. 答案为476 解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198 解得a=6，则a+1=7 16-2a=4 答：原数为476。

5.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数. 答案为24 解：设该两位数为a，则该三位数为300+a 7a+24=300+a a=24 答：该两位数为24。

6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答案为121 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a=11(a+b) 因为这个和是一个平方数，可以确定a+b=11 22 因此这个和就是11×11=121 答：它们的和为121。

7.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数. 答案为85714 解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde(字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数)

再设abcde(五位数)为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x 根据题意得，(200000+x)×3=10x+2 解得x=85714 所以原数就是857142 答：原数为857142

8.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数. 答案为3963 解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b=12，a+c=9 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据d+b=12，可知d、b可能是

3、9;

4、8;

5、7;

6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d=3，b=9;或d=8，b=4时成立。 先取d=3，b=9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据a+c=9，可知a、c可能是

1、8;

2、7;

3、6;

4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当c=6，a=3时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd=3963 23 再取d=8，b=4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数. 解：设这个两位数为ab 10a+b=9b+6 10a+b=5(a+b)+3 化简得到一样：5a+4b=3 由于a、b均为一位整数 得到a=3或7，b=3或8 原数为33或78均可以

10.如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分? 答案是10：20 解：

(28799„„9(20个9)+1)/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四.排列组合问题

1.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( ) A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种

24 综合两步，就有24×32=768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解：

5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59

五.容斥原理问题

1. 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种

2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第

1、2题，只答第

1、3题，只答

2、3题，答

1、

2、3题。

25 分别设各类的人数为a

1、a

2、a

3、a

12、a

13、a

23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25„① 由(2)知：a2+a23=(a3+ a23)×2„„② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1„„③ 由(4)知：a1=a2+a3„„④ 再由②得a23=a2-a3×2„„⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 由于a

2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2=

6、

5、

4、

3、

2、1时，a3=

2、

6、

10、

14、

18、22 又根据a23=a2-a3×2„„⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。

然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数a2=6人。

3.一次考试共有5道试题。做对第

1、

2、

3、、

4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少? 答案：及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人)

26 100-29=71(及格的最少人数，其实都是全对的) 及格率至少为71%

六.抽屉原理、奇偶性问题

1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9(只)

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2.有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样? 答案为21 解：

每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法. 当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样: 当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3.某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球?

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

27 当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是： 6*5+3+1=34(个)

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是： 6*5+2+1=33 如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是： 6*5+1+1=32

4.地上有四堆石子，石子数分别是

1、

9、

15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?(如果能请说明具体操作，不能则要说明理由) 不可能。

因为总数为1+9+15+31=56 56/4=14 14是一个偶数

而原来

1、

9、

15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数(14个)。

七.路程问题

1.狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它? 解：

根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。

根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米=21x米，则狗跑5*4x=20米。

可以得出马与狗的速度比是21x：20x=21：20 根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的 28 份数是21-20=1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷(21-20)×21=630米

2.甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇?已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米? 答案720千米。

由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份(总路程为18份)，两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8)=720千米。

3.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟?

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。 解：

600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

(50+150)÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数 (150-50)/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4.慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间? 答案为53秒

算式是(140+125)÷(22-17)=53秒

29 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5.在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米? 答案为100米

300÷(5-4.4)=500秒，表示追及时间 5×500=2500米，表示甲追到乙时所行的路程

2500÷300=8圈„„100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。

6.一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度(得出保留整数) 答案为22米/秒

算式：1360÷(1360÷340+57)≈22米/秒

关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。

7.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。 解：

由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a=6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

30 8. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟? 答案：18分钟

解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y 列式40x+40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分钟,乙需90分钟 故得解

9.甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米? 答案是300千米。

解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的(1+1/5)。 因此360÷(1+1/5)=300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有()千米

10.一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离? 解：(1/6-1/8)÷2=1/48表示水速的分率 2÷1/48=96千米表示总路程

31 11.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。 解：

相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 时间比为3：4 所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时 6*33=198千米

12.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米? 解：

把路程看成1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30

两者之差：(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时 去时时间：1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75 路程：12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)

32

第四篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案

1996年全国初中数学联赛试题

A.M>N

B.M=N

C.M<n

</n

D.不确定

A.有一组 B.有二组

C.多于二组

D.不存在

3.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [

]

4.设x

1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [

]

A.

4B.8

C.6

D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [

]

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [

]

A.4个 B.8个

C.12个

D.24个

2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______.

3.设1995x3=1996y3=1997z3，xyz>0，且

4.如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______.

5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.

6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示)，求证：∠OPF=∠OEP.

三、(本题满分25分)

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C

二、填空题

一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元.

二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

而，

三、 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小.

第五篇：全国初中数学竞赛试题及答案(1995年)

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1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[

]

A.a<b </b

C.c </a<b

D.a<c<b

</c<b

A.1 B.2

C.3

D.4 3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4.如果边长顺次为

25、

39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 [

]

A.62π B.63π C.64π D.65π 5.设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M=|S△CAB-S△DAB|，N=2S△OAB，则 [

]

A.M>N

B.M=N

C.M

]

A.a>0且b>0 B.a<0且b>0 C.a>0且b<0 D.a<0且b<0

二、填空题

1.在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2=AC·BC，则∠CAB=______.

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第二试

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，经A、C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

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1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c=(53)11=12511 <24311=(35)11=a

<25611=(44)11=b。选C。

利用lg2=0.3010，lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2.讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1).也可以不解方程组

直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3.讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须|x1-x2|<1又

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有0≤4-4m<1.

4.讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一.又由

AB2+AD2 =252+602

=52×(52+122) =52×132

=(32+42)×132 =392+522 =BC2+CD2

故可取BD=65为直径，得周长为65π，选D.

5.讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB为直径，则M=N=0，于是就选B.其实，这只能排除A、C，不能排除D.

不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF=ED，则有OF=OE，且S△第 4 页 http://

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ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理，S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加，得S△ABC-S△DAB=2S△OAB，即M=N.选B.

若过C、D、O分别作AB的垂线(图3)，CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L.连CF、DE，可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理，知L是EF的中点.根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

|CE-DF|=2OL.

即M=N.选B.

6.讲解：取a=-

1、b=2可否定A、C、D，选B.一般地，对已知不等式平方，有

|a|(a+b)>a|a+b|.

显然|a||(a+b)|>0(若等于0，则与上式矛盾)，有

两边都只能取1或-1，故只有1>-1，即

有a<0且a+b>0，从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力.经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42=16，62=36.然后，对两位数10a+b，有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b=4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9+1=19.

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a

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学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2+a作为整体代入.这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活.比如，由①有

由②-①，得

由③-②并将④代入，得

还可由①得

⑥÷⑤即得所求.

3.讲解：这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

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因而x=1时，y有最小值1.

4.讲解：此题由笔者提供，原题是求sin

∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°.解法如下：

与AB2=AB2+AC2 ② 联立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改为求∠CAB之后，思路更宽一些.如，由

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第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5(1989年)的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T.求证S≥2T.

在这个题目的证明中，要用到AK =AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心(图7).

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线;其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1：如图6，连DF，则由已知，有

连BD、CF，由CD=CB，知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB，

得FB=FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线.

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由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心. 证法2：同证法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆.连EF，在证得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分线.

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知，F是△DCB的外心.

证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2，

∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1=∠2.

从而∠DCF=∠GCF， 得CF为∠DCE的平分线.

证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函数

y=-x+d ①

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的图象(图9).若记内心I的坐标为(x1，y1)，则 x1+y1=CH+IH

=CH+HB=CB=d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心.

还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证.

二、讲解：此题的原型由笔者提供.题目是：

于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

求正整数解.直接解，数字较繁.但有巧法，由

及1≤y<x，

</x，

知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x.

但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016，得x=63，从而y=21，所求的格点为(21，63).

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算.

有x2-x+18≤10|x|.

当x≥0时，有x2-11x+18≤0，

得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x<0时，有 x2+9x+18≤0，

得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：

(-6,6),(-3,3).

对x≥0，取x=2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x>9时，由

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对x<0，取x=-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由

知y>-x，再无满足y≤|x|的解. 故一共有6个整点，图示略.

解法3：先找满足条件y=|x|的整点，即分别解方程 x2-11x+18=0 ① x2+9x+18=0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3).

再找满足y<|x|的整点，这时 2<x<9或-6<x<-3，

</x<9或-6<x<-3，

依次检验得(4，3)、(7，6).故共有6个整点.

三、讲解：直观上可以这样看，当n>6时，在2，3，…，n-2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2)，记

B=n-A≥2， 有n=A+B.

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d>1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾.

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来.

(1)当n为奇数时，有 n=2+(n-2)，

(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

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(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有

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