人教版数学知识点总结
总结是一次反思过程,是一种记录工作情况、回顾工作不足的重要方式,在总结写作的过程中,我们需要全面化的分析工作情况,这有利于我们的工作成长。怎么写出有效的总结呢?下面是小编为大家整理的《人教版数学知识点总结》相关资料,欢迎阅读!
第一篇:人教版数学知识点总结
人教版初三数学知识点总结
初三知识整理
全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的"数与代数""空间与图形""统计与概率""实践与综合应用"四个领域的内容
在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合 使它们形成一个有机的整体
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容 学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域 包含以下章节:
第21章 二次根式 第22章 一元二次方程
第23章 旋转 第24章 圆 第25 章 概率初步 本册书内容分析如下: 第21章 二次根式
学生已经学过整式与分式
知道用式子可以表示实际问题中的数量关系 解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式 "二次根式" 一章就来认识这种式子 探索它的性质 掌握它的运算
在这一章
首先让学生了解二次根式的概念 并掌握以下重要结论:
(1)是一个非负数;
(2) ≥0);
(3) (a≥0). 注:关于二次根式的运算
由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握 教科书先安排二次根式的乘除 再安排二次根式的加减
"二次根式的乘除"一节的内容有两条发展的线索
一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性
并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到
(a≥0 b≥0) (a≥0 b>0)
并运用它们进行二次根式的化简
"二次根式的加减"一节先安排二次根式加减的内容 再安排二次根式加减乘除混合运算的内容
在本节中
注意类比整式运算的有关内容 例如
让学生比较二次根式的加减与整式的加减 又如
通过例题说明在二次根式的运算中 多项式乘法法则和乘法公式仍然适用 这些处理有助于学生掌握本节内容
第22章 一元二次方程
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法 在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 -- 一元二次方程 "一元二次方程"一章就来认识这种方程 讨论这种方程的解法
并运用这种方程解决一些实际问题
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念 给出一元二次方程的一般形式
然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解 对一元二次方程的解加以体会 并给出一元二次方程的根的概念
"22.2降次--解一元二次方程"一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法
下面分别加以说明
(1)在介绍配方法时
首先通过实际问题引出形如的方程
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程 由平方根的概念
可以得到这个方程的解
进而举例说明如何解形如的方程
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程 引出配方法
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题 在例题中
涉及二次项系数不是1的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 对于没有实数根的一元二次方程 学了"公式法"以后
学生对这个内容会有进一步的理解
(2)在介绍公式法时
首先借助配方法讨论方程的解法
得到一元二次方程的求根公式
然后安排运用公式法解一元二次方程的例题 在例题中
涉及有两个相等实数根的一元二次方程 也涉及没有实数根的一元二次方程 由此引出一元二次方程的解的三种情况
(3)在介绍因式分解法时
首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程 引出因式分解法
然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题
最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结
"22.3实际问题与一元二次方程"一节安排了四个探究栏目 分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题
使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型
第23章 旋转
学生已经认识了平移、轴对称 探索了它们的性质
并运用它们进行图案设计
本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转 "旋转"一章就来认识这种变换 探索它的性质 在此基础上
认识中心对称和中心对称图形
"23.1旋转"一节首先通过实例介绍旋转的概念 然后让学生探究旋转的性质 在此基础上
通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法 最后举例说明用旋转可以进行图案设计
"23.2中心对称"一节首先通过实例介绍中心对称的概念 然后让学生探究中心对称的性质 在此基础上
通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法 这些内容之后
通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念 最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系
以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法
"23.3课题学习 图案设计"一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)
灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计
第24章 圆
圆是一种常见的图形 在"圆"这一章
学生将进一步认识圆 探索它的性质
并用这些知识解决一些实际问题 通过这一章的学习
学生的解决图形问题的能力将会进一步提高
"24.1圆"一节首先介绍圆及其有关概念 然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论 并运用这些结论解决问题 接下来
让学生探究弧、弦、圆心角的关系 并运用上述关系解决问题
最后让学生探究圆周角与圆心角的关系 并运用上述关系解决问题
"24.2与圆有关的位置关系"一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念 并通过证明"在同一直线上的三点不能作圆"引出了反证法
然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论 最后介绍圆和圆的位置关系
"24.3正多边形和圆"一节揭示了正多边形和圆的关系 介绍了等分圆周得到正多边形的方法
"24.4弧长和扇形面积"一节首先介绍弧长公式 然后介绍扇形及其面积公式 最后介绍圆锥的侧面积公式
第25 章 概率初步
将一枚硬币抛掷一次 可能出现正面也可能出现反面
出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了"概率"一章 学生就能更好地认识这个问题了 掌握了概率的初步知识
学生还会解决更多的实际问题
"25.1概率"一节首先通过实例介绍随机事件的概念 然后通过掷币问题引出概率的概念
"25.2用列举法求概率"一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法
然后安排运用这种方法求概率的例题 在例题中
涉及列表及画树形图
"25.3利用频率估计概率"一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法
"25.4课题学习 键盘上字母的排列规律"一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用
知识点总结
第21章 二次根式 知识框图
学习目标
对于本章内容
教学中应达到以下几方面要求:
1. 理解二次根式的概念
了解被开方数必须是非负数的理由;
2. 了解最简二次根式的概念;
3. 理解并掌握下列结论:
(1)是非负数; (2); (3);
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则 会用它们进行有关实数的简单四则运算;
5. 了解代数式的概念
进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用
I.二次根式的定义和概念:
1、定义:一般地
形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式 当a>0时
√a表示a的算数平方根 √0=0
2、概念:式子√ā(a≥0)叫二次根式 √ā(a≥0)是一个非负数
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1)a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
2)(√ā)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离
即勾股定理推论
III.二次根式的性质和最简二次根式
1)二次根式√ā的化简
a(a≥0)
√ā=|a|={
-a(a<0)
2)积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b(a≥0 b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0 b>0)
3)最简二次根式
条件:
(1)被开方数的因数是整数或字母 因式是整式;
(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式
如:不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
2、√
3、√a(a≥0)、√x+y 等;
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
4、√
9、√a^
2、√(x+y)^
2、√x^2+2xy+y^2等
IV.二次根式的乘法和除法
1 运算法则
√a·√b=√ab(a≥0 b≥0)
√a/b=√a /√b(a≥0 b>0)
二数二次根之积 等于二数之积的二次根
2 共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 那么这两个代数式叫做共轭因式 也称互为有理化根式
V.二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地
把几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同
就把这几个二次根式叫做同类二次根式
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式
3二次根式加减时
可以先将二次根式化为最简二次根式 再将被开方数相同的进行合并 Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分 不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
III.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b 第22章 一元二次方程 知识框图
第23章 旋转 知识框图
旋转的定义
在平面内
将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 这个定点叫做旋转中心 转动的角度叫做旋转角
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 对应线段的长度、对应角的大小相等 旋转前后图形的大小和形状没有改变
旋转对称中心
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合
这种图形叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心
旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°
大于360°)
中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念.它们的区别是:中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 这两个图形关于一点对称 这个点是对称中心
两个图形关于点的对称也叫做中心对称.成中心对称的两个图形中 其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上 反之
另一个图形上所有点的对称点
又都在这个图形上;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)
那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形 如果把对称的部分看成是两个图形 那么它们又是关于中心对称.
也就是说:
① 中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合 那么我们就说
这个图形成中心对称图形
②中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合 那么我们就说
这两个图形成中心对称
中心对称图形
正(2N)边形(N为大于1的正整数) 线段 矩形 菱形 圆
只是中心对称图形
平行四边形等.
既不是轴对称图形又不是中心对称图形
不等边三角形 非等腰梯形等. 中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形
②关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分
③关于中心对称的两个图形
对应线段平行(或者在同一直线上)且相等
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点 使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后 能够完全重合
称这两个图形关于该点对称
该点称为对称中心.二者相辅相成 两图形成中心对称 必有对称中点
而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.
第二十四章圆
知识框图
【圆的基本知识】
〖几何中圆的定义〗
几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称为半径
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心 一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周 简称圆
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
〖圆的相关量〗
圆周率:圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率 值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679... 通常用π表示
计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)
圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧
大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧
连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径
圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上
且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角
内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 其圆心叫做三角形的外心
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心
扇形:在圆上
由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形
圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径称为圆锥的母线
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆-⊙ 半径-r 弧-⌒ 直径-d
扇形弧长/圆锥母线-l 周长-C 面积-S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点 则PO是点到圆心的距离) P在⊙O外
PO>r;P在⊙O上
PO=r;P在⊙O内 PO<r
</r
直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交 这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点叫做切点
以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P 则PO是AB到圆心的距离):AB与⊙O相离 PO>r;AB与⊙O相切 PO=r;AB与⊙O相交 PO<r
</r
两圆之间有5种位置关系:无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离
在之内叫内含;有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切
在之内叫内切;有两个公共点的叫相交 两圆圆心之间的距离叫做圆心距 两圆的半径分别为R和r 且R≥r 圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<p<r+r;内切p=r-r;内含p<r-r
</p<r+r;内切p=r-r;内含p<r-r
圆的平面几何性质和定理
一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆
圆的对称性质:圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条通过圆心的直线 圆也是中心对称图形 其对称中心是圆心
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的2条弧
逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 并且平分弦所对的2条弧
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两个圆周角 两组弧 两条弦
两条弦心距中有一组量相等
那么他们所对应的其余各组量都分别相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点 到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角形三边距离相等
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的线段)
⑤圆O中的弦PQ的中点M 过点M任作两弦AB CD 弦AD与BC分别交PQ于X Y 则M为XY之中点
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端 并且垂直于这条半径的直线 是这个圆的切线
切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径
切线长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等 那点与圆心的连线平分切线的夹角
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=π(R^2-r^2) 5.圆锥侧面积S=πrl 圆的解析几何性质和定理
〖圆的解析几何方程〗
圆的标准方程:在平面直角坐标系中 以点O(a b)为圆心
以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
圆的一般方程:把圆的标准方程展开
移项
合并同类项后
可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和标准方程对比 其实D=-2a E=-2b F=a^2+b^2-r^2
圆的离心率e=0 在圆上任意一点的曲率半径都是r
〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内
直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0 可得y=(-C-Ax)/B (其中B不等于0) 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>0 则圆与直线有2交点 即圆与直线相交
如果b^2-4ac=0 则圆与直线有1交点 即圆与直线相切
如果b^2-4ac<0 则圆与直线有0交点 即圆与直线相离
2.如果B=0即直线为Ax+C=0 即x=-C/A 它平行于y轴(或垂直于x轴)
将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 令y=b 求出此时的两个x值x
1、x2 并且规定x1
当x=-C/Ax2时 直线与圆相离;
当x1
半径r 直径d
在直角坐标系中 圆的解析式为:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圆心坐标为(-D/2 -E/2)
其实不用这样算 太麻烦了
只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2 -E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号(圆心坐标的平方和-F) 圆知识点总结
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆
圆心:圆中心固定的一点叫做圆心 用字母0表示
直径:通过圆心
并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径 用字母d表示
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段 叫做圆的半径 用字母r表示
圆的直径和半径都有无数条 在同圆或等圆中:直径是半径的2倍 半径是直径的1/2.
圆的半径决定了圆的大小 圆心决定了圆的位置
圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长 用C表示
圆的周长与直径的比值叫做圆周率
圆周率是一个固定的数 它是一个无限不循环小数 用字母π表示 近似等于3.14
直径所对的圆周角是直角
90度的圆周角所对的弦是直径
圆的面积公式:πr方 用字母S表示
第25章 概率初步 知识框图
第26章 二次函数
知识框图
定义与定义表达式
一般地
自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0 a、b、c为常数) 则称y为x的二次函数
顶点式:y=a(x-h)^2+k
交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:(a b c为常数 a≠0 且a决定函数的开口方向 a>0时
开口方向向上 a<0时
开口方向向下
IaI还可以决定开口大小 IaI越大开口就越小 IaI越小开口就越大 )
二次函数表达式的右边通常为二次
x是自变量 y是x的二次函数
x1
x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像
可以看出
二次函数的图像是一条永无止境的抛物线
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形 对称轴为直线x = -b/2a
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P
特别地 当b=0时
抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P 坐标为P ( -b/2a (4ac-b²)/4a )
当-b/2a=0时
P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时 P在x轴上
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a>0时
抛物线向上开口;当a<0时 抛物线向下开口
|a|越大
则抛物线的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a与b同号时(即ab>0)
对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0 也就是-b/2a<0 所以b/2a要大于0 所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0) 对称轴在y轴右
因为对称轴在右边则对称轴要大于0 也就是-b/2a>0
所以b/2a要小于0 所以a、b要异号
事实上
b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值
可通过对二次函数求导得到
5.常数项c决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴交于(0 c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac>0时 抛物线与x轴有2个交点
Δ= b²-4ac=0时 抛物线与x轴有1个交点
_______
Δ= b²-4ac<0时 抛物线与x轴没有交点
X的取值是虚数(x= -b±√b²-4ac的值的相反数 乘上虚数i 整个式子除以2a)
当a>0时
函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数 在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不变
当b=0时
抛物线的对称轴是y轴 这时
函数是偶函数
解析式变形为y=ax²+c(a≠0)
7.定义域:R
值域:(对应解析式 且只讨论a大于0的情况
a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b²)/4a 正无穷);②[t 正无穷)
奇偶性:偶函数
周期性:无
解析式:
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0 则抛物线开口朝上;a<0 则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a (4ac-b²)/4a);
⑷Δ=b²-4ac
Δ>0 图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a 0)和([-b+√Δ]/2a 0);
Δ=0 图象与x轴交于一点:
(-b/2a 0);
Δ<0 图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)²+t[配方式]
此时
对应极值点为(h t)
其中h=-b/2a t=(4ac-b²)/4a);
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]
a≠0 此时
x
1、x2即为函数与X轴的两个交点
将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特别地
二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c
当y=0时
二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)
即ax²+bx+c=0
此时
函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
1.二次函数y=ax²
y=a(x-h)² y=a(x-h)² +k y=ax²+bx+c(各式中 a≠0)的图象形状相同 只是位置不同
它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
y=ax²
y=ax²+K
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
顶点坐标
(0 0)
(0 K)
(h 0)
(h k)
(-b/2a sqrt[4ac-b²]/4a)
对 称 轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时
y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到
当h<0时
则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0
k>0时
将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位 再向上移动k个单位
就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h>0 k<0时
将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位
再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0 k>0时
将抛物线向左平行移动|h|个单位
再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0 k<0时
将抛物线向左平行移动|h|个单位
再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
因此
研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象 通过配方
将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式 可确定其顶点坐标、对称轴
抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时 开口向上
当a<0时开口向下 对称轴是直线x=-b/2a 顶点坐标是(-b/2a [4ac-b²]/4a).
3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0) 若a>0 当x ≤ -b/2a时
y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时 y随x的增大而增大.若a<0 当x ≤ -b/2a时
y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时 y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交 交点坐标为(0 c);
(2)当△=b²-4ac>0 图象与x轴交于两点A(x? 0)和B(x? 0)
其中的x1 x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外
抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时 图象落在x轴的上方 x为任何实数时 都有y>0;当a<0时 图象落在x轴的下方 x为任何实数时 都有y<0.
5.抛物线y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0) 则当x= -b/2a时
y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.
顶点的横坐标
是取得最值时的自变量值 顶点的纵坐标 是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时 可设解析式为一般形式:
y=ax²+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时 可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时 可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用 而形成较为复杂的综合题目 因此
以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题 往往以大题形式出现.
第27章 相似 知识框图
相似三角形的认识
对应角相等
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 (similar triangles)
互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断 (对应边成比例 对应角相等)
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理 是以下判定方法证明的基础
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似;
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似
2.两个等腰直角三角形一定相似
3.两个等边三角形一定相似
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
并且分成的两个直角三角形也相似
射影定理
三角形相似的判定定理推论
推论一:顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似
推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似
推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似
推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似
推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似
推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比
2.相似三角形周长的比等于相似比
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形的特例
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 (congruent triangles)
全等三角形是相似三角形的特例 全等三角形的特征:
1.形状完全相同 相似比是k=1
全等三角形一定是相似三角形 而相似三角形不一定是全等三角形
因此
相似三角形包括全等三角形
全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形
(注:全等三角形是相似三角形中的特殊情况)
当两个三角形完全重合时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角
由此
可以得出:全等三角形的对应边相等 对应角相等
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角;
(3)有公共边的 公共边一定是对应边;
(4)有公共角的 角一定是对应角;
(5)有对顶角的 对顶角一定是对应角;
三角形全等的判定公理及推论
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或"边边边") 这一条也说明了三角形具有稳定性的原因
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或"边角边")
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或"角边角")
由3可推到
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或"角角边")
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或"斜边
直角边")
所以 SSS SAS ASA AAS HL均为判定三角形全等的定理
注意:在全等的判定中 没有AAA和SSA 这两种情况都不能唯一确定三角形的形状
A是英文角的缩写(angle) S是英文边的缩写(side)
全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等
2、全等三角形的对应边上的高对应相等
3、全等三角形的对应角平分线相等
4、全等三角形的对应中线相等
5、全等三角形面积相等
6、全等三角形周长相等
7、三边对应相等的两个三角形全等 (SSS)
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (HL)
全等三角形的运用
1、性质中三角形全等是条件 结论是对应角、对应边相等
而全等的判定却刚好相反
2、利用性质和判定
学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键 在写两个三角形全等时 一定把对应的顶点 角、边的顺序写一致 为找对应边 角提供方便
3 当图中出现两个以上等边三角形时 应首先考虑用SAS找全等三角形
4、用在实际中
一般我们用全等三角形测等距离 以及等角
用于工业和军事 有一定帮助
全等三角形做题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等
因此我们可以来采取逆思维的方式
来想要证全等 则需要什么
另一种则要根据题目中给出的已知条件 求出有关信息
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等
位似
概念:相似且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行的两个图形叫做位似
位似一定相似但相似不一定位似~
第二十八章锐角三角函数
知识框图
第25章 投影与视图 知识框图
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- 1 -
我这棵小树是从沙石风雨中长出来的,你们可以去山上试试,由沙石长出来的小树,要拔去是多么的费力啊!但从石缝里长出来的小树,则更富有生命力.
第二篇:人教版初一数学知识点总结3
七年级数学(上)知识点
人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.
第一章
有理数
一.
知识框架
二.知识概念
1.有理数:
(1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数;
(2)有理数的分类
①
②
2.数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0
Û
a+b=0
Û
a、b互为相反数.
4.绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)
绝对值可表示为:或
;绝对值的问题经常分类讨论;
5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数
>
0,小数-大数
<
0.
6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若
a≠0,那么的倒数是;若ab=1Û
a、b互为倒数;若ab=-1Û
a、b互为负倒数.
7.
有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
8.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:a+b=b+a
;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10
有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
11
有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac
.
12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,.
13.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a
-b)n=-(b-a)n
,
当n为正偶数时:
(-a)n
=an
或
(a-b)n=(b-a)n
.
14.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
15.科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减.
本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.
体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣,教师培养学生的观察、归纳与概括的能力,使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时,应该多创设情境,充分体现学生学习的主体性地位。
第二章
整式的加减
一.知识框架 二.知识概念
1.单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.
3.多项式:几个单项式的和叫多项式.
4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。
通过本章学习,应使学生达到以下学习目标:
1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系。
2.理解同类项概念,掌握合并同类项的方法,掌握去括号时符号的变化规律,能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上,进行整式的加减运算。
3.理解整式中的字母表示数,整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
4.能够分析实际问题中的数量关系,并用还有字母的式子表示出来。
在本章学习中,教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
第二章
一元一次方程
一.
知识框架
二.知识概念
1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
2.一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
3.一元一次方程解法的一般步骤:
整理方程
……
去分母
……
去括号
……
移项
……
合并同类项
……
系数化为1
……
(检验方程的解).
4.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:…………
多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:
…………
多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
11.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:
距离=速度·时间
;
(2)工程问题:工作量=工效·工时
;
(3)比率问题:
部分=全体·比率
;
(4)顺逆流问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:
售价=定价·折·
,利润=售价-成本,
;
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形
=2(a+b),S长方形=ab,
C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc
,V正方体=a3,V圆柱=πR2h
,V圆锥=πR2h.
本章内容是代数学的核心,也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣,所以要注意引导学生从身边的问题研究起,让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识,提升能力,体会数学思想方法。
第三章
图形的认识初步
知识框架
本章的主要内容是图形的初步认识,从生活周围熟悉的物体入手,对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上,认识一些简单的平面图形
——直线、射线、线段和角.
本章书涉及的数学思想:
1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时,应注意对这些点分情况讨论;在画图形时,应注意图形的各种可能性。
2.方程思想。在处理有关角的大小,线段大小的计算时,常需要通过列方程来解决。
3.图形变换思想。在研究角的概念时,要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用,如立体图形与平面图形的互相转化。
4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时,总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。
七年级数学(下)知识点
人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。
第五章
相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念
1.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角:
同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题:判断一件事情的语句叫命题。
7.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。
8.对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质
对顶角的性质:对顶角相等。
10垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
11.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等。
性质2:两直线平行,内错角相等。
性质3:两直线平行,同旁内角互补。
13.平行线的判定:
判定1:同位角相等,两直线平行。
判定2:内错角相等,两直线平行。
判定3:同旁内角相等,两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
第六章
平面直角坐标系
一.知识框架
二.知识概念
1.有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)
2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点:水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标:对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限:两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡,同时它又是学习函数的基础,起到承上启下的作用。另外,平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来,体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发,通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
第七章
三角形
一.知识框架
二.知识概念
1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。
12.公式与性质
三角形的内角和:三角形的内角和为180°
三角形外角的性质:
性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角和:多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形,在学习过程中,教师应该多鼓励学生动脑动手,发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
第八章
二元一次方程组
一.知识结构图
二、知识概念
1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次。方程,一般形式是
ax+by=c(a
≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
6.代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
7.加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:二元一次方程组解决实际问题
第九章
不等式与不等式组
一.知识框架
二、知识概念
1.用符号“<”“>”“≤
”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成6.了一个一元一次不等式组。
7.定理与性质
不等式的性质:
不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识。
第十章
数据的收集、整理与描述
一.知识框架
全面调查
抽样调查
收集数据
描述数据
整理数据
分析数据
得出结论
二.知识概念
1.全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2.抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3.总体:要考察的全体对象称为总体。
4.个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
5.样本:被抽取的所有个体组成一个样本。
6.样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
7.频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
8.频率:频数与数据总数的比为频率。
9.组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。
本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动,经历统计的一般过程,感受统计在生活和生产中的作用,增强学习统计的兴趣,初步建立统计的观念,培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
第三篇:2014年人教版高中数学知识点总结
fxfxgxfxgxgx02gx3gx.
6、在某个区间a,b内,若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递增;
若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递减.
7、求函数yfx的极值的方法是:解方程fx0.当fx00时: 1如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值; 2如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极小值.
8、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是:
1求函数yfx在a,b内的极值;
2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa,fb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。
第四部分复数
1.概念:
(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0;
(2) z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;
(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),
则:
(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i;
(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
(3) z1÷z2 =(abi)(cdi)bdbcad (z≠0) ; ac2i(cdi)(cdi)c2d2c2d2
3.几个重要的结论:
(1) (1i)22i;⑷1ii;1ii; 1i1i
(2) i性质:T=4;i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i;i4ni4n1i42i4n30;
(3) z1zz1
1。 z
m
m
4.运算律:(1)zmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN); 5.共轭的性质:⑴(z1z2)z1z2 ;⑵z1z2z1z2 ;⑶(
z1z
)1 ;⑷ z2z2
zz。
6.模的性质:⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|;⑵|z1z2||z1||z2|;⑶
|
z1|z1|
;⑷|zn||z|n; |
z2|z2|
第五部分统计案例
1.线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程:ybxa(最小二乘法)
n
xiyinxy
i1
bn
2注意:线性回归直线经过定点(x,y)。 2xnxi
i1aybx
2.相关系数(判定两个变量线性相关性):r
(x
i1
n
i
x)(yiy)
n
(x
i1
n
i
x)2(yiy)2
i1
注:⑴r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;
⑵①|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②|r| 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定:
⑴总偏差平方和:(yiy)⑵残差:eiyiyi;⑶残差平方和:
i1n
(yiyi)
i1
n
;⑷回归平方和:(yiy)-(yiyi)2;⑸相关指数
i1
i1
nn
R21
(y(y
i1i1n
n
i
yi)2
。
i
yi)2
注:①R2得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②R2越接近于1,,则回归效果越好。 4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量K2越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
第六部分推理与证明
一.推理:
类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。
推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 反证法
误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
第四篇:高中数学人教版必修1知识点总结梳理
一 集合
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的对象的全体。
2、集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
3、集合的表示:
(1)用大写字母表示集合:A,B„
(2)集合的表示方法:
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来
{a,b,c„„} b、描述法:集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合, c、维恩图:用一条封闭曲线的内部表示.
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系:(A; 注意:常用数集及其记法: 非负整数集:(即自然数集)N
正整数集: N*或 N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
6、集合间的基本关系 (1)“包含”关系—子集
定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA) 注意:有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2)“包含”关系—真子集
如果集合,但存在元素x(B且xA,则集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) (3“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等”,如果A(B 同时 B(A 那么A=B 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (4)集合的性质
① 任何一个集合是它本身的子集,A(A ②如果 A(B, B(C ,那么 A(C
③如果AB且BC,那么AC ④有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 集合的运算
运算类型 交
集 并
集 补
集
定
义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’) 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’)
全集:一般,若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:U 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作,
韦恩图示
性
质 A ∩ A=A
A ∩Φ=Φ A ∩B=BA A ∩BA A ∩BB A U A=A
A U Φ=A A U B=B U A
A U BA A U BB
AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.
二 函数
1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A.
2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法:(1)解析法:(2)图象法:(3)列表法:
4.函数的基本性质
a、函数解析式子的求法 (1)代入法:(2)待定系数法: (3)换元法:(4)拼凑法:
b、定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数大于等于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)零次幂式的底数不等于零; (5)分段函数的各段范围取并集; (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. c、相同函数的判断方法;(定义域一致②对应法则一致
d.区间的概念:
e.值域 (先考虑其定义域) 5.分段函数
6.映射的概念
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:函数是特殊的映射。
7、函数的单调性(局部性质) (1)增减函数定义 (2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法: 取值; 作差; 变形; 定号; 结论. (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8、函数的奇偶性(整体性质) (1)奇、偶函数定义
(2)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; b、确定f(-x)与f(x)的关系;
c、作出相应结论:若f(-x) = f(x), 则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x),则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. (4)函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值
9、 基本初等函数
一、一次函数
二、二次函数:二次函数的图象与性质,注意:二次函数值域求法
三、指数函数
(一)指数
1、有理指数幂的运算法则
2、根式的概念
3、分数指数幂
正数的分数指数幂的 ,
(二)指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
2、指数函数的图象和性质 a>1 0
定义域 R 定义域 R 值域 值域
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)
四、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)
两个重要对数:
常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数的对数.
(二)对数的运算性质 如果,且,,,那么:
·+;
-;
.
注意:换底公式
(,且;,且;). 利用换底公式推导下面的结论 (1);(2).
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2、对数函数的性质: a>1 0
定义域 定义域
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)
五、幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
10、方程的根与函数的零点
(1)函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。 (2)函数零点个数的求法:(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二次函数的零点:判断 (4)二分法可用来求变号零点.
第五篇:【人教版】小学数学六年级上册知识点总结
【编者按】小学六年级数学是小学阶段学习数学的最后一年,它是同学们进入中学学好数学的关键。在上册中,同学们会学习到新的本领,比如:用两个数据来确定物理的位置,分数计算,用圆、百分数的知识来解决生活中的问题等。
一、目标与要求
1.使学生能在方格纸上用数对确定位置。
2.使学生理解分数乘法的意义,掌握分数乘法的计算法则,并能熟练地进行计算。 3.使学生理解倒数的意义,掌握求倒数的方法。
4.理解并掌握分数除法的计算方法,会进行分数除法计算。
5.理解比的意义,知道比与分数、除法的关系,并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。
6.使学生认识圆,掌握圆的特征;理解直径与半径的相互关系;理解圆周率的意义,掌握 圆周率的近似值。
7.使学生理解和掌握求圆的周长与面积的计算公式,并能正确地计算圆的周长与面积。
二、重、难点
1.能用数对表示物体的位置,正确区分列和行的顺序;
2.使学生理解分数乘整数的意义,掌握分数乘整数的计算方法; 3.掌握求倒数的方法;
4.圆的周长和圆周率的意义,圆周长公式的推导过程; 5.百分数的意义,求一个数是另一个数的百分之几的应用题;
6.理解圆周率“π”;圆面积计算公式的推导以及画具有定半径或直径的圆; 7. 理解比的意义。
三、知识点概念总结
1.分数乘法:分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数:数形结合、转化化归 5.倒数:乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数
找一个分数的倒数,例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。 则是4/3。3/4是4/3的倒数,也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数
找一个整数的倒数,例如12,把12化成分数,即12/1 ,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。 则是1/12 ,12是1/12的倒数。 8.小数的倒数
普通算法:找一个小数的倒数,例如0.25 ,把0.25化成分数,即1/4 ,再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法:也可以用1去除以这个数,例如0.25 ,1/0.25等于4 ,所以0.25的倒数4 ,因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 10.分数除法:分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
12.分数除法的意义:与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。
13.分数除法应用题:先找单位1。单位1已知,求部分量或对应分率用乘法,求单位1用除法。 14.比和比例:
比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括: 比,等同于算式中等号左边的式子,是式子的一种(如:a:b);比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同(如:a:b=c:d)。 所以,比和比例的联系就可以说成是:比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值
相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质:比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。
比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。
比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。
16.比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。
17.比和比例的区别
(1)意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。 如:a:b 这是比 比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。 a:b=3:4 这是比例。
(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质: 比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数。比值不变。比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。 比例的性质用于解比例。联系: 比例是由两个相等的比组成。
18.比和比例的意义
比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫做比例。比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。因此,比和比例的意义也有所不同。 而且,比号没有括号的含义 而另一种形式,分数有括号的含义! 19.比和比例的联系:
比和比例有着密切联系。 比是研究两个量之间的关系,所以它有两项;比例是研究相关联的两种量中两组相对应数的关系,所以比例是由四项组成。 比例是由比组成的,如果没有两种量的比,比例就不会存在。比例是比的发展,如果把比例式中右边的比看成一个数,比和比例此时又可以统一起来。 如果两个比相等,那么这两个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。
20.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
21.圆心:圆任意两条对称轴的交点为圆心。 注:圆心一般符号O表示
22.直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
23.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。 圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
24.圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。 25.圆周率:圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
26.圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2;,用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 27.周长计算公式 (1)已知直径:C=πd (2)已知半径:C=2πr (3)已知周长:D=c/π
(4)圆周长的一半:1/2周长(曲线) (5)半圆的周长:1/2周长+直径(π÷2+1) 28.面积计算公式: (1)已知半径:S=πr2 (2)已知直径:S=π(d/2) (3)已知周长:S=π[c÷(2π)] 29.百分数与分数的区别
(1)意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。因此,百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系. (2)应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
(3)书写形式不同。百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义. (4)百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称。 30.百分数应用
百分数一般有三种情况: ①100%以上,如:增长率、增产率等。 ②100%以下,如:
2
2发芽率、成长率等。 ③刚好100%,如:正确率,合格率等。 31.百分数的意义
百分数只可以表示分率,而不能表示具体量,所以不能带单位。百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入。 32.日常应用
每天在电视里的天气预报节目中,都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等,提示大家提前做好准备,就像今天的夜晚的降水概率是20%,明天白天有五~六级大风,降水概率是10%,早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然,既清楚又简练。 知识点扩展 1.圆的定义
几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
2.圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧,半圆既不是优弧,也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。
3.圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心:和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。 5.扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
6.圆的种类:(1)整体圆形,(2)弧形圆,(3)扁圆,(4)椭形圆,(5)缠丝圆,(6)螺旋圆,(7)圆中圆、圆外圆,(8)重圆,(9)横圆,(10)竖圆,(11)斜圆。 7.圆和其他图形的位置关系:圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,0≤PO
8.百分数的由来
200多年前,瑞士数学家欧拉,在《通用算术》一书中说,要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的,因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份,每份是7/3米,就是一种新的数,我们把它叫做分数。而后,人们在分数的基础上又以100做基数,发明了百分数。