p级数的两个求和公式:p级数求和公式
第２０卷第４期天津科技大学学报
Ｖ０１．２０Ｎｏ．４２００５年１２月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｄｅｃ．
２００５
Ｐ－级数的两个求和公式睾
刘凤林，杨华
（天津科技大学理学院，天津３００２２２）
摘要：借助函数五（笫）＝争‘（ｏ≤ｚ≤仃）的余弦级数，给出了当Ｐ为偶数时ｐ－级数∑吉及
，
１、ｎ一１
雨
∑Ｌ牛的两个求和公式，从而解决了这一类ｐ－级数的求和问题。
”
ｎ
关键词：ｐ－级数；余弦级数；收敛；求和
中图分类号：０７３１．１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７２－６５１０（２００５）０４－００６５－０３
ＴｗｏＳｕｍｍａｔｉｏｎＦｏｒｍｕｌａｓｏｆｐ－ＳｅｒｉｅｓＬ１ＵＦｅｎｇ－ｌｉｎ．ＹＡＮＧＨｕａ
（Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ
Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉ删ｉｎ
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ
３００２２２，
Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｔｈｅａｉｄｏｆｃｏｓｉｎｅｓｅｒｉｅｓｏｆｔｈｅ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｋ（石）＝ｉ７／＂并‘（０≤石≤仃）．Ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒｓｏｆｆｅｒｓ
ｔｗｏ
ｓｕｍｍａｔｉｏｎ
ｆｏ瑚ｕ・ａｓ。ｒ＂ｅｒｉｅｓ
ｎ妻＝ｌ
Ａ矿－ａｎｄ砉Ｌ等＝讹ｅｎ
ｐｉｓ
ａｅｖｅｎ
ｎｕ讪ｅｒ，ｓ山ｅｓ
ｔｈｅ
ｓｕｍｍａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｐ－ｓｅｒｉｅｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｌｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐ—ｓｅｒｉｅｓ；ｃｏｓｉｎｅｓｅｒｉｅｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｓｕｍｍａｔｉｏｎ
级数求和是数学中一个重要的课题，历来为数学（ｋ为正整数）的余弦级数，工作者所重视，并为此付出了艰辛的努力。特别是Ｐ．
。
。
１
，１、ｎ一１
以（戈）＝下１ａｏ（Ｉ｜｝）＋∑ａｎ（ｋ）ｃｏｓｎｘ
（２）
级数∑砉及交错ｐ一级数∑Ｌ二三≠一有广泛的应用
ｎ２ｌ
‘ｏ
Ｂ＝ｌ
，ｏ
其中系数为
性，这更加吸引了众多的数学工作者去研究。但到目前为止也只见到了一些零星的求和结论，本文致力于以耻吾ｒ胁）ｃｏｓｎｘｄ石＝＂ｘ％ｏｓｎｘｄ邢）
这方面的研究，给出了当Ｐ为偶数时这两个级数的求以及正弦级数
和公式，供大家参考。
以（筇）＝∑ｂｎ（｜｜｝）ｓｉｎｎｘ
（４）
１
函数＾（Ｘ）＝詈矿（０≤ｘ≤７ｒ）的余弦级数、‘
其中系数为
正弦级数的系数的性质
级数求和是一个比较复杂的问题，ｐ．级数求和更
ｂｏ（．ｊ｝）＝三７７＂ｒ以（茄）ｓｉｎｎｘｄ并＝ｆ戈＾ｓｉｎｎｘｄ石（５）
∞
１
余弦级数与正弦级数的系数有如下性质。
加困难，本文研究Ｐ为偶数时ｐ一级数芝！寺的问题。再ｊ彤
性质１（３）中的ａ。（ｋ）与（５）中的ｂ。（ｋ）有如下为此我们考虑函数
关系式：
五（戈）＝９７ｒｘ‘
（０≤戈≤仃）
（１）
ｏ。（ｋ）＝一旦６。（ｋ一１）（ｎ＝１，２，…）
（６）
・
收稿日期：２００４・１２．３０
女＋作者简介：刘凤林（１９５５一），男，天津市人，副教授
万
方数据
・６６・
天津科技大学学报第２０卷第４期
以炉掣＋知ｍ１）’
（ｎ＝１，２，…）
（７）
（ｎ＝１，２，…）（１０）
口。（后）＝ｒ名‘把新ｋ＋ｌ
五（茄）的余弦级数为
（１１）
证明
由定积分分部积分法，
“ｌ｜｝）＝ｆ
ｎ
ｘｋｅ０８腻如＝牮卜
菇
将ｏ。（ｋ）及ｏ。（ｋ）（ｎ＝１，２，…）代人（２）式，得
告ｒ菇ｋ－１ＳＳｌ‘ｎ础出＝一告６。（后一１１）
——Ｊ
础ｄ戈＝一——Ｄ。Ｉ尤一
ｎ”
Ｊ
Ｊｏ
％‘＝热＋∑（一１）”南！２丽＋刍卜肿！
ｒ
ｒ
７ｒ７ｒ７ｒ
（７）式同理可证。
性质２（３）中的口。（ｋ）及（５）中的ｂ。（ｋ）有如下递推公式：
ｎ。（五）：【二二掣一掣。。（矗一２），
…．＋Ｌ丛ｋ］ｃ。。Ｍ
且化简，得
Ｖ
ｒ
互
一
。ｎ２（矗一１）！ｎ４（ｋ一３）！。ｎ６（ｋ一５）！
ｊ…‘。”
（１２）
＼‘。，
上式在０≤戈≤７ｒ上成立。用戈＝７ｒ代入上式，并
（８）
互
＋
以吣掣一≮掣¨㈣），
（穆＝１，２，…）（ｎ＝１，２，…）
证明由性质１
互
ｆ≥。ｎ２（矗一１）！ｎ４（局一３）！。ｎ６（ｋ一５）！
（９）
一
…・＋岂Ｐ］＝采备
凡
二ｋ托１＿上，：
㈤，
ｎ。（％）＝一争。（忌一１）＝
因为，当ｐ＞１时ｐ。级数至方收敛，将其和记作
ｏ－（ｐ），现在只考虑Ｐ＝２，４，６，…由级数收敛的性质及
（１３）式，有
凡
Ｊ
量二二掣一掣。。（后一２）．
ｎ
Ｌ
ｎ
一告［盟孚芷＋譬“㈧）】＝
ｏ－（ｐ）２葑盯（ｐ一２）一葑矿（ｐ一４）”．．＋
（
一
（９）式同理可证。
２
镨Ｐ１巾）＋锵２
）！
ｕ、＿７
（Ｐ
＋
１，）
’
ｐ。级数三嘉求和公式
为了求ｐ’级数互砉（ｐ为偶数）的和，考虑函数
（ｏ≤搿≤７ｒ，其中ｋ为偶数）的余弦级数。
（Ｐ＝２，４，６，…）
（１４）
这就是级数至寺的求和递推公式。通过递推可
以得到一些级数的和，如
以（咒）＝％‘
熹≯１吲２，＝杀责＝吾
薹÷＝署帕，一者备＝普
荟嘉２葑盯（４）一葑盯（２）＋
２（６＋１）！一３×７１
决。
。。（知）：Ｌ掣一掣
．［【—二ｊ二Ｌｊ￡墨掣一量墨二二呈立掣口。（．｜｝一４）］：
用性质２进行逐次递推，可以得到其系数（二１２：纽！一（＝！）：！（墨二！）（墨二兰２堑！。
∥
ｎ４
鱼互！一盟
至此，当Ｐ为偶数时，ｐ一级数的求和问题得以解如果用戈＝０代入（１２）式，并且化简，还有
墨（墨二１２（盘＝兰）（墨二盟ｒ（二１
。
王生＿＝二堡攀。。（后一６）］：……：（一１）ｎ后！
ｎ４
ｎ２
，‘
２：（墨二兰２互！一
÷ｒ（二！）：笪！一（二！￡互！＋
≠量。ｎ２（ｋ一１）！
ｎ４（ｋ一３）！
ｏｉ面一ｉ而＋藏丽一。…．＋Ｌ华］
ｒ
仃＾－。仃＾～仃＾一５
（二１
２：：！互！……．
ｏ一
ｎｏ（ｋ一５）！
号Ｐ］＝２群ｋ备１
ｎ‘
（
＋
）！
（１５）
、１—７
万方数据
２００５年１２月
刘凤林，等：ｐ－级数的两个求和公式
・６７・
看记
主≮乒叫ｐ）∽２，４，６…）
砉Ｌ刍
丢匕＝葑２丁（４）一葑４ｎ
６
一！八叫
３５
！八纠。
ｒ（２）＋
仃６
３１７ｒ６
由级数收敛性质及（１５）式，可得
２（６＋１）！一６×７１
下（ｐ）＝葑丁（ｐ＿２）一玎７／＂下（ｐ一４）＋．．…＋
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惫
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１”…
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！
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万
方数据
p-级数的两个求和公式
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘凤林， 杨华， LIU Feng-lin， YANG Hua天津科技大学理学院,天津,300222
天津科技大学学报
JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY2005，20(4)0次
参考文献(4条)
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