数学分析在高等代数中的某些应用_数学分析和高等代数是数学几

第１７卷第３期

河南教育学院学报（自然科学版）

Ｖ０１．１７Ｎｏ．３２００

８年９月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ

Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

Ｓｅｐ．２００８

数学分析在高等代数中的某些应用

王莲花１，鞠红梅１，李战国２

（１．北京物资学院信息学院，北京１０１１４９；２．河南农业大学信息管理学院，河南郑州４５０００２）

摘要：高等代数中的某些问题，若用代教学的方法解决起来可能相当繁琐，但若结合数学分析的方法，则问题往往会迎刃而解．该文使用数学分析中的函数连续性和无穷区间的广义积分知识解决某些矩阵问题和二次型问题．

关键词：连续函数；广义积分；矩阵；二次型中圈分类号：０１５１；０１７１

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—０８３４（２００８）０３—００１５—０４

ｌ

函数连续性在解决矩阵问题中的应用当Ａ为奇异矩阵时，对一切充分小的ｔ＞０。矩阵命题１设Ａ是一个儿×，ｌ矩阵，则

Ａ＋坦为非奇异矩阵，由上述已证结论有

（１）除有限个值外，Ａ＋堪为非奇异矩阵（ｔ为数

（（Ａ＋￡Ｅ）‘）’＝ｌＡ＋ｔＥ

８‘２（Ａ＋ｔＥ），

域Ｐ中的元素）；

上式矩阵中的每个元素均为ｔ的连续函数。所以令

（２）一定存在５＞０，使得对一切ｔＥ（０，∞，Ａ＋ｔ－＋０＋，得

堀为非奇异矩阵．

（Ａ‘）‘＝ＩＡＩ”２Ａ．

证明

（１）记八ｔ）＝ＩＡ＋腰Ｉ＝Ｉ垣一（一Ａ）Ｉ，

例２

设Ａ，曰是儿×ｎ矩阵，Ａ‘为Ａ的伴随矩则，（ｔ）是关于ｔ一元ｎ次多项式．由代数基本定理阵，贝０（ＡＢ）‘＝Ｂ’Ａ’．‘２１

知，矩阵（一Ａ）在数域Ｐ中至多有厅个特征根Ａ．，证明

当Ａ，Ｂ均为非奇异矩阵时，则ＡＢ也是

Ａ：，…，Ａ。，因此。除有限个特征根外，Ａ＋堀为非奇非奇异矩阵。于是有

异矩阵．

（ＡＢ）’＝ＩＡＢＩ（ＡＢ）“

（２）取６为矩阵（一Ａ）非零特征根的绝对值或＝（Ｉ曰１日“）（Ｉ

Ａ

Ａ“）＝Ｂ’Ａ’．

模的最小值，则对于任意ｔＥ（０，６），Ａ＋坦是非奇异当Ａ，Ｂ至少有一个为奇异矩阵时，由命题１知，矩阵．

对一切充分小的ｔ＞０，矩阵Ａ＋堀和曰＋ｔＥ均为非例１

证明：（Ａ‘）‘＝Ｉ

Ａ

Ｉ”１Ａ，其中Ａ是ｎ×ｎ

奇异矩阵，由上述已证结论有

矩阵（ｎ＞２）．‘１１

（（Ａ＋ｔＥ）（曰＋ｔＥ））’＝（曰＋ｔＥ）’（Ａ＋ｔＥ）‘，证明当Ａ为非奇异矩阵时，由Ａ’＝Ｉ

ＡＩＡ一

上式矩阵中的每个元素均为ｔ的连续函数，所以令ｔ知

一０＋。得

（Ａ’）‘＝ＩＡ‘ｌ（Ａ‘）卅

（ＡＢ）’＝Ｂ‘Ａ‘．

＝ＩＩＡＡ－１

Ｉ（Ｉ

ＡＩ

Ａ＿１）．１

例３设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都是ｎ×１１，矩阵，且ＡＣ＝

＝Ｉ

Ａ…Ａ。１

ｌ击（Ａ。１）。１

ＣＡ．证明：

Ａｃ

曰ｌ：ｌＡＤ—ｃ曰１．

Ｄ

＝Ｉ

ＡＩ“ＩＡｌ一１

ｉ—：；ｉｊ．Ａ＝Ｉ

Ａ

ｌ４—２Ａ・

该题是文献［１］中补充题６的进一步扩充，即

收稿日期：２００８—０２—２８

基金项目：北京物资学院教育教学改革资助项目

作者简介：王莲花（１９“一），女。河南宁陵人，北京物资学院副教授．主要从事代数教学与研究

・１５・

去掉条件Ｉ

Ａ

Ｉ≠０．

证明

当Ｉ

Ａ

Ｉ≠０时，由于

［一三一。：］［三三】【三一：１Ｂ】＝

【三。一飘】，

两边取行列式，得

：三．。：ｌｌ三三ｌｌ三，一：１曰ｌ＝Ａ

Ｄ

。一飘Ｉ．

因ｌ一三一。：Ｉ＝，和ｌ三一：１日ｌ＝１，Ｊｔ

ＡＣ＝

ＣＡ。则

ｌＡ曰｝：ｌ

ＡｌＩＤ—ｃＡ。Ｂｌ：ｌ

ＡＤ—ＡｃＡ—Ｂｌ

Ｃ

ＤＩ

＝Ｉ＾Ｄ—Ｃ曰１．

当ｌ

Ａ

ｌ＝０时，由命题１，存在６＞０，使得Ａ＋

腰为非奇异矩阵，又ＡＣ＝ＣＡ，则（Ａ＋ｔＥ）Ｃ＝Ｃ（Ａ＋ｔＥ），由已证的结论知

Ａ＋‘Ｅ

Ｃ

日ｌ：Ｉ（Ａ＋￡Ｅ）Ｄ—ｃ曰１．

Ｄ

由于上式两端是ｔ的连续函数，所以令ｔ＿０＋，则有

Ｉ＾曰ｌ：Ｉ

ＡＤ—ｃ趴ＣＤ

Ｏ，Ｉｉ

口ｈ例４设△＝

：

：

●

●

。ＡⅡ是ａⅡ的代数

口肝ｌ

口ｍｎ

余子式．求证：

ａｌｌ

口１ｎ

髫１

：

●

＝△一

３

口＾Ｉ

口¨茗ｎ

。∑ｐ

Ａ鬈Ｖ乃

，，Ｉ

Ｙ。

１

证明

设Ａ＝（口Ⅱ）…，Ｘ＝（善ｌ’．一，算。）’，

Ｙ＝（Ｙｌ＇．”，Ｙ。），则

口ｌＩ

ｄｌ＾菇ｌ

：

●

口ｎｌ口¨茗ｎ

＝匕

Ｙｌ

Ｙ。

１

（１）当Ａ为非奇异矩阵时，

Ｉ≥：Ｉ＝Ｉ三。一；二一．ｘＩ＝ｌ

Ａ－ｃ，一ｍ’１ｘ，

＝…（１一ｙ箫ｘ）

・１６・

＝Ｉ

ＡＩ—ＹＡ‘Ｘ＝ＩＡ

Ｉ一∑Ａ户。乃．

（２）当Ａ为奇异矩阵时，根据命题１知，存在常数５＞０，使得对任意ｔ∈（０，鳓，有Ａ。＝Ａ＋ｔＥ为非奇异矩阵，则

Ａｙｌ；ｌ＝ＩＡ．－一ｉ粪。Ａ。（１）互；乃，

其中，ＡⅡ¨’代表Ａ．中元素Ⅱｉ７的代数余子式．而上式两端均为ｔ的连续函数，所以令ｔ．＋０＋，得

ＩＡｙ二：ｌ＝ＩＡ

Ｉ一；粪。Ａ。龙。乃．

例５

证明

０

戈ｌ

名＾

以茗ｌ，…，茗．）＝

一茗Ｉ

口ｌＩ口ｌｎ：

●

一石＾口ｎ１口＾＾

是一个二次型．

证明

设Ａ＝（口ｉ）…，Ｘ＝（石ｌ’．一，舅。）７则

删＝Ｉ上孙

（１）当Ａ为非奇异矩阵时，由

以ｘ）：Ｐ－ｌｘｏｌ

—Ｘ

Ａ

ｌ：ｌ

Ａ

Ｉ（肌。ｘ）：

肌‘ｘ卅（等＋（等）’）ｘ，

可知

等＋（譬）’是一个对称矩阵，所以八ｘ）是

一个二次型．

当Ａ为奇异矩阵时，根据命题１知，存在常数

艿＞０，使得对任意ｔ∈（０，６），有Ａ。＝Ａ＋ｔＥ为非奇

异矩阵，则由已证的结论，有

删＝ｆ上孙ｘ’隆（钏ｘ，

而上式两端均为ｔ的连续函数，所以令ｔ＿０＋，得

Ａ

Ｘ）叫（等＋（等）’卜

因此，八Ｘ）是二次型．

例６若Ａ。Ｂ是ｎ阶方阵，则ＡＢ与ＢＡ的特征多项式相同．

证明

当Ａ为非奇异矩阵时，ＡＢ与ＢＡ相似，故

其特征多项式相同．

当Ａ为奇异矩阵时，根据命题１知，存在常数艿＞０，使得对任意ｔＥ（０，艿），有Ａ＋ｔＥ为非奇异矩阵，由上述结论得（Ａ＋ｔＥ）Ｂ与Ｂ（Ａ＋ｔＥ）有相同的

特征多项式，即

Ｉ

ＡＥ一（Ａ＋ｔＥ）ＢＩ＝ｌ

ＡＥ—Ｂ（Ａ＋ｔＥ）Ｉ，命题３设口；＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），且互不相

而上式两端均为ｔ的连续函数，所以令ｔ一０＋，得

ＩＡＥ—ＡＢＩ＝ＪＡＥ—ＢＡＩ．２

等．证明：

（１）方阵Ａ＝（—÷一）…为正定矩阵；

口ｊ十口；

无穷区间上的广义积分在解决有关二次型问题

中的应用

命题２

设二次型八Ｘ）＝ｘ’ＡＸ，其中Ａ＝

（÷）．。。是正定矩阵．

“ｉ

（２）若矩阵Ａ＝（口ｉ）…是正定矩阵，则Ｂ＝

（口。）。为实对称矩阵，Ｘ＝（茗Ｉ，．”，茗。）’．证明：

７叶

证明（１）显然Ａ是实对称矩阵．

（１）若口Ⅱ２南，则Ｉ

定矩阵．

Ｊ４Ｉ＞ｏ；

（２）若Ａ为正定矩阵，则曰＝（三与）…也是正

分析：利用数学分析中的一个无穷广义积分

ｆ（ｘ）．∥艏２荟争一‘去’

。荟；嘶Ｊ。ｅ一４‘’¨ｃｔｔ。Ｊ。（；（即１‘）；（ｘｊｅａｊ＃）ｄｔ

２

ｆ＋－ｅ…ｄ互：一１．

证明

Ｊ。（荟（即１’））２ｄｔ・

（１）已知口。＝≠＿，则‘十，

’

对任意Ｘ＝（省Ｉ，髫２，…，聋。）≠０，因口ｌ，口２，…，口。互不相同，则

Ｘ＝（ｚＩｅ””，石２ｅ１”，…，ｘｎｅ－４一）≠０，由于上式被积函数大于０，所以“ｘ）正定，即Ａ正定．

（２）对于二次型

删＝Ｘ＇ＡＸ＝蠢；ｎ筹

２荟荟碣。Ｊ。ｅ一州¨出

ｉ＝ｌ

；＝＇

ｏ

ｕ

２

Ｊ。萎荟ｘｉｘｉｅ－（ｉ＋ｉ）ｔ出Ｊ。荟叩～‘；＿一ｍＪ。（善叩础）２以

．ｆ（ｘ）＿Ｘ馏ｎ荟争巧‘煮’

●；川Ｚａｑｘ，ｘｊＪ。ｅ叫吒叶Ｈ山

２

５

２

Ｊ。（；荔口“（髫ｉｅ－ａｌｔ）（＿ｅ’Ⅶ

由此知，对于一切Ｘ≠０，被积函数都大于０，所以积分值大于０，即对于任何Ｘ≠０都有二次型八Ｘ）＝Ｘ’ＡＸ＞０，则灭ｘ）为正定二次型，于是Ａ正定矩

阵。所以Ｉ

Ａ

令Ｙ＝ｘｌｅ’ｑ‘，ｘ２ｅ—０２‘，…，茗。ｅ一４＾‘），当Ｘ＝（石Ｉ，毒２，…，茗。）≠０时，因口ｌ，口２，…，口。互不相同，则Ｙ≠０．因Ａ是正定矩阵，则被积函数即二次型Ｙ’ＡＹ＞０，所以积分值大于０，因此曰是正定矩阵．

注：命题３显然是命题２的推广．下面给出命题

３的２个应用．

例７

试证

．

Ｉ＞０．

（２）设

ｇ（ｘ）＝Ｘ＇ＢＸ

２静省ｘ

‘ｔ，

２；蚤ａｑｘｌｘｉｆ。ｅ。‘叫¨ｄｔ

２

１

１１

ｎ

虿

１３

１

Ａ＝

２

１ｎ＋１

Ｊ。善；Ｖ搿一州”出Ｌ；；口“ｘｉｅ－ｉｔ）（＿ｅ和）ｄｔ

２

１

ｎ

１ｎ＋１

１２ｎ＋１

令Ｙ＝（石ｌｅ～，Ｘ２ｅ。２‘，Ｌ，茹。ｅ“），则对任意Ｘ≠０，有Ｙ≠０，而Ａ为正定矩阵，故二次型Ｙ’ＡＹ＝

是正定矩阵．

证明

∑∑口“（茗。ｅ－ｉｔ）（勺ｅ叫）正定，即对于任意Ｙ≠ｏ，总

有ｌ，７ＡＹ＞０．因此，对任意Ｘ≠０。上式的被积函数总大于０，其积分值大于０，所以ｇ（Ｘ）＝Ｘ’ＢＸ为正定

二次型．因此Ｂ为正定矩阵．

显然Ａ是对称矩阵，令口。＝ｉ１，口：＝１

（—÷）…，由命题３（１）知，Ａ是ｉＥ定矩阵．

口‘十口ｉ

＋丢，口，＝２＋虿１，…，口。＝（ｎ一１）＋ｉ１，则Ａ＝

・１７・

例８设Ａ，日为ｎ阶矩阵，且曰为正定矩阵，若

定矩阵，又Ａ的特征值为互不相等的负数，所以一Ａｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），由命题３（２）知，矩阵（Ｃｉ）…＝

矩阵方程ＡＸ＋ＸＡ＝一Ｂ有唯一解Ｃ，且Ａ的特征值为互不相等的负数，求证Ｃ为正定矩阵．

证明

先证Ｃ是对称矩阵．由ＡＣ＋ＣＡ＝一曰知，

（—÷－）…＝Ｑ’ｃＱ是正定矩阵，从而Ｃ也是正

ｂ

‘。Ａｉ—Ａｊ

Ｃ＇Ａ’＋Ａ’Ｃ’＝一Ｂ’。即Ｃ＇Ａ＋ＡＣ’＝一Ｂ，则Ｃ’也是方程

定矩阵．

ＡＸ＋ＸＡ＝一Ｂ的解，由解的唯一性知Ｃ７＝Ｃ

再证Ｃ正定矩阵．因为Ａ是实对称矩阵，一定存在正交矩阵Ｑ，使得

Ｑ７ＡＱ＝ｄｉａｇ（Ａｌ，Ａ２，…，Ａ。），

其中Ａｉ＜０（ｉ＝１，２，…，ｎ）为Ａ的不同的特征值．

令Ｑ’ＢＱ＝（ｂｉ）…，Ｑ’ＣＱ＝（Ｃ口）…，则由ＡＣ＋

ＣＡ＝一Ｂ。得

由上讨论可知。高等代数与数学分析虽然属于不同的学科，但是二者在解决问题时却相互渗透，彼此相通．因此，教师在教学过程中，要强调不同学科的交融性，培养学生融合知识的能力，进而达到培养其创新思维能力的效果．

参考文献

ＱｔＡＱ・Ｑ１ＣＱ＋Ｑ’ＣＱ・Ｑ’ＡＱ＝一ＱｆＢＱ．

且ｐ

ｄｉａｇ（Ａｌ，Ａ２，…，Ａ．）（。Ⅱ）。。。＋（Ｃｉ）。。。ｄｉａｇ（Ａｌ，

［Ｉ］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数［Ｍ］．王萼芳，

石明生．修订．北京：高等教育出版社，２００３．［２】

李师正，张玉芳．李桂荣．等．高等代数解题方法与技巧［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［３】

王品超．高等代数新方法［Ｍ］．徐州：中国矿业大学出版社，

２００３．

Ａ２，…，Ａ。）＝一（ｂ。）。。。，

ｈ

计算得一６口２

Ａｔｃ“＋ｃ口Ａ』，所以ｃⅡ２＝ｉ之ｉ・

因曰是正定矩阵，所以Ｑ’ＢＱ＝（ｂｉ）…也是正

ＯｎＳｏｍｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆ

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

ＡｎａｌｙｓｉｓｉｎＨｉｇｈｅｒＡｌｇｅｂｒａ

ＷＡＮＧＬｉａｎｈｕａ４，ＪＶＨｏｎｇｍｅｉ。，ＬＩＺｈａｎｇｕｏ“

（Ｄ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ。ＢｅｉｊｉｎｇＷｕｚｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０１１４９，Ｃｈｉｎａ；ｂ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ。Ｈｅｎａｎ

ＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚ｜｜ｌｅｎｇｚｈｏｕ

４５０００２，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｓｏｌｖｅｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｈｉｇｈｅｒａｌｇｅｂｒａｉｎｔｈｅａｌｇｅｂｒａｓｙｓｔｅｍｍａｙｂｅｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ．Ｂｕｔｓｏｍｅｔｉｍｅｓｔｈｅａｌｇｅｂｒａｐｒｏｂｌｅｍｓ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

ａｒｅ

ｓｏｌｖｅｄｗｉｔｈｈｉｇｈｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｂｙｕｓｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｕｓｅｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｒｏｐｅｒｉｎｔｅｇｒａｌｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒｖａｌｔｏｓｏｌｖｅｓｏｍｅｍａｔｒｉｘａｎｄｑｕａｄｒａｔｉｃｆｏｒｍｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｍｐｒｏｐｅｒｉｎｔｅｇｒａｌ；ｍａｔｒｉｘ；ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｏｒｍ

・１８－

数学分析在高等代数中的某些应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王莲花， 鞠红梅， 李战国， WANG Lianhua， JV Hongmei， LI Zhanguo

王莲花,鞠红梅,WANG Lianhua,JV Hongmei(北京物资学院信息学院,北京,101149)， 李战国,LI Zhanguo(河南农业大学信息管理学院,河南郑州,450002)河南教育学院学报（自然科学版）

JOURNAL OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE)2008，17(3)0次

参考文献(3条)

1. 北京大学数学系几何与代数教研室. 王萼芳. 石明生 高等代数 20032. 李师正. 张玉芳. 李桂荣 高等代数解题方法与技巧 20043. 王品超 高等代数新方法 2003

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