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郑州市2013年九年级第二次质量预测数学解析
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，比-1小的数是【 】
A ．0
B ．-2
C ．
1 2
D ．1
【答案】B.
【解析】根据两个负数绝对值大的反而小的比较法则得应选B.
【方法指导】本题考查有理数大小的比较. 有理数比较大小的法则:正数都大于0, 负数都小于0, 正数大于一切负数, 两个负数绝对值大的反而小, 数轴上右边的数总比左边的数大.
2. 从不同方向看这只茶壶，你认为是俯视图的是【 】
A ． B ． C. D. 【答案】A.
【解析】从上面看可以得到俯视图.
【方法指导】本题考查三视图. 从正面看到的图形叫做主视图. 主视图反映物体的长和高; 从左面看到的图形叫做左视图. 左视图反映物体的宽和高; 从上面看到的图形叫做俯视图. 俯视图反映物体的长和宽.
3. 数学课要学“勾股定理”，李华预习功课时，在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到
与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法可表示为【 】 A ．1.25×105 B ．1.25×106 C ．1.25×107 D ．1.25×108
【答案】C.
【解析】根据一个大于10的数可以表示成a ×10n 的形式, 其中1≤a ＜10,n 是正整数可以得出12500000=1.25×107
【方法指导】本题考查科学计数法. 科学记数法的表示方法:a值的确定:1≤a ＜10;n 值的确定:（1）当原数大于或等于10时,n 等于原数的整数位数减1; （2）当原数小于1时,n 是负整数, 它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）; （3）有数字单位的科学记数法, 先把数字单位转化为数字表示, 再用科学记数法表示.
4. 如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于点E ，EF 交CD 于点F ，已知∠1=60°，则∠2=【 】
A ．20° B ．30° C ．45° D ．60° 【答案】B.
【解析】易证∠EFC =90°. 根据对顶角相等得∠1的对顶角为60°. 利用直角三角形的两个锐角互余可以求出∠2=30°.
【方法指导】本题考查对顶角的性质与直角三角形的性质. 本题也可以利用平行线的性质得∠1的同位角为60°. 利用平行线的性质易证∠AEF =90°. 所以∠2=30°.
O
C A
1
D B
C
D
第4题图 第5题图 第6题图
5. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，
是黄灯的概率是【 】
A ．
E
5 12
B ．
13
C ．
1 12
D ．
12
【答案】C.
【解析】根据概率的意义得P 黄灯=
()
51
=.
30+25+512
【方法指导】本题考查利用概率公式求简单事件的概率. 如果一个事件有n 种可能, 而且这些事件的可
m
P A =()能性相同, 事件A 包含其中的m 种结果, 那么事件A 发生的概率为.
6. 如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC =40°，则∠BOD =【 】
A ．20° B ．40° C ．50° D ．80° 【答案】D.
【解析】因为AB ∥CD , 所以∠ABC=∠C=40°. 所以∠BOC=80°. 【方法指导】
7. 样本方差的计算公式S =
2
1⎡222
x 1-30)+(x 2-30)+ +(x n -30)⎤中，数字20和30分别表(⎦20⎣
B ．样本中数据的个数、中位数 D ．样本中数据的方差、标准差
示【 】
A ．样本中数据的个数、平均数 C ．样本中数据的众数、中位数 【答案】A.
【解析】设n 个数据,x 1,x 2, ,x n 的平均数为x =S x =[（x 1﹣） +x n +(x 1+)（x 2﹣）+…+（x n ﹣）, 则方差2+x 3+
2
1
n
222
].所以数字20和30分别表示样本中数据的个数、平均数. 【方法指导】
8. 如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
M 为EF 中点，则AM 的最小值为【 】
A
5A ．
45C ．
3
【答案】D.
5B ．
26D ．
5
E B
P
11EF. 易证四边形AEPF 是矩形. 所以EF=AP.所以AM=AP. 22
1211
当AP ⊥BC 时,AP 最小, 此时AM 最小. 所以⨯5⨯AP =⨯3⨯4. 所以AP=.
522
6
所以AM=.
5
【解析】易证△ABC 是直角三角形. 所以AM=
【方法指导】本题主要考查勾股定理的逆定理、矩形的判定定理、三角形的面积公式解动点问题应考虑动中求静, 静中求动, 抓住变化过程中的特殊情形, 运用分类讨论思想, 画出所有符合题意的图形求解.
二、填空题（每小题3分，共21分） 9. -2的相反数为__________．
【答案】2. 【解析】根据相反数的概念:如果两个数只有符号不同, 那么称其中一个数为另一个数的相反数可以得出. 求一个数的相反数, 只要改变该数的符号即可, 数字保持不变. 即a 的相反数是-a （特别的：0的相反数是0）, 所以有－2的相反数是－（－2）=2.
【方法指导】解答此考查点的关键是掌握相反数的概念及性质. 10. 请写出一个运算结果为a 6的运算式子：__________． 【答案】答案不唯一, 例如a
() ,a ⋅a
23
5
.
【解析】本题是开放性试题, 答案不唯一, 只要符合题意就行.
11. 方程x 2=2x 的解是__________．
【答案】 x 1＝0，x 2＝2.
【解析】先移项, 再利用提取公因式解方程即可.
【方法指导】因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式乘积；
③令每个因式分别为零, 得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程, 它们的解就是原方程的解.
【易错分析】解答本题时, 容易出现方程的两边除以x 漏解.
12. 如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a >b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是_________．
【答案】a 2-b 2=(a +b )(a -b ).
【解析】因为第一个图形（阴影部分）的面积为a -b , 第二个图形（阴影部分）的面积为
22
(a +b )(a -b )=a 2-b 2, 所以a 2-b 2=(a +b )(a -b ).
【方法指导】利用数形结合思想与面积相等列式问题迎刃而解.
第12题图
第13题图 13. 如图，直径AB 为6的半圆，将其绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分 的面积是__________．
【答案】6π .
【解析】因为阴影部分的面积=以AB ′为直径的半圆的面积+扇形ABB ′的面积-以AB 为直径的半圆
60⨯π⨯62
=6π. 的面积=扇形BAB ′的面积, 所以阴影部分的面积是
360
【方法指导】把不规则图形的面积通过面积的和或差转化为我们熟悉的图形的面积求解是解题的关键. 14. 二次函数y =-x 2+bx +c 的图象如图所示，若y >0，则x 的取值范围是_________．
【答案】-3
【解析】因为抛物线与x 轴的一个交点为(1,0),对称轴为直线x =-1, 所以抛物线与x 轴的另一个交点为(-3,0).所以x 的取值范围是-3
【方法指导】明确y >0的图象是x 轴上方的部分是解题的切入口.
15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =3AD =B =45°．直角三角板含45°角的顶点 E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 所在的直线交于点F ．若△ABE 为等腰三 角形，则CF 的长等于_________．
【答案】2或2.
如图, 当AB ＝AE 时, 则△ABE 为等腰直角三角形, 且∠
BAE ＝90°. 易证AE ∥DC,
∠FEC ＝90°. 所以 所以CF 的长等于-2或2.
【方法指导】分类讨论思想是解题的着眼点. 三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. （8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简 从不等式组⎨
x ⎫2x ⎛x
，然后 -÷⎪2
⎝x -55-x ⎭x -25
⎧-x -2≤3，
的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．”
2x
（1）请你直接写出平时在解决这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识；（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些．（写出三个） 【思路分析】（1) 本题考查分式的化简. 解题应先从运算顺序入手, 即先计算括号里的分式, 然后再把除法转化为乘法, 通过约分进行化简.
[解]答案不唯一（. 1）分式减法; 分式除法; 分式约分.(只要写出正确的三个给4分, 少一个扣1分. „„„4分)
（2）解不等式组中的第一个不等式时容易出现x ≤-5; 当x=0求值; 当x=5求值.(只要写出正确的三个给4分, 少一个扣1分. „„„8分) 【易错警示】本题求值时要注意使分式及变形后的分式有意义及不等式的两边同时除以一个负数时不等号要改变方向.
17. （9分）如图，已知Rt △ABC ，AB =AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，BD 的垂直平分线分
别交AB ，BD ，BC 于点E ，T ，F ，CD =CG ．
（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．构成菱形的四个顶点是___________或_________；构成等腰梯形的四个顶点是___________或_________．
（2）请你选择其中的一个图形加以证明．
【思路分析】本题是开放性试题, 只要符合题意即可. [解]（1）菱形是 B,E,D,F 或 C,D,E,G ； „„„2分 等腰梯形是 B,C,D,E 或 D,E,F,G ； „„„4分 （2）答案不唯一, 只要证明正确即可给分. „„„9分
【方法指导】开放性试题最常见的是条件开放题与结论开放题. 思考的方法是由果索因与有因索果. 在解开放性试题的时候, 需要解题者经过探索确定结论或补全条件, 将开放型问题转化为封闭型问题, 然后从特殊到一般进行归纳, 从具体到抽象进行概括, 得出正确的结论; 借助类比手段, 通过寻找其类同之处, 推测出新结论与类比对象的所有结果；假设结论存在或成立, 若推证无矛盾, 则结论确实存在, 若推证出矛盾, 则结论不存在；若命题的题设和结论不唯一确定时, 则需对可能出现的情况做到既不重复, 也不遗漏，分门别类的进行讨论得出正确的结论.
18. （9分）为了贯彻落实中央提出的“厉行节约，反对浪费”的精神，我市某校学生自发组织了“保 护水资源从我做起”的活动．学生们对我国“水资源问题”进行了调查，发现我国水资源越来越匮乏， 可是人们的节约意识并不强，据查，仅我市某饮料厂每天从地下抽水达3 500立方米左右．同学们又 采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学，家庭人均月用水量和节水措施情况． 以下是根据调查结果做出的部分统计图. 请根据以上信息解答以下问题： （1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3 000人，根据这150名同学家庭人均月用水量，估计全校学生家庭每月用水总量；
（3）为提高人们的节水意识，请你写出一条与图2中的已明确的节水措施不同的节水措施．
家庭节水措施调查统计图家庭人均月用水量统计图
水量/吨图1图2
【思路分析】（1）因为人均月用水量3吨的有150-10-42-32-16=50人, 淘米水浇花占 1-11-44-30=15, 所以可以补全图1与图2;
(2)求出150人的人均月用水量即可求出全校学生家庭每月用水总量; (3)答案不唯一, 符合实际就行.
解：(1)如图1, 图2所示.
图1 图2
„„„„„„4分
(2)全校学生家庭每月用水总量约为
3000⨯
10⨯1+42⨯2+50⨯3+32⨯4+16⨯5
=9040（吨）.
150
答：全校学生家庭每月用水总量约为 9040吨. „„„7分 (3)答案不唯一, 只要正确即可. （例如：洗脸后的水拖地）„„„9分
【方法指导】（1）统计图有条形统计图、折线统计图、扇形统计图三种. 能读懂各种统计图, 充分利用数形结合思想从统计图获取信息是解答此类题的着眼点;
（2）统计图的特点:①条形统计图能够显示每组数据的具体值, 也易于比较数据之间的差别; ②折线统计图不仅能表示出各部分的具体值, 而且还能显示各个数据的变化趋势; ③扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
19. （9分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在 山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为45°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为 30°．已知山坡AB
的坡度i =1，AB =10米，AE =15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的
≈1.732） 高度忽略不计，结果精确到0.1
≈1.414
C
A E
【思路分析】先过点B 作BF ⊥CE 于点F , BG ⊥AE 于点G, 然后在Rt △BCF 、Rt △DAE 、Rt △ABG 中利用直角三角形的边角关系求解.
解：过B 作BF ⊥CE 于F ，BG ⊥AE 于G ， ∵AB
的坡度i =，
∴
BG
tan ∠BAG =，∴∠BAG =30︒，
AG 1
2
=2分
∵AB =10
，∴BG =AB =5, AG ∴EG =AE +AG =15+
∴BF =15+„„„4分 在Rt △BCF 中，∠CBF =30︒
，CF =
=5+7分 在Rt △ADE 中，∠DAE =45︒，∴DE =AE =15.
∴
DF =DE -EF =15-5=10
，
∴
CD =CF -DF =5+10=5≈3.7（米）„„„
9分
【方法指导】直角三角形的应用常常考查含方位角及含仰角与俯角的计算问题. 关于三角形问题的求解应该注意:若三角形是直角三角形, 根据边角关系或勾股定理进行计算; 若三角形不是直角三角形, 可通过作垂线构造直角三角形求解.
3
（x
轴分别相交于B ，C 两点，且C (2，0) ，当x -1时，
20. （9分）如图，一次函数的图象与反比例函数y 1=-一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y 2=x >0）的图象与y 1=-
k
x 3k
（x 0）的x x
图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 点作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等
于2
C 可以设一次函数的解析式为y =kx +b,
即可;
(2)利用S 四边形BCQP =S 四边形OQPB —S △OBC =2可以求出点P 的坐标.
解：（1）∵x ＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞-1时候，一次函数值小于反比例函
数值, ∴A 点的横坐标是-1. ∴A （-1，3）. „„„2分 设一次函数的解析式为y =kx +b, 因为直线经过点A 、C, 所以⎨∴一次函数的解析式为y =-x +2；„„„„„„4分 （2）∵函数y 2=∴y 2=
⎧-k +b =3⎧k =-1
解得⎨
k +b =0b =2⎩⎩
k x
（x ＞0）的图象与y 1=-
3
（x ＜0）的图象关于y 轴对称， x
3
(x >0) . „„„6分 x
3
）n ＞2， n
∵B 点是直线y =-x +2与y 轴的交点，∴B （0，2）. 设p （n ，
S 四边形BCQP =S 四边形OQPB —S △OBC =2， 1315∴×（2+）n —×2×2=2，得n = ，„„„8分 2n 2256∴P （， ）．„„„„„„9分
25
21. （10分）某地一经济适用房楼盘一楼是商铺（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外
销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为2 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米 的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均 为80平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）． 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已 知每月物业管理费为a 元）
（1）请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x （2≤x ≤23，x 是正整数）之间的函数解析式； （2）王老师已筹到60 000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议王老师使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为王老师的说法一定正确吗？请通过运算确定a 的范围，阐明你的看法．
【思路分析】按2≤x ≤8与9≤x ≤23分类讨论求y 与x 之间的函数解析式; 当2≤x≤8时与当9≤x≤23时, 计算王老师用方案一可以购买的楼层数; 通过计算王老师使用方案二购买第十六层的房款数可以做出判断.
解; （1）①当2≤x ≤8时，每平方米的售价应为2000－（8－x ）×20＝20x ＋1840 (元／平方米). ②当9≤x ≤23时，每平方米的售价应为：2000＋（x －8）·40＝40x ＋1680(元／平方米).
⎧20x +1840(2≤x ≤8), ∴y =⎨ x 为正整数„„„2分
40x +1680(9≤x ≤23), ⎩
（2）由（1）知：①当2≤x≤8时，王老师首付款为（20x ＋1840）·80·30%.＝24（20x ＋1840）≤24（20·8＋1840）＝48000元＜60000元，∴2～8层可任选. „„„4分. ②当9≤x≤23时，王老师首付款为（40x ＋1680）·80·30%＝24（40x ＋1680）元. 24（40x ＋1680）≤60000，解得：x ≤20.5. ∵x 为正整数，∴9≤x ≤20. ∴9～20层可任选.
∴综上得王老师用方案一可以购买二至二十层的任何一层．„„„6分 （3）若按方案二购买第十六层，则王老师要实交房款为： y 1＝(40·16＋1680) ·80·92%－60a （元）
若按王老师的想法则要交房款为：y 2＝(40·16＋1680) ·80·91%（元）. ∵y 1－y 2＝1856－60a ，
∴当y 1＞y 2即y 1－y 2＞0时，解得0＜a ＜当y 1≤y 2即y 1－y 2≤0时，解得a ≥
464
，此时王老师想法正确； 15
464
，此时王老师想法不正确．„„„10分 15
22. （10分）将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB ′C ′，如 图1，我们将这种变换记为[θ，n ]．
（1）如图1，对△ABC
作变换[60︒得△AB ′C ′，则S ∆AB ′C ′:S ∆B ′C ′所夹的锐角为_____度；
（2）如图2，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B ，C ，C ′在同一直线上，且四边形ABB ′C′为矩形，求θ和n 的值；
（3）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =36°，BC =1，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B ，C ，B ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为平行四边形，求θ和n 的值．
ABC =_____；直线
BC 与直线
A
C"
图1
B
A
A
C" B
图2
C
图3
C"
【思路分析】(1)利用相似三角形的判定与性质可以求解;
(2)利用矩形的性质问题可以求出;(3)利用平行四边形的性质与相似三角形的判定列方程得到答案. 解：（1） 3；60. „„„„„„2分 根据题意得△ABC ∽△AB ′C ′. ∴S △AB ′C ′：S △ABC =（∵∠ANB =∠B ′NM ，
）2=（）2=3，∠B =∠B ′.
∴∠BMB ′=∠BAB ′=60°； 故答案为：3，60；
（2）∵四边形 ABB ′C ′是矩形，∴∠BAC ′=90°. ∴θ=∠CAC ′=∠BAC ′﹣∠BAC =90°﹣30°=60°．
在 Rt △AB B " 中，∠ABB "=90°，∠BAB ′=60°，∴∠AB ′B =30°. ∴AB ′=2 AB ，即n =
A B "
=2. „„„„„„5分 AB
（3）∵四边形ABB ′C ′是平行四边形，∴AC ′∥BB ′.
∵∠BAC =36°，∴θ=∠CAC ′=∠ACB =72°. „„„„„„7分 ∴∠C ′AB ′=∠BAC =36°.
而∠B =∠B ，∴△ABC ∽△B ′BA . ∴AB ：BB ′=CB ：AB . ∴AB 2=CB •BB ′=CB （BC +CB ′）.
而 CB ′=AC =AB =B ′C ′，BC =1，∴AB 2=1（1+AB ），解得，AB =
1±5
. 2
∵AB ＞0，∴ n =
B "C "1+. „„„„„„10分 =
BC 2
2
+与c x 轴分别交于点 23. （11分）如图所示，已知二次函数y =a x -6a x
A (2，0) ，B (4，0) ，与y 轴交于点C (0，8t ) （t
（1）请你用含t 的代数式表示抛物线顶点D 的坐标；
（2）如图1，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O" 恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数t 的值；
（3）如图2，在正方形EFGH 中，点E ，F 的坐标分别是(4，-4) ，(4，-3) ，边HG 位于边EF 的右侧．将正方形EFGH 向左水平移动，若点P 是正方形边EH 上任意一点，在水平移动过程中，是否存在点P ，使以PA ，PB ，PC ，PD 的长度为边长构成平行四边形，其中PA ，PB 为对边. 若存在．请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】(1)把点A 、C 的坐标（2，0）、（0， 8t ）代人抛物线y =ax －6ax +c 得抛物线为 y =x ＋6tx ＋8t=（x －3）2－ t ．然后求出顶点坐标;
2
2
(2)设抛物线对称轴与x 轴交点为M, 则AM ＝1. 由折叠得O ′A =OA =2.然后利用Rt △OAC 求解; (3)若PA 、PB 是对边, 则 PA =PB. 那么点P 为EH 与对称轴交点. 假设存在一个数t, 使得线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形. 当PC ＝PD 时, 线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形. 通过分类讨论即可求出t 的值.
解：（1）把点A 、C 的坐标（2，0）、（0， 8t ）代人抛物线y =ax －6ax +c 得，
2
⎧4a -12a +c =0, ⎨
c =8t . ⎩解得
2
⎧a =t ,
„„„„„„„„2分 ⎨
⎩c =8t .
该抛物线为y =x ＋6tx ＋8t=（x －3）2－ t ．
∴顶点D 坐标为（3，－t ）. „„„„„„„„3分
（2）如图，设抛物线对称轴与x 轴交点为M ，则AM ＝1．
由题意, 得O ′A =OA =2． ∴O ′A=2AM ，∴∠O ′AM ＝60°．
∴∠O ′AC ＝∠OAC ＝60° .
∴OC =⋅AO =23.
即8t =-23．∴t =-． „„„„„„„7分
4
(3)若PA 、PB 是对边，则 PA =PB ，那么点P 为EH 、 PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形．
如图所示, 只有当PC ＝PD 时, 线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形．
1
或－1均满足题意． 7
1
综上所述, 满足题意的t =-或－1．„„„„„„„11分
7
∴解方程得t =-
【方法指导】此题是一个典型的动态压轴题, 它融知识于一体, 包万象于其中, 知识点之多, 综合性之强，难度系数之大. 数学思想是解题的灵魂, 本题用到了方程思想与分类讨论思想. 河南省伊川县城关三中姚万里 电话:[1**********] 邮编:471300
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