有理数的知识归纳点_有理数知识点总结

七年级代数知识点（上册）

第一章 有理数

1.1正数和负数

一、概念

1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）

2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数

说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。

3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。

说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界

二、实际应用

在解决 一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。

例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0

零上为正，零下为负，分界为0

向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0

加分为正，扣分为负，不加不扣为0

逆时针为正，顺时针为负

超标为正，低标为负，标准为0

地上为正，地下为负，地面基准为0

盈余为正，亏空为负，收支平衡为0

水位上升为正，水位下降为负，水平面为0

高于平均分为正，低于平均分为负

增加为正，减少为负，不增不减为0

海平面以上为正，以下为负，海平面记为0

三、易错易误点

1、-a 一定是负数么？

答案：不一定，需要分类分析

解析：当a 大于0时，-a 就是负数；当a 等于0时，-a 为0；当a 小于0时，-a 是正数 因此，a 不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。

2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。

3、非正数：0和负数

非负数：0和正数

1.2 有理数

一、概念

1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。

2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926…

它不能化成分数形式。

二、分类

1、按定义分：

有理数：正数——正整数，0，负整数

分数——正分数、负分数

2、按性质符号分：

有理数：正有理数——正整数、正分数

负有理数——负整数、负分数

综上，有理数共分为5类：正整数、正分数、0、负整数、负分数。

*易错易混点（选择题常考）：

非负整数（自然数）：正整数、0

非正正数：负整数、0

非负有理数：正整数、0、正分数

非正有理数：负整数、0、负分数

关于文字概念的判断题（难点，重点）

一个有理数不是整数就是分数——对！（从有理数概念可知）

正整数和负整数统称为整数——错！（还有0）

0不是有理数——错！（从性质符号分，有理数包括整数和分数，而0是整数）

正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数——错！（忽略了0）

三、数轴

1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线

规定三要素——原点，正方向，单位长度

注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。

2、画法：（必须用直尺！）

（1）先画一条直线

（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0

（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。

3、与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”；

但数轴上的点不都来表示有理数。

四、相反数（重点）

1、概念

（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。

2、表示方法以及多重符号的简化

（1）a 的相反数是-a ，这里a 是任意有理数(即正数、负数、0)

当a 大于0时，-a 小于0（正数的相反数是负数）

当a 小于0时，-a 大于0（负数的相反数是正数）

当a 等于0时，-a 等于0（0的相反数是0）

（2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉

正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—”

0前无论有多少个“—”，化简后仍是0

五、绝对值

1、概念

（1）几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作｜a ｜，读作a 的绝对值，绝对值不能是负数。

（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

2、做题时需要慎重考虑0的情况。

六、有理数大小比较

1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。

2、两个负数，绝对值大的反而小。

3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大

同负，绝对值大的反而小

异号——正数大于负数

一数为零——正数＞0，负数＜0

1.3有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

一、法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3、互为相反数的两个数相加得0；

4、一个数同0相加，仍得这个数。

二、运算律

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b

1.3.2有理数的减法

法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)

注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数

1.4 有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

一、法则

1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。

2、任何数同0相乘，都得0。

二、推广

1、几个不是0的数相乘，负因数的个数的偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

2、几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。

三、运算律

1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba

2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b

3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac

四、倒数

1、乘积是1的两个数互为倒数。当a ≠0时，与1/a互为倒数；当m ≠0，n ≠0时n/m与m/n互为倒数

2、注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0

3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小；小于-1的数的倒数比本身大。

1.4.2 有理数的除法

一、法则

1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。

二、化简

1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。

2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。

三、混合运算

1、乘除混合运算

（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成证书部分与分数部分的和，再利用分配律运算

（2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。

（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的

正负。

2、加减、乘除混合运算

遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

一、乘方的意义

1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，

乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。

3、因为 就是n 个a 相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。

二、乘方运算的性质

1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数，

2、正数的任何次幂都是正数，

3、0的任何正整数次幂都是0。

三、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1. 先乘方，再乘除，最后加减；

2. 同级运算，从左到右进行；

3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

1.5.2科学记数法。

一、概念

把一个大于10的数表示成 的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，即1≤｜a ｜＜10，n 是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。

1.5.3近似数

一、概念

四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。

二、说明

一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。

近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。