平均值不等式的证明【平均值不等式的证明及其应用】
第１６卷第５期２０１３年９月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｎｏ．５Ｖｏｌ．１６，
，Ｓｅ．２０１３ｐ
平均值不等式的证明及其应用
卢胜森，云霄霄
（）内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２１
ｎ
ｎ
ｎ
摘
ｎ
…，，要 设ａ若借助数学归纳法可相应地证明ａａ１，２，ｎ为正数，ｉ＝１或ｉ＝１ｉ≥ｎ或∏ａ∑ａ∑ａ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列ｎ．ｉ≤１∏ａｉ＝１
极限方面的应用．
关键词 数学归纳法；平均值不等式；数列极限中图分类号 Ｏ１２２．３；Ｏ１７１
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１３０５００４７０４－－－
］给出了平均值不等式的多种证明方文［１－２］分别给出平均值不等式的多种应用范法，文［３－４例．本文将给出平均值不等式的另外两种证明方法，同时，实例说明它在求数列极限方面的应用．
…，引理１ 对于任意ｎ个正数ａ若它ａａ１，２，ｎ，们满足
ｎ
当且仅当ａａ１＝ａ２＝…＝ａｋ１＝ａｋｋ１＝１时等号－＋
进而有成立．
ｋ１＋
ｋ１－
，ａａ－１＋∑ｉ≥ａｋｋ１＋ｉ≥ｋ＋
∑ａ
ｉ＝１
ｉ＝１
也即
ｋ１＋
∑ａ≥ｋ＋１，
ｉ
ｉ＝１
ｉ
ｉ＝１
∏ａ＝１，
ｎ
ｉ
当且仅当ａ故当１＝ａ２＝…＝ａｋ１＝１时等号成立．＋命题成立．ｎ＝ｋ＋１时，
综上，命题证毕．
…，引理２ 对于任意ｎ个正数ａ若它ａａ１，２，ｎ，们满足
ｎ
则有
ｉ＝１
∑ａ≥ｎ，
＋
其中等号当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ＝１时成立．
证明 利用数学归纳法证明．当ｎ＝１时，命题显然成立．假设ｎ＝ｋ∈瓕时
下面证明当ｎ＝ｋ＋１时命题亦成立．命题成立，
ｋ１＋
ｉ＝１
∑ａ＝１，
ｉｎ
则有
，ｎ∏ａｉ≤１
ｎｉ＝１
当ｎ＝ｋ＋１时，若
，则显然存在ａｉ＝１ｉ和ａｊ
∏ａ
ｉ＝１
）满足ａ不妨设ａ则ｉ≠ｊ．ｉ≥１≥ａｋ１≥１≥ａｋ，＋ｊ（
（）（ａ１－ａｋ１－１ｋ）＋≥０，，ａａｋｋ１≤ａｋ＋ａｋ１－１＋＋
其中等号当且仅当ａ显然，ｋ＝１或ａｋ１＝１时成立．＋…ａａａａａ１，２，ｋ１，ｋｋ１满足－＋
ｋ１－
时成立其中等号当且仅当ａ．１＝ａ２＝…＝ａｎ＝
ｎ
证明 利用数学归纳法证明．当ｎ＝１时，命题显然成立．假设ｎ＝ｋ∈瓕＋时命题成立，下面证明当ｎ＝ｋ＋１时命题亦成立．
ｋ１＋
（ａａｋｋ１）ａ＋
∏ｉ＝１，
ｉ
当ｎ＝ｋ＋１时，若
则显然存在ａ和
∑ａ＝１，
ｉ
ｉ
ｉ＝１
ａｊ满足
ａｉ≥
不妨假设
，ｉ≠ｊ）≥ａｊ （
ｋ＋１
ｋ，≥ａ
ｋ＋１
由归纳假设可知
ｋ１－
，ａａｋｋ１＋ｉ≥ｋ＋
∑ａ
ｉ＝１
；收稿日期：修改日期：２０１２０５０３２０１３０７２５－－－－
，作者简介：卢胜森（男，山东曹县人，数学专业２１９９０－）００９级本科
：生．Ｅｍａｉｌｌｕｓｈｅｎｓｅｎ＠ｓｉｎａ．ｃｎｇ
，云霄霄（女，河南杞县人，数学专业２１９９０－）００９级本科：生．Ｅｍａｉｌｕｎｘｉａｏｘｉａｏｉｍｕｉｎａ．ｃｎ＠ｓｙ
ａｋ１≥＋
那么
）（）（－ａｋ＋１ａｋ１－ｋ）＋≥０，
ｋ＋１ｋ＋１
４８
，（）ｋ＋１ａａｋｋ１≤ａｋ＋ａｋ１－＋＋
ｋ＋１
高等数学研究２０１３年９月
，ｂ１＝ｂ２＝…＝ｂｎ＝１
ｃ１＝ｃ２＝…＝ｃｎ＝１
时成立．从而有
ｎ
ｋ
ｎｎ
或时等号成立显当且仅当ａａ．ｋ＝ｋ１＝＋
ｋ＋１ｋ＋１
，（）然１ａｋ１ｋ＋ａｋ１－－＋
ｋｋｋｋ＋１满足
∏ａ
ｋ＝１ｎｎ
ｋ＝１
∑ａ
ｋ
≥ｎ，
（），ａ＋∑ｋ＋ａｋ１－ｉ＝１＋
ｋｋ＋１ｋｉ＝１
由归纳假设得
）ｋ（ｋａｋ＋ａｋ１－ｉ＋≤１，
ｋｋ＋１∏ｋｉ１＝
也即
）ｋ
（（），ａｋ＋１ａｋ＋ａｋ１－ｉ≤１＋
∏ｋ＋１ｉ＝１
当且仅当
ａ＝１＝…＝ａｋ１＝ａｋ＋ａｋ１－－＋
ｋ＋１ｋ＋１时等号成立．进而有
ｋ１＋
ｋ１＋
（）ｋ＋１ｉ＝∏ａ
ｉ＝１
ｋ１－ｋ１－
ｋ１－
亦即
ｎ
ｋ＝１
ｋ
∏ａ∑
≥ｎ，ａｋｋ＝１
ｎ
ｋ１－
］
，ｋ＝１∑ｋｋ＝１ａ
其中等号当且仅当ａ故定１＝ａ２＝…＝ａｎ时成立．理成立．
ａｋ≥∑ｎｋ＝１
ｎ
∏ａ
ｋ
≥
ｎ
证法２ 利用引理２．令
ｂｉ＝
ｋ＝１
ｉ
，ｃ ｉ＝
ａｉ
ａｋ∑
ｎ
ｎ
ｉ
ｉ
，∑ｋｋ＝１ａ
ｎ
…，其中ｉ＝１，显然ｂ且２，ｎ．ｉ和ｃｉ均为正数，
ｎｉ＝１
（））ａｋ＋１ａａｋ＋１ｋｋ１（＋
∏ｉ≤
ｋｉ＝１
ｃ＝１． ∑∑ｂ＝１，
ｉ＝１
ｎ
ｎｎ
由引理２可知
，，ｎ∏ｂｎ∏ｃ ｉ≤１ｉ≤１
ｎｉ＝１
ｉ＝１
）ｋ
（（），ａｋ＋１ａｋ＋ａｋ１－ｉ≤１＋
∏ｋ＋１ｉ＝１
当且仅当
ｋ＋１
时等号成立．故当ｎ＝ｋ＋１时，命题成立．
综上，命题证毕．
ｋ１－
其中等号当且仅当
ａ１＝…＝ａｋ＝ａｋ１＝＋
ｂｉ＝
，（…，ｃ２，ｎ） ｉ＝１，ｉ＝
ｎｎ
ｎ
时成立．从而有
ｎ
（定理１平均值不等式） 对于任意ｎ个正数
…，有ａ１，ａａ２，ｎ，
［１］
ｎ∏
ｉ＝１
ｎ
ｋ＝１
，１ｎ ≤ｎ∏ａｉｉ＝１ａｋ∑
ａｉ
ｎ
≤１，ｎ
∑ｋｋ＝１ａ
，
ａｋ≥ｎ∏ｋ＝１∑ｋｋ＝１ａ
其中等号当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ时成立．
证法１ 利用引理１．令
ａｋ≥∑ｎｋ＝１
ｎ
ｎ
亦即
ｂｉ＝
ｉ
ｎ
ｎ
ｋ
…，其中ｉ＝１，显然ｂ且２，ｎ．ｉ和ｃｉ均为正数，
ｎ
ｎ
ｉ＝１
∏ａｋ＝１
，ｃ ｉ＝ａｉ
ｎ
ｎ
ｋ
ａ，∏ｋ＝１
，
ｋ＝１∑ｋｋ＝１ａ
其中等号当且仅当ａ故定１＝ａ２＝…＝ａｎ时成立．理成立．
ａｋ≥∑ｎｋ＝１
ｎ
ｎ
ｎ
ｋ≥∏ａ
ｎ
定理２ 引理１、引理２和定理１相互等价．证明 先由定理１推证引理２．若
ｎ
，ｃ． ∏ｉ＝１ｉ＝１∏ｂ
ｉ＝１
ｎ
ｎ
ｋ＝１
∑ａ
ｋ
＝１，
则由定理１可知
ｎ
由引理１可知
，，ｃ ∑ｉ≥ｎｉ≥ｎ∑ｂ
ｉ＝１
ｎ
，ａａｋ≤ｋ＝∏∑ｎｋｎｋ＝１＝１
ｎ
ｎｎ
ｉ＝１
其中等号当且仅当
ｎ
，ａｎａ ｋ≤ｎ，ｋ≤１∏∏ｎｋ＝１ｋ＝１
时成立其中等号当且仅当ａ．１＝ａ２＝…＝ａｎ＝
ｎ故引理２成立．
再由引理２推证引理１．令
由平均值不等式可知
）＝≤＋１…１＋ ｎｎ２－
）１＋．
ｎ
又因为
≥＝１，ｉｍ１＋ ｌｎ→∞ｎ
ｂｋ＝
显然有
ａｋ
ｎｉ＝１
…，，ｋ＝１，２，ｎ） （
ｉ
∑ａ
［
）
］＝１，
ｎ
ｋ＝１
∑ｂ
ｎ
ｋ
＝１，
故由极限的夹逼性可得待证极限成立．
］注２ 文［利用二项式定理证明了上述问题，１
而本文通过平均值不等式给出了另一种较为简洁的
ｋ
由引理２可知
ｎ
，ｎ∏ｂｎ ｋ≤１
ｎｋ＝１
ｎｎ
（∑ａ）
ｋ
ｋ＝１
ｎ
ｋ＝１
∏ａ
≤１，
证明方法．
注３ 对于例２的推广问题
ｋ
，ｌｉｍｋ∈瓕＋）＝１ （
ｎ→∞
且等号当且仅当ａ而１＝ａ２＝…＝ａｎ时成立．
ｎ
ｎ
ｋ＝１
，ｋ＝１∏ａ
ｎ
ｎ
可类似地给出一种较为简单的证明方法．证明的关键在于，当ｎ≥２ｋ时需作恒等变形
ｎ２ｋ２ｋ－
注４ 利用函数的连续性，对例２中等式的两边同时取自然对数，可以得到
ｌｉｍ＝０．ｎ→∞ｎ
］，结合文［进而可得５
ｌｉｍ＝１，ｉｍ＝０． ｌｘ→∞ｘ→∞ｘｋｎ…×１…１．＝ｎ
所以
ｎ
ｎ
（∑ａ）
ｋ
ｋ＝１
ｎ
，ａ ∑ｋ≥ｎ≤１，
ｋ＝１
其中等号当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ＝１时成立．
故引理１成立．
利用引理１推证定理１，可见定理１的证法１．综上，结论得证．
例１ 证明：当ａ＞０时，ｌｉｍ＝１．
ｎ→∞
证明 显然
ｎ＝（ａ×１１…１．例３ 证明：数列｛１＋ｎ｛１＋ｎ
（）｝单调增加，数列
ｎ
ｎ１－
（）
ｎ１＋
｝单调递减，两者收敛于同一极限．
由平均值不等式可知
）＝１＋，≤（ａ＋１１…１ｎｎｎ１－
证明 不妨记ｘｎ＝１＋
ｎ
（）
ｎ
， ｙｎ＝１＋ｎｎ
ｎ
（）
ｎ１＋
，
≥ａ
又因为
＋１…１
ｎ１－
，＝１＋１＋ｎ－１ａ
由平均值不等式可知
ｌｉｍ１＋＝ｎ→∞１＋ｎ－１ａｌｉｍ１＋＝１，ｎ→∞ｎ
故由极限的夹逼性可得待证极限成立．
］注１ 文［将问题分为ａ＞１，１ａ＝１和ａ＜１三种情况进行讨论．显然，利用平均值不等式大大简化了证明过程．
例２ 证明：ｌｉｍ＝１．
ｎ→∞
［］
（）
（）×１≤
ｎ１＋）＋１］ ［（｝＝ｎｎ ＋１
１＋＝ｘ，（）ｎ１＋
１＋）×１≥ｙ＝（ｎ
ｘｎ＝１＋
ｎ１＋
ｎ１＋
ｎ１＋
ｎ１＋
ｎ
＋＋１（ｎ＋１
ｎ＋１ｎ２
证明 显然，当ｎ≥２时成立
ｎ＝×１…１．ｎ２－
ｎ＋２
＝１＋＝ｙｎ１，＋
ｎ ＋１｛故｛单调增加，单调减少．又因为ｘｙｎ｝ｎ｝
，２＝ｘ１≤ｘｎ＜ｙｎ≤ｙ１＝４
（）
由单调有界收敛原理可知，数列｛ｘｙｎ｝和｛ｎ｝均收敛．而
，
ｙｎ＝ｘｎ１＋
ｎ
故它们具有相同的极限．
注５ 习惯上用ｅ表示上述极限，即ｌｉｍ１＋
ｎ→∞
］对上述结论的证明存在错误，需要说明的是，文［１］予以了指正．文［５
１］
注７ 可以证明ｅ是一个无理数［此外，．ｅ还
（）
是一个超越数，有兴趣的读者可查阅相关文献．
注８ 通过研究某些极限问题，还可以发现其如黄金分割数，圆周率π，以及他一些重要常数，
１］
欧拉常数γ等［．
（
ｎ
）
ｎ
ｉｍ１＋＝ｌ
ｎ→∞
（
ｎ
）
ｎ１＋
．＝ｅ
常数记号ｅ由瑞士大数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ，１７０７－）首次引入．欧拉将上述常数作为对数１７８３１７２８年，
的底从而定义了极其重要的自然对数，并用他名字的第一个字母表示了这个常数．
］中的定理２．注６ 结合文［可得到５１．
ｌｉｍ１＋ｘ→＋∞ｘ
参考文献
［］陈纪修，於崇华，金路．数学分析：上册［北京：１Ｍ］．２版．
高等教育出版社，２００４：２１２１５．－
［］毕里格图，］赵丽．均值不等式的八种证法［２Ｊ．白城师范
（）：学院学报，２０１０，２４６１１１５．－
［］刘俊先．平均值不等式在数学分析中的应用［］３Ｊ．廊坊
（）：师范学院学报：自然科学版，２００９，９１１４１６．－［］饶明贵．几个不等式的应用［］４Ｊ．河南科学，２００８，
（）：２６８８９９９０３．－
［］贺飞，］刘德．用数列极限计算函数极限的夹逼定理［５Ｊ．
（）：高等数学研究，２００７，１０５５８．－
（（
）＝ｅ，
ｘ
通过变量代换可进一步证得
ｘ→－∞
ｌｉｍ１＋
ｘ
）＝ｅ，
ｘｘ
进而有
ｌｉｍ１＋
ｘ→∞
（
ｘ
）＝ｅ，
ＭｅａｎＶａｌｕｅＩｎｅｕａｌｉｔａｎｄＡｌｉｃａｔｉｏｎ ｑｙｐｐ
ＬＵＳｈｅｎｓｅｎ，Ｘｉａｏｘｉａｏ ＹＵＮ ｇ
（，，ＨＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅＩｎｎｅｒＭｏｎｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｈｈｏｔ０１００２１，ＰＲＣ） ｇｙ
ｎ
ｎ
ｉ
：…，Ａｂｓｔｒａｃｔｅｔａａａｅｎｕｍｂｅｒｓｗｉｔｈｏｓｉｔｉｖｅ Ｌ ｐ１，２，ｎｂ
ｎ
ｎ
ｉ＝１
∏ａｒ∑ａ．Ｗｅｔｈｅｒｏｖｅ ＝１ｏｐｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
，，ａｏｒｎｒｅｓｅｃｔｉｖｅｌｂｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ．Ｗｅｒｏｖｅｉｎｅｕａｌｉｔｉｅｓ∑ ｐｙｙｐｑｉ≥ｎｉ≤１ ∏ａ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｆｕｒｔｈｅｒｔｈａｔｔｈｅｓｅｔｗｏｉｎｅｕａｌｉｔｉｅｓａｎｄｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔａｒｅｅｕｉｖａｌｅｎｔ．Ｅｘａｍｌｅｓａｒｅ ｑｑｙｑｐ ｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｓｈｏｗｔｈｅｕｓｅｏｆｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔ． ｐｑｙ
：，ｍ，Ｋｅｗｏｒｄｓａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎｅａｎｖａｌｕｅｉｎｅｕａｌｉｔｌｉｍｉｔｙ ｍ ｑｙ
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
（上接第２０页）
ＡｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＣｏｕｎｔａｂｉｌｉｔａｎｄＤｅｎｓｉｔｏｆＲａｔｉｏｎａｌＮｕｍｂｅｒｓ ｐｐｙｙ
ＨＵＳｈａｏｚｏｎ ｇ
（，，ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＦｕａｎＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｅＦｕａｎ２３６０４１，ＰＲＣ） ｐｙｇｇｙｇ
：Ａｂｓｔｒａｃｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓａｎａｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｃｏｕｎｔａｂｉｌｉｔａｎｄｄｅｎｓｉｔｏｆｒａｔｉｏｎａｌ Ｔ ｐｐｙｙ
，，ａｎｄｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｓｏｍｅａｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｒｅａｌａｎａｌｓｉｓａｌｔｈｏｕｈｔｈｅｔｗｏｓｅｅｍｎｕｍｂｅｒｓｒｏｅｒｔｉｅｓ ｐｐｙｇｐｐ
“”ｉｎｃｏｍａｔｉｂｌｅｉｎｎａｔｕｒｅ． ｐ
：，，，Ｋｅｗｏｒｄｓｅｔｏｆｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒｓｃｏｕｎｔａｂｌｅｄｅｎｓｅｏｎｅｔｏｏｎｅｃｏｒｒｅｓｏｎｄｅｎｃｅｙ ｓ ｐ