两角的和差公式 [考例一

考例分类详析

题型一 两角和与差公式的理解和简单应用

考题解密：两角和与差的公式在化简、求值中起到很重要的作用。考查公式的熟记以及选择合适的公式并灵活的应用。

sin 470-sin 170cos 300

=（ ） 【例1】（2012年重庆）0cos 17

A . -3

2B . -1

2C . 1

2D . 3 2

【题源变式】

1. （2012年广东珠海）计算：(1) cos 15cos 105+sin 15sin 105;

(2) sin x sin(x +y ) +cos x cos(x +y ); 0000

α-35) cos(25+α) +sin(α-35) sin(25+α). (3) cos(

0000

题型二 利用两角和与差公式化简函数式

考题解密：利用公式化简就是充分利用公式和公式的变形，通过计算角和函数的种类，考查公式的综合应用和变形能力。

【例2】化简下列各式：

(1) sin(x +

0π3) +2sin(x -π2π) --x ); 33cos 100

(2)(tan10-3) ⋅. sin 500

【题源变式】

2. （2012年山东烟台联考）化简：sin(α+β) cos α-

1[sin(2α+β) -sin β]. 2

题型三 运用和与差公式求三角函数的值

考题解密：求三角函数值的问题包含如下几种：一是给角求值，它可以通过诱导公式求解；二是给多个非特殊角求值，一般可以通过和差角公式化简求值；还有就是给一个三角函数式的值，求另一个与之相关的三角函数式的值，其解法也是通过三角变换，找到二者之间的关系，尤其是角度之间的关系，从而求解。不论是哪一种形式，都是考查诱导公式、和差角公式的变换和灵活运用。

【例3】（1）不查表，求下列各式的值：

cos 150-sin 150

1). ; cos 150+sin 150

2). tan 150+tan 300+tan 150tan 300;

3). tan 180+tan 420+tan 180tan 420.

(2) 若的值。3π5π3π3+α) =, -β) =, 且0 α β π，求cos （α+β） 4134544

【题源变式】

3. （1）化简求值：

①cos 44sin 14-sin 44cos 14;

②sin(54-x ) cos(36+x ) +cos(54-x ) sin(36+x ). 00000000

π3⎛π⎫12（2）若+α) =-, cos +β⎪=, 且α、β、α-β均为锐角，求cos(β- 35⎝3⎭13

α) 的值。

题型四 给值求值

考题解密：根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角、拼角技巧、诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的余弦公式进行变形，化未知为已知，从而达到求解的目的，求解过程中要注意根据角的范围判断所求三角函数的符号。

【例4】已知cos α=

【题源变式】 111 ，cos （α+β）=-，求cos β的值。714

π3π1234.(2012 β α , cos(α-β) =, sin(α+β) =-, 44135

求sin 2α.

题型五 运用两角和与差公式求角

考题解密：给值求角也是考试中常见题型之一，考查三角函数公式的灵活应用、角度的变换、角范围的讨论等知识。

【例5】已知α、β均为锐角，且sin α=

【题源变式】 , cos β=, 求α-β的值。 510

11π35.(2012年安徽合肥联考）已知tan β=, tan α=, 0 α , π β π, 求α+β3222

题型六 运用两角和与差公式证明恒等式

考题解密：证明三角恒等式就是利用所学公式，包括同角三角函数关系式、诱导公式和差角等公式进行三角函数式的恒等变形，考查综合运用所学的公式和三角恒等变形。

【例6】证明：

sin(2α+β) sin β -2cos(α+β) =sin αsin α

题型七 两角和与差公式与诱导公式的综合应用

考题解密:两角和与差的三角函数公式中角度通过诱导公式变换后可以得到更多的恒等式成立，考查综合应用所学公式和公式的变形能力以及三角函数式的恒等变换能力。

【例7】若sin α=

【题源变式】 4π5⎛3π, α∈(, π), cos β=-, β∈ π5213⎝2⎫α-β) 、s in (α+β) ⎪，求cos(⎭

已知α、β∈（0），sin (α-7. （2012年江苏泰兴统考）2πβ1α) =-, -β) =, 2923

求cos

α+β2.

题型八 两角和与差三角函数公式在向量运算中的应用 考题解密：将向量运算与三角函数变换综合在一起是在今年考题中的热点，考查运用三角

函数的变换在向量运算中的能力。

【例8】（2012年南昌二模） 设A 、B 为锐角三角形ABC 的两个内角， a =(2cos A , 2sin A ) ， →→b =(3cos B , 3sin B ), 若a ，b 的夹角为600，则A -B 等于（→→）

A . π

3B . -π

3C . ±π

3D . ±π

6

题型九 两角和与差在三角形中的应用

考题解密：两角和与差的三角函数公式在三角形中有广泛的应用，由于三角形三内角之和为π，因此往往诱导公式结合在一起考查应用公式进行三角变换，考查公式的熟练应用和灵活变形。

【例9】在锐角三角形ABC 中，求证：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C .

【题源变式】

9．在△ABC 中sin A =

35, cos B =, 求cos C . 513

题型十 角的收缩变换的应用

考题解密：形如a sin x +b cos x (a 、b 不同时为0）的三角函数式利用两角和与差的 公式可化为一个角的三角函数的形式，即a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) ，这个公式在研究三角函数性质非常有用，考查三角函数公式的灵活变形及和角、差角公式逆用。

[例10】已知函数f (x ) =sin x +sin(x +

(1) 求f (x ) 的最小正周期；

（2）求f (x ) 的最大值和最小值。π2), x ∈R .