[小升初衔接班讲座材料2]小升初衔接转变讲座

七年级数学第1讲 丰富的图形世界

【核心学习】

平面图形转化成立体图形的方式是 . 【思维体验】

1．生活中的立体图形 （1）几何体的分类:

【例1】 将下列几何体分类，并说明理由．

【反思与小结】本例体现出数学的 思想；分类时应注意 ． （2）棱柱及其特征

【例2】 有11个面的棱柱有________个顶点，有_______条侧棱.，有 条棱． 【反思与小结】有n个面的棱柱有 个顶点，有 条侧棱，有 条棱． 2.展开与折叠

（1）正方体的展开与折叠:

【例3】 (1)（2011山东菏泽）如图是正方体的展开图，则原正方体相对 两数字之和的最小值的是 ．

(2)如图，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的和最小的是______.

【例4】 现有4枚相同的骰子，骰子的展开1-14所示，这4枚骰子摞在一起后，如图1-15，面点数之和都是8，这4个骰子每个骰子都有你能说出每个被遮住的面各是几个点吗？

【例5】 （2011河北）将左图围成右图的正“ ♡ ”标志所在的正方形是正方体中的（ ）

个面上的

1

63

245

立方体数字之

图如图

相互接触的两个一个面被遮住了，

方体，则左图中的

A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG

【反思与小结】折叠----平面图形立体化；展开----立体图形平面化；折与展，将我们的思维带入到更深刻的境地.对正方体的展开图，若不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，共有11种不同的情形，分别是“1－4－1”型（6种）、“2－3－1”型（3种）、“3－3”型（1种）、“2－2－2”型（1种），请同学们自己在练习纸上画出相应的图形. （2）圆柱、圆锥等的展开与折叠

【例6】 如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，嵌有一条路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是

过点M，P（ ）

A B C D

【例7】 将如图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）

A B C D

3.截一个几何体

【例8】 （1）说出下列几何体截面的形状．

（2）将圆柱沿斜方向切去一截，剩下的一段如图所示，将它的侧面沿一条母线剪开，则得到的侧面展开图的形状不可能是（ ）

A B C D

aa

aa

a

（3）用一个平面去截一个正方体其截面形

状不可能的是 a（请你在三角形、四边形、五边形、六边形、七边形这五种图形

合题意的图形填上即可）．

4.

从不同方向看

【例9】

（

1

）

如图，是一个体积为V的圆柱体锯掉一块后所成物

3a3a

________中选择符

主视图

体的

三视

图，则锯掉部分的体积为（ ）．

VA．4

VVB．6 C．8

VD．12

图如下

(2) （2011四川广安）由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视

所示，则n的最大值是（ ） A．18 B．19 C．20 D．21

(3) （2011江苏连云港）如图，是由8个相同的小立方块搭成的几它的三个视图都是2×2的正方形，若拿掉若干个小立方块后（几何掉），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为．

A．1

B．2

C．3 D．4

主视图

俯视图

何体，体不倒．．（ ）

【反思与小结】对同一个几何体，三个视图间存在如下关系：①主视图列数=俯视图列数；主视图行数=左视图行数；俯视图行数=左视图列数；②主视图中每列小正方形的个数就是俯视图中每列数中最大的数值；③主视图中每行正方体的个数就是左视图中相应的行中数字最大的数.

5.生活中的平面图形

【例10】 如图，大正方形的边长是10厘米，在里面画两条对角线、 一个圆、两个正方形，阴影部分的面积为26平方厘米．则最小正方形 的边长为 厘米．

[一试身手]

【基础训练】

1． 五棱柱有_______个面组成；它有____ 个顶点；经过每个顶点有_______条棱. 2．（2010年湖州中考题）一个正方体的表面展开图如图所示， 则原正方体中“★”所在面的对面所标的字是 （ ）

A．上 B． 海 C．世 D． 博 3．用一个宽2m，长4m的矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为

4. 给出以下四个几何体：球、圆锥、圆柱、正方体，其中能截出长方形的几何体共有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个

D. 1个 5．

（2011山东枣庄）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的其三种视图中面积最小的是

. 【提高训练】

1．

（2011广州）5个棱长为1的正方体组成如图5的几何体． （1）该几何体的体积是 （立方单位），表面积是 （平方出该几何体的主视图和左视图.

2. （2011山东东营）如图，观察由棱长为1

的小立方体摆成的图形，寻找规共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中;把共有8个小立

正面

律：如图①

中; 方体，其中7

单位）（2）画几何体，那么

个看得见，1个看不见；如图③中；共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看得见的小立方体有______________个

3.（2010年湖州中考题）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪

拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是

A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6

4．（2011湖北孝感）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体最少有 个.

主视图 左视图

的小正方体

5.一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经三次切割后剩余部分的体积为________cm3.

七年级数学第2讲 有理数及其运算

【核心学习】

本章主要包括两部分内容：有理数的相关概念及其应用；有理数的运算及其应用。

1．有理数的两种分类法：（1

（22．有关概念：（1）数轴的三要素是：. （2）相反数：

几何意义: ; 代数意义：a的相反数是 ，若a、b互为相反数，则 .

（3）绝对值：

几何意义： .

代数意义：正数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；负数的绝对值 . 3．比较有理数的大小：

4．有理数的混合运算顺序：先算，再算，最后算；如果有括号，先算_________。运算时，要从第三级、第二级、第一级依次进行运算。对于同一级运算，要按照从左到右的顺序进行计算。如果有括号，先算 ，再算 ，然后算 .灵活运用运算率，简化运算过程，具有运算的全局观和优化意识.

【思维体验】

1．有理数的概念

【例1】把下列各数填入相应的大括号内：－2，0，－

12

，30％，1，－0.01001，，0.44„， 53

正整数 ;负分数

;整数

;分数



反思与小结：有理数的分类中，整数和正数、正整数和0容易产生混淆，也有同学不把0.1这样的小数当分数看待. 【例2】1．如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度 B到达点，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则

点A表示的数为（ ）

Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．-3 Ｄ．-2

2.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）

A．ab0 B．ab0 C．ab0 D．|a||b|0

3．大家知道|5||50|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子

|63|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a5|在数轴上的意义

是 ．

4.如图，数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，试在数轴上标出-a，-b，-c，并将a，b，c，-a，

-b，-c用“

【变式训练】

1. （2011台湾台北） 图(一) O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。根据图中各点的位置，

下列各数的絶对值的比较何者正确？

A ．|b|＜|c| B ．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|a|＞|c

|

2. 如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且︱a-b︱=︱b-c︱=1，︱d-a︱=2，那么︱b–d︱＝．

【反思与小结】正确处理概念问题，关键是弄清概念．在有理数的有关概念中,数轴起着核心作用:运用数轴直观的表示有理数;形象的解释相反数;准确地比较有理数的大小;恰当地解决与绝对值有关联的问题； 的数学思想方法处处体现.

【例3】若x2和3y互为相反数，则x__________,y____________.

【变式训练】若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0 计算:（1）x,y,z的值.（2）求|x|+|y|+|z|的值.

【反思与小结】非负数的性质：若几个非负数的和等于零,则这几个非负数 ;若两个非负数互为相反数,则这两个相反数 ． 2．有理数的运算

【例4】计算：（1）24+（-17）+76+37； （2）(2)()5

1

31423() 34

【反思与小结】运算率可以简化运算，具体来说，加法交换率和结合率是为了“凑整”， “凑整”可分为同号凑整法和异号凑整法，对于带分数还可以使用整数部分和分数部分的“拆项法”，特别要注意第（2）小题中两个带分数的分数部分不能凑整。（注：凑整不见得是凑整数）

【例5】计算:（1）4×(-96)×0.25×(-

11111

) （2）( -++-) ×(-24)

4846812

反思与小结：运算率可以简化运算，具体来说，乘法交换率和结合率也是为了“凑整”，而乘法分配率可以改变运算顺序，这些都可以简化运算．

【例6】 下面的解题过程正确吗？说说你的理由，如果错误，请给出正确的解答．

7177(1) 8486

717777

解：原式=(1)

848886

974787673

=()=（)1=

[1**********]

若将上式的除式与被除式交换位置，能用分配律吗？请你计算.

反思与小结：有理数的除法可以转化为乘法，但要注意除法没有相应的交换律、结合律． 【例7】计算:－4+３×-2×（

2

3

11－１）÷（－1） 33

反思与小结：含有乘方的运算，应特别注意符号问题，必须判断每一次乘方运算的正负情况，抓住了符号，就基本抓住了乘方．

【例8】 某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5

（1）问收工时距A地有多远？

（2）若每千米耗油0.3升，问从A地出发到收工时的耗油量是多少升？

反思与小结：在本题中认真理解具有正负抵消的运算和需要使用绝对值的运算的区别．

【例9】(2011重庆綦江)如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中．．．．

所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ）

A. 3 B. 2 C. 0 D. －1

【积累与小结】本章突出体现的数学思想有：分类讨论、数形结合、转化等；有理数概念中最难的是绝对值的

概念，建议经常使用数形结合的方式解决绝对值的问题，并注意绝对值的双值性；运算中的错误集中在符号的确定上，抓住了符号，就抓住了运算．

【一试身手】

【基础训练】

1. （2011浙江省）如图，在数轴上点A表示的数可能是（ ）

A. 1.5 B.－1.5 C.－2.6 D. 2.6

2. （2011台州）在 A.

1

，0,1，－2这四个数中，最小的数是（ ） 2

1

B. 0 C. 1 D. －2 2

3. （2011广东广州市）若a

B．abc = 0

C．abc > 0

D．无法确定

4．相反数等于它本身的数是__，倒数等于它本身的数是____，绝对值等于它本身的数是____. 5．比较大小（填写“＞”或“＜”号）

（1）－

31_____|－52

| （2）|－

1

|_____0 5

6．下列各式中，不相等的是 ( )

A、(－3)2和－32 B、(－3)2和32 C、(－2)3和－23 D、|－2|3和|－23| 7．计算：① （-8）-（-15）+（-9）-（-12） ② (-12)÷4×(-6)÷2;

311

③1000.1 ④[(－3)2－(－5)2]÷（－2）

1025

【提高训练】

1. 如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ） A．a＜1＜－a

B．a＜－a＜1

A

1

C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1

2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）．

A．ab0 B．ab

0 1 C．ab0 D．ab0

3．计算：（+1）+（－2）+（+3）+（－4）+……+（+99）+100）．

b  1

4．已知：

223344

22，33，44，……， 112233aa

若1010（a、b都是正整数），则a+b的最小值是． bb

下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A）2011

（B）2011

„ „

红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫

5. （2011浙江省嘉兴，9，4分）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩

（C）2012

（D）2013

6．a是不为1的有理数，我们把

11

称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，1的差倒数是．．．121a

111

．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，„，依此类推，则

31(1)2

a2009．

七年级数学第3讲 字母表示数(一)

[核心学习]

用字母表示数，渗透了从具体的数到字母的抽象概括的思维方式，它具有简明、普遍的优越性。

字母和数一样都可以参与运算，不同的是数的运算结果是一个数，字母运算的结果是一个式子。因 此，字母表示数是代数的核心，而且把实际问题用数学式子表示，还是用数学工具解决实际问题的 一种方法，所以本章应是学习的重点。

本节课我们仅复习“a能表示什么”“代数式和代数式求值”等内容，下面是有关的知识网络， 请同学们思考后将它补充完整．

数量关系或变化规律 1．字母表示运算律：例如乘法交换律 和结合律 ；分配律

公式、法则：例如三角形的面积公式S＝ ；圆面积公式S＝

意义：用运算符号连接数与字母的式子是代数式，单独 也是代数式。 系数：在代数式中，每一项字母前的 叫做这一项的系数 书写规则： (1)乘号写为“ ” 或者省略, 数与字母相乘时 放于 之前 2 (2)带分数与字母的积,要把带分数化为 (3)除法运算一般写为 的形式 (4)单位问题：在代数式和运算结果中,如有单位时,要正确地使用

求值：用 代替 ，就可以求出代数式的值。

【思维体验】

1．代数式的意义

【例1】用语言描述代数式(a+b),a+b的意义,它们相等吗？

2.用字母表示 【例2】（2011浙江温州）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程，某工程队承包了该项目，计划每天加固

60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了 天（用含a的代数式表示）． ☆变式训练

（2011广东东莞）按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是__ _ ．

【例3】一家体育器材商店，将某种品牌的篮球按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，已知每个篮球的成本价为a元，则该商店卖出一个篮球可获利润 元. ☆变式训练

1．某商品先提价20%后又降价20%出售，已知现在的售价为a元，原售价为多少元？

2．小明到商店为自己和弟弟各买一套相同的衣服，甲乙两家商店的每套售价相同，但甲规定若一次买两套其中一

2

2

2

套可获得七折优惠，乙规定若一次买两套按总价的4/5收费，你觉得( )

（A） 甲比乙优惠待遇 （B） 乙比甲优惠 （C） 甲、乙收费相同 （D） 以上都有可能

3．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数式表示）．

【例4】某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为y= .

☆变式训练 甲、乙两地相距60千米，一自行车以10千米／时的速度从甲地往乙地行驶，t小时后自行车离乙地的距离S(千米)，则将S用t表示是 ．

【例5】一个十位数字为0的三位数，它恰好等于各位数字和的m倍，交换他的百位数字与个位数字的位置，得到新三位数是其各位数字和的n倍，则n的值是（ ）.

A 99－m B 101－m C 100－m D 101+m

★反思与小结：用代数式表示实际问题中的数量时，首先要弄清题意，特别是题中字母的 和题目中各数量 ；在许多较复杂的问题中，有些量是用文字语言表述出来的，这时常常需要引入假设的字母表示它们，但要注意： 。

【例6】1.（2011安徽芜湖）如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为a1cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.

A．(2a25a)cm2 B．(3a15)cm2 C．(6a9)cm2 D．(6a15)cm2

2.长、宽分别为a、b的4张矩形硬纸片拼成的一个“带孔” 正方形如图 所示，利用面积的不同表示方法，写出一个 代数恒等式 . ☆变式训练

1．如图，在边长为a的正方 形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下

的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图阿形阴影部分

的面积，验证了公式 .

2． 如图11，小红房间的窗户由六个小正方

形组成，装饰物是两个四分之一圆，用只含a（或只含b）的代数式 表示窗户中能射进阳光部分的面积是 .

★反思与小结：以上各题均是用代数式表示图形面积的问题，

解决这类问题时都要用 思想作指导，还要注意正确使用 公式，特别是要弄清所要表达的图形的面积与题目中各图形的面积之间的 关系． 3．代数式求值

【例7】电灯的功率是a瓦，那么t时的用电量是

at

千瓦时．若张玲家平均每天用电4时，则用一个401000

瓦的灯泡比用一个60瓦的灯泡每年（以365天计算）可节约多少电？

【例8】某市为鼓励市民节约用水，对自来水用户按如下收费标准收费：若每户每月用水不超过15m3,则每立方米按a元计算；若超过15m3，则超过的部分按每立方米2a元计算：

某户居民在一个月内用水nm3(n≧15),那么它应缴纳多少水费？

该户居民在10月份用水35m3，11月份用水28 m3，12月份用水40 m3，他在这三个月中各交水费多少元？

★反思与小结：以上两例都是代数式的值在实际中的应用，例7已知代数式，由实际意义去求值和比较即可，而在那些没有给出有关代数式的问题中，需 . 【例9】当

2ab22ab3ab的值 5时，求代数式abab2ab

☆变式训练

1．（2011江苏盐城）已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是（ ）

A．-1 B．1 C．-5 D．5

33

2．当x=3时，代数式ax–bx+3的值为21，则当x= –3时，代数式ax–bx+3的值为多少？

【例10】一商人以每3只16分钱的价格购进一批桔子后，又以每4只21分钱的价格购进比前一批数量加倍的桔子。如果他以3只k分钱的价格全部卖出得到所投资的20％的受益，求k．

【变式训练】李铭的父亲是做服装生意的。一次他将甲、乙两件上衣同时卖出，卖价均为a元，其中甲种上衣盈利25％，而乙种上衣亏损25％，请你帮李铭的父亲算一算，他做这次生意是赚了还是赔了？若赚了，赚了多少钱？若赔了，又赔了多少？

★反思与小结：上面所使用的方法是 ；这种方法在今后的求值问题中经常使用，同学们要学会使用。

【积累与小结】

用字母表示数是人类认识的一个重大进展，它将具体数字“符号化”，从而导致大量的数学发现，所以它本身就是一个重要的数学思想．另外，本节课还涉及特殊到 和一般到 的思考方式及 等数学方法．

【一试身手】 【基础训练】

1．一个两位数,十位数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2,这个两位数可表示为

2．（2011江苏盐城）某服装原价为a元，降价10%后的价格为元． 3．（2011四川乐山）体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元。则代数式500-3a-2b表示的数为。

4．小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢（n>m），他数过的节数是

5．某钢厂第一年生产a吨钢，以后每年增加5% 则第二年生产多少吨钢，第三年生产多少吨钢？

6．某农具厂，第一季度用去电费m元，用去的水费比电费的2倍少40元，第二季度的电费节约了20%，水费多支出5%。则该厂第二季度水电费为多少元？

2a211

7．当x=–1，y=6时，求2x–y的值． 8.当a=,b=–时，求的值．

b535

2

2

【提高训练】

1．已知电影院第一排有x个座位，后面每排比前一排多4个座位，则第y排的座位有多少个？

2．m表示一个两位数，n表示一个三位数，把m放在n的左边得到一个五位数,如何表示？

3．张大伯现从报社以每份0.4元的价格购进a份报纸，以每份0.5元的价格卖出b份，剩余报纸以每份0.1元的价格退后报社，张大伯卖报纸收入多少元钱？

4．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.3元；超过5千米，

每千米价2.4元。

①若某人乘坐了x(x＞5)千米的路程，则他应支付的费用是多少？ ②若他支付了15元车费，你能算出他乘坐的路程吗？

5．公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高如果用a（单位：厘米）表示脚印长度，b（单位：厘米）表示身高.关系类似于：b=7a —3.07

①某人脚印长度为24.5厘米，则他的身高约为多少？

②在某次案件中，抓获了两可疑人员，一个身高为1.87米，另一个身高1.75米，现场测量的脚印长度为26.3厘米，请你帮助侦察一下，哪个可疑人员的可能性更大？

七年级数学第4讲 字母表示数(二)

【核心学习】

本节课复习两个问题，其一是合并同类项和去括号；其二是探索规律，并用符号表示规律．

合并同类项、去括号是进行代数式运算的基础。首先要正确认识同类项，把握同类项的两个条件，进而熟练地进行同类项的合并；在合并同类项中，有括号的要先运用运算律去括号。

探索规律是由特殊到一般的过程，这里要求我们会用代数式表示自己的发现，并能借助合并同类项、去括号去验证它。下面是有关本节课的知识小结，请同学们思考后将它补充完整．

1．同类项：所含 ,并且 也相同的项. 2．合并同类项：就是把同类项的 相加， 不变. 3．去括号：括号前是“+”，去括好后，原括号内的各项 ;

括号前是“－”，去掉括号后，原括号内的各项 .

【思维体验】

1.同类项，去括号 【例1】

23m13152n1

xy与xy是同类项，求2011（mn-3）的值. 34

【变式训练】已知3x5+ay4和-5x3yb+1是同类项，求代数式3b4－6a3b－4b4＋2ba3的值.

【例2】 化简2a－3b3a2ba2a

【变式训练】已知有理数a、b、c

化简：a＋b＋3ab－2bc＋4ac

★ 反思与小结：当括号前有数字因数时，应利用 计算，出现多层括号时，可由 逐层去括号，也可由 逐层去括号，但要以简便、不易出错为准；在含有绝对值的代数式的化简中，除正确运用 的意义，还要正确运用去括号法则。

【例3】某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其中一种。第一种方式为计时制：每分钟0.05元；第二种方式为包月制：一部电话每月50元。另外，每一种上网方式都要加收每分钟通信费0．02元. (1)某用户某月上网的时间为x小时，请写出这两种收费方式下应该支出的费用； (2)若某用户某月上网的时间为20小时，你认为采用那种方式合算？

★ 反思与小结： 上题仍是对列代数式的巩固与提高，突出实际应用，在审题中要抓住关键字眼弄清其含义，如盈利和亏损等。在决策性问题中，常用作差来比较大小。 2.找规律

【例4】(2010年丽水) 已知a≠0，S12a，S2(用含a的代数式表示)．

【变式训练】(2009年贵阳)有一列数a1，a2，a3，a4，，an1，an，其中a1521，a2532，a3543，a4554，a5565，

222，S3，„，S2010，则S2010S1S2S2009

，当an2009时，n的值等于（ ）

D．334

A．2010 B．2009 C．401

【例5】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现， 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律

的是（ ）

4=1+3 9=3+6

16=6+10

A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36 = 15+21 D．49 = 18+31

【变式训练】（2011广东肇庆）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．

„

★ 反思与小结：以上各题运用 等方法展现数据或其它信息，观察数量变化，分析由特殊到一般的关系，用 抽象出来。

【例6】某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：

● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○

若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2011个圆中有 个空心圆.

【变式训练】

1.把编号为1，2，3，4，„的若干盆花按右图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为_______色.

【例7】(2009年南宁)正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

„ 1 第一行

„ 4 第二行

第三行 第四行 第五行 „„

9 16 25

8 24

14 23

13 22

21

„ „ „

【变式训练】观察下列数表： 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6

4

5 6 7 „ „ „ „ 第一行 第二行 第三行 第四行

   

第 第 第 第 一 二 三 四

列 列 列 列

根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为____，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为_____.

【反思与小结】以上各题运用 等方法，主要是从“形”中探索出“数”的规律。

【积累与小结】

要明确合并同类项的理论依据就是逆用___________,合并同类项要进行到_____________. 去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的 一起去掉；

探索规律的一般方法：从_______________问题出发，观察各个_______ 的特点以及相互之间的变化规律；由此及彼,_______联想，大胆_________；善于类比，从不同事物中发现其_______；总结规律，做出结论，并_________是否正确.

【一试身手】

[基础训练]

1．化简：①2a2(a1)3(a1) ②3(2x2xy)4(x2xy6)

22

2．先化简，再求值：7x5x32x3x5，其中x

1 2

3.先化简，再求值：2(a2bab2)2(a2b1)2ab22，其中,a2,b2

[提高训练]

1．ａ＜０，ab

2．按一定的规律排列的一列数依次为：数是 .

111111

,,,,,┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个2310152635

3．如图，按一定的规律用牙签搭图形：

（1）按图示的规律填表：

① ② ③ （2

七年级数学第4讲 字母表示数成就测试

班级 姓名_______________ 成绩：

一、选择题：每小题8分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列各式中，符合代数式书写要求的是

A．3a B．（a–b）÷c C．n–3人 D．2.5x

2．买单价为a元的体温计n个，付出b元，应找回的钱数是 A．（b

–a）元 B．（b–n）元 C．（na–b）元 D．（b

–na）元

3．某种商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为（ ）．

1

2

A．a元 B．0.8a元 C．1.04a元 D．0.92a元

Ｄ．

当输入数据是时，输出的数是（ ） Ａ．

888

Ｂ． Ｃ．

6761658

69

二、填空题：前四题，每小题10分，后两题，每小题8分，共56分，把答案填在右面答卷的相应位置．

1．回收废纸用于造纸可以节约木材，每回收1吨废纸可节约3m3的木材，那么回收(a+1)吨废纸，可节约木材

2．某农场有s公顷水稻要收割，原计划每天收割m公顷，解放军前来支援，每天比原计划多收割n公顷，

解放军支援后能提前 天收割完． 3.瑞士中学教师巴尔末成功的从光谱数据,

9162536

,,......中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙之门，5122132

请你按这种规律写出第十个数据是 .

4．当x=1, y=–6时，x2+y2;(x+y)25．某公司今年5月份的纯利润是a万元，如果每个月纯利润增长的百分率都是x, 那么预计6月份的纯利润将达到 ；7月份的纯利润将达到 （用代数式表示）

6．某商场搞促销，将一批电脑打七折销售，小强花a元买了一台，那么打折前这台电脑的售价是元. 三、解答题：本题12分，解答应写出文字说明或演算步骤

现代营养学家用身体质量指数来判断人体的健康情况，这个指数等于人体质量（千克）与人体身高（米）平方的商。一个健康人的身体质量指数在20---25之间；身体指数低于18的，属于不健康的瘦；身体指数高于30，属于不健康的胖。

（1）设一个人的质量为m(kg)，身高为h(m)，求他的身体质量指数

（2）张老师的身体质量60公斤，身高为1.70米，求他的身体质量指数（精确到个位），并判断属于上述的哪一种类型？

四、选做题（将必做题做好，检查无误后，再做选做题，选做题得分不计入总成绩）

．．．．．．

通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25％，现在的收费标准是每分钟b元，求原收费标准每分钟为多少元．

七年级数学第5讲 有理数和代数式运算中常用的数学思想方法

【核心学习】

有理数与代数式之间存在着内在的联系，一是需要认识到“数”和“式”的本质意义都是用来表示数量关系和变化规律，但用字母（或代数式）表示数更能够简明地表示出事物的规律及本质特征；二是“数”的很多性质在“式”中仍然成立，性质可以继续沿用.

这节课我们将重点研究有理数与代数式中常用的数学思想方法，如数形结合，分类讨论，特殊化思想，转化与化归思想，整体思想，观察、比较、归纳、猜想的数学思想方法，逐步抽象法.在研究的过程中将进一步体会有理数与代数式之间的联系和区别.

【思维体验】

1.特殊化的思想方法 【例1】（1）已知a、b、c都是有理数，且a＞b＞c，那么下列各式正确的是（ ）

A.ab＞bc B.a+b＞b+c C.a-b＞b-c D.＞

a

cb c

（2）已知a>0,b0,则a、-a、b、-b、a-b、b-a按由大到小的顺序排列为 .

★ 反思与小结：在解答选择题时，可根据题目的条件及要求的范围，取几个 代入检验，排除不正确的选择支. 变式训练：（2011广东广州市）若a 0 D．无法确定 2.分类讨论思想

【例2】比较5a与3a的大小

【例3】对于任意非零有理数a，求

aa

的值

★ 反思与小结：当代数式中的 不确定时，往往需要作分类讨论，以得到全解. 变式训练：求（-1）

3.数形结合思想

【例4】数轴上的两个点A、B分别表示有理数a、b， （1）请你化简代数式|a+b|-a （2）求A、B两点之间的距离

【举一反三】数a 、b 、c在数轴上的对应点如下图所示。化简 |a+b|-|a+c| =________.

n

★ 反思与小结：“数”和“形”是数学的两大支柱，通过数形结合，就能从多个角度得到解决问题的方法. 4. 特殊—— 一般 ——特殊

【例5】问题：你能很快算出2005 吗?

2

为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即转化求（10n+5） 的值（n为自然数），试分析n=1，n=2，n=3，„这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）。

（1）通过计算，探索规律：

15=225，可写成100×1×（1+1）+25， 25=625，可写成100×2×（2+1）+25， 35=1225，可写成100×3×（3+1）+25， 45=2025，可写成100×4×（4+1）+25，

75=5625，可写成_____ ____ ____。 85=7225，可写成_______ ______。 „„

（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）=________ _____。 （3）根据上面的归纳、猜想，请算出：2005=___ ___

★ 反思与小结：本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊—— 一般 ——特殊”的思想方法，这正是用字母代数 （从特殊到一般）后再求代数式的值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用。 变式训练：请用上面的方法计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

（1）通过计算，探索规律：

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

222222

2

13+23=______，可写成； 13+23+33=______，可写成； 13+23+33+43=______，可写成____ _________；

（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：1+2+3+„n=_____________。 （3）根据上面的归纳、猜想，请算出：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=___ ___.

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

5.逐步抽象法

【例6】一种商品的成本价为a元，按成本增加25%作为销售定价，后因库存积压减价，按定价的9折售出，用含a的代数式表示这种商品可盈利多少元？

★ 反思与小结：“列式”时借助于“逐步抽象法”，就是不急于一下子写出所要列的式子，而是采取三个步骤来完成：第一步，确定出所求式子的基本表示（可用文字、数字、字母混合的形式表示）；第二步，对基本表示中的每一项逐步拆解，依次用题目中提供的已知数量来替换；第三步，以相反的过程“代入”，就能得到要求的式子.可以看出，用“逐步抽象法”列式，给出了一个可以依循的思考层次和步骤，有利于准确而迅速地列出式子. 6.整体思想

【例7】化简3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）

【例8】如果代数式4y-2y+5的值为7，求代数式2y-y+1的值.

★ 反思与小结：整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理.

2

2

【积累与小结】

有理数与代数式的运算中常用的数学思想方法有 . 通过举特殊值，把“式”变成“数”；也可以通过规律探索，把“数”变成“式”.这两者都能表达数量关系和变化规律，但一些比较复杂的问题，改用“式”来表达更加简捷，计算起来也更加方便，两者之间即有联系又有区别的，它们是不可分割的整体.

【一试身手】

[基础训练]

1. （2011浙江金华，11，4分）“x与y的差”用代数式可以表示为 2. 已知2x2-3x+6=9，求x2－3.已知a

.

3

x6的值． 2

b

0，则abab等于（ ） a

A.2a+2b+ab B.-ab C.-2a-2b+ab D.-2a+ab

4. （2011山东聊城）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）

A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1

5. （2011四川乐山12，3分）体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元。则代数式500-3a-2b表示的数为 。 [提高训练]

6.如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且︱a-c︱=︱b-c︱=︱d-b︱=1，那么︱a-b︱＝ . 7.三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a，又可以表示为0， 8.若a

b

，b，试求a2011+b2012 a

20072008

，b，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． ．．20082009

观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．

9. 已知a-b=3，b-c=5，求(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2的值

七年级数学第6讲平面图形及位置关系（一）线段、角

【核心学习】

线段、角是最基本的几何图形，是学习其它几何图形的基础.通过对这两种平面图形的研究，初步了解

学习几何知识的基本方法，掌握好几何语言、符号语言和图形语言，为今后的学习奠基.本单元的重要概念、公理和知识网络如下，请同学们认真填写．

直线——公理：经过两点 直线.

最短

基本图形 叫做两点之间的距离.

C是线段AB的中点，则AC=_ = AB A B C

具有__________的两条射线组成的图形叫做角.

C 角也可以看成是由 绕着它的 旋转而成1°＝ ′，1′＝ ″，

1′＝（ ）°，1″＝（ ）′180°的角按照大小可分为______________. B

角平分线:如图OC平分∠AOB,

则∠AOC=∠ = ∠AOB , ∠AOB= ∠AOC

1．公理的理解

【例1】(1)下列四个生活、生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程

C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．安装木质门框时，为防止门框变形往往沿对角线钉上一根木条

(2)（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

A B C D

2．线段、角的有关概念

【例2】(1)点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（ ） A．AC=BC B. AC+BC=AB C. AB=2AC D. BC=错误！未找到引用源。AB

(2)利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是（ ） A .15° B. 135° C. 165° D. 100°

3.线段、角的计算

【例3】(1) 已知线段AB，延长AB到C，使BC=

1

AB，D为 AC的中点．若DC＝4㎝，则AB的长是（ ）. 3

A．3cm B．6cm C．8cm D．10㎝

（2）如图，OC平分∠AOB，若∠BOC=29°34′，则∠AOB= ____° _____′．

【反思与小结】计算时，没有图形首先要 ，其次要明确题目所涉及到的是哪种 ，掌握题目中各有关线段（角）之间的 ．这体现了 的数学思想方法.

上面例题中有两题的解决分别运用了线段中点和三等分点的性质，得到线段之间的等量关系，进行了线段的变换；例3（2）题运用了角平分线的概念，得到了角的等量关系，进行了角的变换，这是计算线段长度和角的大小的常用方法. 4.方法探索

【例4】如图，已知线段AB=30厘米，BC＝10厘米，线段AB与B N C M A BC的中点分别为M、N,则线段MN＝厘米；

(1)若线段AB=a,BC＝b, 那么线段MN＝ （用a,b表示）；

(2)若点C在B点的左侧，AB=30厘米，BC＝10厘米，则线段MN＝ 厘米；

(3)当点C在B点左侧时，若线段AB=a,BC＝b,且a＞b, 那么线段MN＝ (用a,b表示）；

(4)若本题没有图形，条件改为已知线段AB=30厘米，点C在直线AB上，且BC＝10厘米，线段AB与BC的中点分别为M、N,则线段MN＝ 厘米.若线段AB=a,BC＝b, 且a＞b，点C在直线AB上， 那么线段MN＝ （用a,b表示）.

由本题的变式，你能得出什么结论？可与同伴交流.

点拨：本题的解决主要运用整体运算和分类讨论的数学思想方法.这是解决线段或角的计算问题时常用的方法.另外， 对于大部分同学，往往只考虑其中一种情况，而导致漏解，这主要是没有充分理解“点C在直线AB上”这句话的确切含义.

【变式训练】你能求出角的度数吗？

（1）已知∠AOB=60°,从O点再引出一条射线OC,使∠BOC=20°，OM平分∠AOB,ON平分∠BOC，

求∠MON的度数.

（2）若∠AOB=a°,从O点再引出一条射线OC,使∠BOC=b°, 且a＞b，其他条件不变，求∠MON的度数(用a,b表示）.

【反思与小结】由以上两例，你能总结一下它们的共同点吗？你有什么启示？一般地，在所遇到的几何题中，如果未提供相应的图形而需要自己动手画图时，就要画出 的图形,这时往往会出现多种情况，这就需要 ．有关线段和角的问题，两者常常有许多类似之处，学习或解决这两种问题时，不仅要

善于将它们加以 ，而且要善于运用整体运算等思想方法．

5.图形中的规律数

C 【例5】（1） (2010年柳州) 如图， l

点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）

A．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条

E F D A B C （2）如图，图中共有多少个角？你有没有简便、快捷的方法？与同伴交流.

【反思与小结】你能否总结出数线段或角的个数的规律吗？它们有何共同点？若把1题改为直线l上有n个点，请你运用从特殊到一般的思想求出图中共有线段的条数是 ．

有关线段和角的问题，两者常常有许多类似之处，学习或解决这两种问题时，要善于将它们加以 ． 【例6】1．同一平面内有四个点，过每两点画一条直线，则直线的条数为（ ）.

（A）1条 （B）4条 （C）6条 （D）1条或4条或6条

点拨：同一平面内的四个点，要确定它们可以确定几条直线，应考虑这四个点在位置上有什么关系. 2．（2007南宁）在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多 ．．．．有 个交点，8条直线两两相交，最多有 个交点．n条直线呢? ．．

反思与小结：解答计数问题时，必须做到“ ”，而要做到这一点，“数”的时候就需进行 ． 6.线段、角在生活中的应用

A ·

【例7】（1）最短距离问题 如图，公路两旁有A,B两个村庄， 要在公路L边建一车站C，使C到A和B的距离之和最小， l请找出C点位置，并说明理由. B ·

（2）钟表中的角 现在的时间是9点20分，此时钟面上的时针与分针夹角的度数是（ ）.

（A）150° （B）160° （C）162° （D）165°

（3）方位角 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

A.南偏西50°方向 B.南偏西40°方向 C.北偏东50°方向 D.北偏东40°方向

【反思与小结】解决生活中线段、角的问题，首先要建立数学模型，弄清它们实际意义.如方位角是如何规

11

36030 ，1分钟转过了300.5，分针60分钟转12601

3606，利用这一规律可以求某一时刻时针与分针的夹角问一周，所以分针每走1分钟扫过的角是60

定的？再如钟表中，时针1小时转过了题.

【积累与小结】本节课涉及到了很多数学思想方法，①数形结合的思想，如例1；②类比的思想，如例2和例3；③分类的思想的思想，④整体的思想，⑤从特殊到一般的思想，经过总结你是否真正理解了这些思想

方法？它们在上述题目中怎样运用的？今后在学习时，你也可以尝试去总结，相信你一定会有很多收获. 【一试身手】 【基础训练】

1.已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )．

A．3:4 B．2:3 C．3：5 D．1:2

2.经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ） A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条

3. (2010 陕西省) 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若COA36°， 则DOB的大小为( )

A.36° B. 54° C.64° D. 72° D

4. (2009丹东市) 如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC， ∠EOC=110°，则∠BOD的度数是（ ）

A A．25° B．35°

C．45° D．55°

C 5. 将一长方形纸片，按右图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（

）

A．60° B．75° C．90° D．95°

6.(2010呼和浩特) 8点30

分时，钟表的时针与分针的夹角为

7.如图，点C分AB为2∶3,点D分AB为1∶4，若AB为5 cm,则AC=_____cm,BD=_____cm,CD=_______cm..

8.钟表在整点时，时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情况，请分别写出它们的度数 B 9. (2010南京市) 如图，O是直线l上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝°A

l

10. 如上右图，已知O是直线AB上的点，OD是∠AOC的平分线， OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数.

．

【提高训练】以下题目选做

11. 在直线AB上，有AB=5 cm，BC=3 cm，求AC的长. A5 12．如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求

A4

∠A1E2A2∠A4E2C4∠A4E5C4的度数．

A3

E5

七年级数学第7讲 平行、垂直平面图形及位置关系（二）

【核心学习】

本节课重点复习平行、垂直的概念及基本性质，另外通过七巧板拼图进一步丰富对平行、垂直的认识，巩固有关图形的知识，并对本章做一个总结，同时发展同学们有条理的思考和表达的能力，进一步加强空间观念．

平行的定义：同一平面内， 的两条直线叫做平行线。

平行平行的性质：①经过直线外一点， 条直线与已知直线平行（平行公理）。

两直线的 ②如果 都与第三条直线平行，那么这两条直线也 。 位置关系 垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中， ，那么这两条直线互相垂

直.

垂直 一条直线与已知直线垂直。

点到直线的距离：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 最短；这条垂

线段的长度叫做 .

【思维体验】

一、平行、垂直概念应用

【例1】1．如图，在长方体中平行于AB的棱有__________条，分别是 垂直于AB的棱有______条，分别是 .

2．下列说法中，正确的个数是（ ） ①如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行 ②不相交的两条直线一定是平行线

③同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行 ④同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线 ⑤一条直线有无数条平行线.

⑥过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行.

A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

【反思与小结】在平面内，垂直一定 ，若没有“在平面内”的条件垂直不一定相交，如例1（1）题中， 找垂直于AB的线段要从在平面内、不在平面内两个方面去考虑；从例1（2）题中可以看出，确定平行的 关键是看线段所在 的特征. 【变式训练】已知∠ACB=90°，若BC=8cm，AC=6cm，AB=l0cm，则B到AC的距离是 ， A到BC的距离是C到AB的距离是． 二、读句作图、发现、猜想

【例2】1．三角板作出下列三角形的三条高线．并观察你从中发现了什么？ （1） （2） （3）

【反思与小结】三角形的形状不同，高线所在的位置 ，锐角三角形的高在 ；直角三角形的两条高是 ；钝角三角形中，夹钝角的边上的高在 ．另外，作哪条边的高线，就应该将三角板的直角边落在哪条边上。

2．下面的方格纸中，用三角尺分别

画出与MN平行的线段，与PQ垂直的线段．

3．（1）任意作一个∠AOB； （2）在角内部取一点P；

（3）过P分别作PQ∥OA，PM∥OB，分别交OB于Q，交OA于M； （4）若∠AOB=30°，猜想∠MPQ是多少度？

4． (1)已知梯形ABCD中,AB∥CD,过点C画DB的平行线与AB延长线交于F, 度量DC与BF,DB与CF的长,并比较DC与BF,DB与CF的大小.

(2)直线AB、CD相交于点O,点P是直线AB上不同于点O的一点,过点P作CD 的平行线EF,用量角器度量∠AOC与∠APE的大小并比较.

(3)以上两题的结论是偶然的吗?如有兴趣,请试一试,并讨论讨论.

【反思与小结】通过比较规范的作图、测量等操作，有助于我们发现图中的规律. 三、与“最短”有关的问题

【例3】(1)在铁路旁有城镇，现在要建一火车站，为使城镇的人乘车方便(即距离最近)，请你在铁路选一点作为火车站的位置，并说明理由．

a

（2）A、B两点在直线a的两侧，试在直线a上找一点C，

使得AC+BC最短，并说明理由.

D （3）有A、B、C、D四个村庄如图所示，若要建立一个粮仓O， 使粮仓O到四个村庄的距离之和最小，粮仓应建在何处？ 请说明理由，并在图中画出粮仓O的位置.

C

(4)如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒上相邻两 个面的中心，一只盒上由A处向B处爬行，它所走的最短路程是 .

【反思与小结】在解决“最近”（“最短”）的问题时，常常要用到 或 . 另外，“立体问题”可转化为平面问题，再利用 性质来解决问题.

【变式训练】如右图：运动会上，甲乙两名同学测得小明的跳远成绩分别 为PA=5.52米，PB=5.13米，则小明的真实成绩为__________米.

A 四、有关角的计算

【例4】1.如图，直线AB，CD相交于点O，OEAB于O，

∠COE55，则∠BOD的度数是（ ）

B

A．

40

B．

45

C．

30

D．35

D

C

B2．如图,OC⊥OB,垂足为O,∠COB与∠AOC之差为60°

(1)试求∠AOB的度数.

(2)若省去图形,已知条件不变. CO

OC⊥OB,垂足为O,∠COB与∠AOC之差为60°,试求∠AOB的度数. （3）若∠COB:∠AOC=3:1,试求∠AOB的度数. A

【反思与小结】要注意充分利用已知垂直的条件，想到直角，并注意运用数形结合思想，认真观察图形，找出角与角之间的数量关系.

【变式训练】1. 两个角的两边互相垂直，其中一个角为40°，则另一个角的度数为（ ）

A．40° B．140° C．40°或140° D．不能确定

2.如右图，AB⊥CD于Ｏ，∠AOE=57°, 则∠DOE =____________ , ∠COE =__________ ,∠BOE =________.

五、有趣的七巧板

【例5】如下图，用边长为a的正方形制作的七巧板拼成一只小猫， 则小猫头部（图中阴影部分）的面积是 . （用a的代数式表示）．

E A O B

D

【反思与小结】要注意了解七巧板的结构特点，了解每一块板的形状大小及关系，再注意观察所拼图形的结构特点及每一块板的形状、大小与组成原七巧板各板块的形状与大小关系。

【积累小结】平行与垂直反映的是两条直线之间的位置关系，画这两种图形时，需要学会“横画”、“竖画”与“斜画”；画图时，它们都具有唯一性，即①经过直线外一点， 条直线与已知直线平行（平行公理）；②平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直.认真体会平行与垂直的意义，学会利用平行与垂直解决问题。要学会几何语言、图形语言与符号语言之间的相互转化，初步深透推理的意识，学会合理的表达. 【一试身手】 【基础训练】

1. 同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3 2． 下列四个生产、生活现象：（1）用两个钉子就可以把木条定在墙上；（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；（3）在建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙；（4）在正常情况下，射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星确定在直线上，才能射中目标；（5）植树时，只要定住两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；（5）把弯曲的公路改直，就能缩短路程；（6）过马路时尽管有地下过街通道，可是很多行人还是宁愿冒着生命危险横过马路。其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象是_______;其余的可以用_____________来解释.

3.如右图，CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，则C到OB的距离是线段______的长度，E到OA 的距离是线段______的长度，O到CD的距离是________，Ｏ到EF的距离是________.

4.如图，已知1100，2140， 那么3 ．

5.如图，CD⊥AB，垂足为C，1130，

2

B 则2 度．

6.如图，某长方形木板在运输过程中不慎折断，请在剩余的板材上画一直线，以便截出一块面积最大的长方形木板.

【提高训练】

1.一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是( )

A、75° B、105° C、45° D、135° 2.两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=138°， 求∠BOC的度数．

3.如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，

A

第2题图

∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数.

第3题图

4.长为a m，宽为b m的长方形草坪中间有一条人行道，道路两边是平行的，尺寸如图所示，这块草坪实际绿化面积为 ．

第4题图

第5题图

5.一副三角板，如图叠放在一起，∠的度数是 度．

6.平面上3条直线的交点个数有几个？平面上4条直线的交点的个数有几个？请画图讨论.

七年级数学学案（8） 一元一次方程的解法（一）

【核心学习】

一元一次方程是内容最基本、形式最简单的方程，它既是对已学过的知识——代数式、有理数的运算、整式的加减的巩固和加深，又能为今后学习其它方程（组）、函数等内容奠定基础.本节课重点复习两个问题：一是理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等概念,二是熟练地掌握一元一次方程的解法及初步应用.

等式的性质：①等式两边都加上或减去 所得结果仍是等式.

②等式两边都乘以或除以 所得结果仍是等式.

方程的概念：含有 的等式叫做方程.

方程

概念：含有 个未知数，并且未知数的次数为 这样 的 叫一元一次方程.

解一元一次方程的步骤：① ；② ；

一元一次方程

③ ；④ ；⑤ .

【思维体验】

（一）等式的性质、方程及一元一次方程的概念

【例1】1．填空，并在括号内注明是根据等式的哪条性质变形的：

（1）如果5＋x＝4，那么x＝ （等式两边同时_________，所得结果仍是等式）； （2）如果

x

3，那么x （等式两边同时_________，所得结果仍是等式）； 4

（3）如果2x6，那么x （等式两边同时_________，所得结果仍是等式）. 【变式训练】1.下列变形符合等式性质的是( )

A.如果2x－3=7,那么2x=7－3 B.如果3x－2=x+1,那么3x－x=1－2 C.如果－2x=5,那么x=5+2 D.如果－

1

x =1,那么x =－3 3

2.下列说法中，正确的个数是( )

①若mx=my,则mx－my=0 ②若mx=my,则x=y ③若mx=my,则mx+my=2my ④若x=y,则mx=my A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】下列各等式中，是一元一次方程的是（ ） 1

A．2x+y=0 B．5+x=10 C．1+ =x D．t2=9

x

★反思与小结：一元一次方程的特征是： . 【变式训练】如果方程

32n－71x－=1是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ） 57

C.3

D.1

A.2 B.4

（二）一元一次方程的解法

【例3】（2011滨州）依据下列解方程号内填写变形依据.

0.3x0.52x1

的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括

0.23

解：原方程可变形为

3x52x1

 (__________________________) 23

去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________) 去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________） (____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________) 合并，得5x=-17. (合并同类项) （____________________）,得x=

17

. （_________________________） 5

【变式训练】下面方程的解法是否正确？谈谈你的想法.错误的请改正. ①解方程

2x3

，得x=1 32

（3）解方程：

解：

②解方程2x＋1=4x＋1． 解：2x＋4x=0，

6x=0，

x

x6 2

x

x6 2

∴x=0．



x

6 2

x=–12 （4）解方程：x13x11

22

2x1x1 解：去分母，得x+1=3x–1–1 （5）解方程：2

2x =3 36

解：去分母，得4x+2–x+1=12

所以x 移项、合并同类项，得3x =9

所以x=3

（6）x32x0.11

0.30.2

10x3020x1 解：10

32

3 解得x=－ 40

★反思与小结：解方程易于产生如下错误：①系数化为1时，容易将 ；②移项时，常常 ；③去分母时，漏乘 ；④去分母时，忽略分数线同时起 ；⑤将分数基本性质的运用混同于 . （三）巧解一元一次方程

【例4】解方程：(40x)80%4092%

【变式训练】解方程

【例5】. 解方程3{2x1[3(2x1)3]}5

25x

x609 38

【变式训练】解方程：①

【例6】解方程[(x)8]

【变式训练】

【例7】解方程

【反思与小结】解一元一次方程的五个步骤，同学们应该熟练掌握。但在实际解题时，我们不能机械地套用五个步骤的次序（不一定每个步骤都要用到），而应根据方程的结构特征，灵活安排求解步骤与解题技巧，以提高解题速度与准确性，使解题简捷明快。 【一试身手】 【基础训练】

1（ 2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A.－5 B.5 C.7 D.2 2如果方程x

3m2

25(x1)x1(x+1)=－1 ②1x1 362

341

432143x 2

32x

[(－1)－2]=x＋2 234

46x0.022x

6.57.5 0.010.02

40是一元一次方程，则m

x1x24x



62的解题步骤如下,错的一步是（ ） 3.方程3

A.2(x-1)-(x+2)=3(4-x) B.2x-2-x+2=12-3x C.4x=12 D.x=3 4. .解下列方程：

(1)

3x1x311; (2)x(12x).2344

4.解方程. ①

3x114212（x ＋1）－＝1 ② [x(x)]-x. 2623323

2a－3

【提高训练】1．已知(2a+b)x－x = 4是关于x的一元一次方程，则a =____，b=____. 2. 已知一个一元一次方程的解为x＝2，未知数的系数是-

1

，请你写出一个符合条件的一元一次方程． 5

3.关于x的方程9x2kx7的解是自然数，则整数k的值为

4.小明写解方程的作业时，不小心把一个常数用墨水污染了，被污染的方程是2x0.50.5x● ，怎么办呢？小明翻看了答案，解是x

5

，很快补上了这个常数，并完成了作业，你能说出被污染的数吗？ 3

5.三个关于x的方程①│x│=k, ②│x +1│=m , ③│x +1│=n ,若方程①有两 个解，方程②有一个解，方程③无解，那么k、m、n的大小关系是（ ） A k >m >n B n >m > k C k > n > m D m > k >n

七年级数学第9讲 期末复习一

【核心学习】

1.代数部分：有理数及其运算、字母表示数、一元一次方程是本学期的核心内容，也是初中数学的基础，一定要将它们熟练掌握。

2.几何部分：丰富的图形世界——三视图、图形的展开与折叠等是近年中考的热点；平面图形及其位置关系——是平面几何入门的基础知识，重点掌握：线段、角的概念和相关计算；平行的相关公理；垂直的概念和相关公理。

3.主要数学思想方法：转换——通过展开与折叠、切截、从不同方向看，在平面图形与立体图形的转换中发展空间观念，又由立体图形转向平面图形；观察、抽象和概括；比较、分类；数形结合等数学方法都是本学期使用较多的方法（老师可适当举例说明）。 【思维体验】 一、 代数部分

【例1】1.若实数a、b互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）

A．ab0 B. ab0 C. ab1 D .ab1

2. （2011成都）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 （ ） (A)m0 (B)n0 (C)mn0 (D)mn0

x1（y1)20，则3. （2011湖北襄阳改编）若x，y为实数，且

x

()2011的值是（ ） y

A.0 B.1 C.－1 D.－2011

4. 若a1a，则a的取值范围为（ ）

A．a≥1 B．a≤1 C．a1 D．a1

【反思与小结】相反数、绝对值等这些有理数中的重要概念要学会用数形结合的思想全面掌握它们的意义，在解决有关问题中经常会用它们的几何意义解决问题.

111

【例2】计算：[]÷2+(－)3

232

【例3】1.有这样一道题：计算(2x4-4x3y-2x2y2)-(x4-2x2y2+y3)+(-x4+4x3y-y3)的值，其中x=错抄成“x= -

22

11

，y=-1.小明同学把“x=”44

1

”，但他计算的结果也是正确的，你说这是为什么？ 4

2.（2011山东菏泽）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是

【反思与小结】有理数的运算和代数式的化简都需注意观察题目结构,在正确运用法则的基础上学会灵活运用法则简化运算;在处理找规律的问题时要学会观察,从题目所给的有限个特例中,抽象出所具有的一般规律. 【例4】解方程

x30.2x0.1

1

0.30.2

二、几何部分

（一）生活中的立体图形

【例5】1．（2010年内江市）下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）

A． B． C．

D

2．（2011四川广安）由n个相同的小正方体堆成的几何体， 其视图如下所示，则n的最大值是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．21

主视图 俯视图

3．（2011山东菏泽）如图是正方体的展开图，

方体相对 两个面上的数字之和的最小值的

是 ．

（二）平面几何基本知识 A B 【例6】线段 图1 1.如图1，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．AB＋BC_____AC，

AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是

则原正

2．如图2，AB的长为m，OC的长为n，

MN分别是AB，BC的中点，则MN ．

3．已知两根木条，一根长60 cm，一根长100 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是___________________． 【例7】角度 1．(

1

)°=( ) ´=( )″；48″=( ) ´=( ) ° 12

2．上午10点30分,时针与分针成___________度的角．

3．方位角 一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是 （ ）

（A） 75° （B） 105° （C） 45° （D）30° 【例8】平行、垂直

1. 如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲

下面的平移方法中，正确的是（ ）

A．先向下平移3格，再向右平移1格

图① B．先向下平移2格，再向右平移1格

C．先向下平移2格，再向右平移2格

D．先向下平移3格，再向右平移2格 2.如图, AB⊥CD,垂足为O. C

E(1)比较∠AOD , ∠EOB, ∠AOE的大小.

(2)若∠EOC=28º,求∠EOB和∠EOD的度数.

图②

【一试身手】

【基础训练】

1． 当a=2009,b=2010时,代数式－(a－1)－(－a－2b)＋(2－2b)

为____ _.

2． （2010年大庆市）如图（1），用八个同样大小的

小立方体搭成一个大立方体，小明从上面的四个小立方体 中取走了两个后，得到的新几何体的三种视图如图（2） 所示，则他拿走的两个小立方体的序号是 （只填写的一种情况即可）

3. 如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视何体共由 块长方体的积木块搭成．

4．甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相 垂直时，他们每个人都说了两个时间，对的是（ ） （Ａ）甲说３点时和３点３０分 （Ｂ）乙说６点１５分和６点45分

（Ｃ）丙说９时整和１２时15分

A

D

B

的值

满足条件

图，则此几

（Ｄ）丁说３时整和９时整

5．A、B、C是直线l上的三点，AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度

是

【提高训练】

2

6．代数式3x24x6的值为9，则x

A．7

B．18 C．12

4

x6的值为（ ） 3D．9

7. 解方程[x(x)]-

A

8．如图：∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，求：∠BOC的度数.

C D

9．一个正方形的花坛，现将它分成面积相同的八块，分别种上不同颜色的花，如果要求这样分成的八块的形状也相同，请你画出几种不同的设计方案.

122523252x. 3