14.常见问题解答6超静定结构内力计算 静定结构的内力与材料的性质无关

建筑力学常见问题解答

6 超静定结构內力计算

1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？

答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。

从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。

2．什么是超静定结构的超静定次数？

答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。

3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？

答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。

4．如何确定超静定结构的超静定次数？

答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。

5．撤除多余约束的方法有哪几种？

答：撤除多余约束常用方法如下：

（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。

（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。

（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。

6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？

答：用力法计算超静定结构的基本思路是：

去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。

7．什么是力法的基本结构和基本未知量？

答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。

8．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程

对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多

余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程：

δ11X 1+δ12X 2+ +δ1n X n +∆1P =0

δ21X 1+δ22X 2+ +δ2n X n +∆2P =0

δn 1X 1+δ2n X 2+ +δnn X n +∆nP =0 （6-5）

式中：

δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。可由M i 自身图乘得出。

δij 称为副系数，表示当X j =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式：

δij =∑⎰

很容易得出： δij =δji M i M j ds EI

δij 可由M i 和M j 图乘得出。

ΔiP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿X i 方向的位移，可正可负也可等于零。可由M i 和M P 图乘得出。

（2）求原结构的全部反力和內力

1）由图乘法求得主系数、副系数和自由项后，即可解得n 个多余未知力X i 。按照静定结构的分析方法可求原结构的全部反力和內力。

2）绘制原结构的弯矩图时，也可以利用已经绘出的基本结构的M P 图和M i 图用叠加原理计算，即：

M =M 1X 1+M 2X 2+ +M n X n +M P

最后，根据平衡条件可求剪力和轴力。

9．在力法典型方程中，其主系数为什么恒大于零？而副系数和自由项则可能为正值、负值或为零？

答：δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。可由M i 自身图乘得出。

δij 称为副系数，表示当单位力X j =1单独作用在基本结构上时，力X i 作用点沿X i 方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式：

δij =∑⎰

ΔM i M j ds EI X i 方向的位移，可正可负也可iP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿

等于零。可由M i 和M P 图乘得出。

10．力法方程的物理意义是什么？

答：力法方程的物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载的作用下，在去掉多余约束处的位移与原结构中相应的位移相等，即基本结构与原结构的位移协调条件。

11．试列出用力法求解超静定结构的基本步骤。

答：用力法计算超静定结构的步骤是：

（1）选择基本结构

确定结构的超静定次数，撤去多余约束，代以相应的多余未知力，得到基本结构。

（2）建立力法典型方程

根据所撤去的多余约束数，建立力法典型方程

（3）计算系数和自由项

首先作基本结构在荷载和X i =1单独作用时的各弯矩图，然后用图乘法分别计算。

（4）求多余未知力

将计算出的系数和自由项代入力法典型方程，解出多余未知力。

（5）作內力图

按静定结构，用平衡条件或叠加法计算基本结构內力，画出內力图。

12．简述位移法的基本假定。

答：为了简化计算，用位移法讨论多跨超静定梁和刚架时，作如下基本假定：

（1）刚性结点假定：各杆不是铰结合，而是牢固结合，假定这种结点是刚性的，即假定变形时在该结点相交各杆端的截面有相同的转角。

（2）杆端联线长度不变假定：对于受弯杆件，通常可略去轴向变形和剪切变形的影响，并认为弯曲变形是微小的，因而可假定各杆端之间的联线长度在变形后仍保持不变。

（3）小变形假定：即结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。

13．位移法与力法的主要区别是什么？

答：位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其它未知力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再计算结构的未知内力和其它未知位移。

14．什么是位移法的基本体系？

答：对于超静定结构，可用在结点上加约束的方法，将组成结构的各个杆件都变成单跨超静定梁，将这些单跨超静定梁的组合称作位移法的基本体系。

15．试述位移法的基本原理。

答：位移法的基本原理是：根据结构及其在荷载作用下的变形情况，确定结点位移为基本未知量；进而将整体结构划分成若干根单元杆件，每根杆件均可看作单跨超静定梁，从而建立这些杆件的杆端弯矩与结点位移以及荷载之间的关系；然后利用平衡条件建立求解结点位移的关系式；求出结点位移的数值后，便可进一步求出各杆的杆端弯矩；最后根据杆端弯矩和荷载便可画出弯矩图。

16．用位移法分析超静定刚架的基本过程如何？

答：用位移法分析超静定刚架的基本过程是：

（1) 根据结构的变形分析，确定某些结点位移为基本未知量；

（2) 把每根杆件都视为单跨超静定梁，必要时可以单独画出来，以建立内力与结点位移之间的关系；

（3) 根据平衡条件建立关于结点位移为基本未知量的方程，即可求得结点位移未知量；

（4) 由结点位移求出结构的杆端内力；

（5）根据杆端弯矩和荷载画出弯矩图。

17．用位移法计算超静定结构时，有哪两类基本未知量？

答：用位移法计算超静定结构时，是以刚结点的角位移和独立的结点线位移作为基本未知量的。

18．如何确定位移法的基本未知量？

答：确定位移法的基本未知量

（1）结点角位移：独立的结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目。

（2）独立的结点线位移：在确定独立的结点线位移数目时，首先可把原结构的所有刚结点和固定端支座假设改为铰，这就得到一个铰结体系。若此铰结体系是几何不变体系，则由此可以知道原结构所有结点均无线位移。如这个铰结体系是几何可变或瞬变的，则可线位移数目。

19．如何建立位移法的基本体系？位移法的基本体系与力法的基本体系由何不同？ 答：（1）建立位移法的基本体系，可在刚架的每个刚性结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动，但不能阻止刚结点的移动；对产生线位移的结点加上附加链杆，以阻止其线位移，而不阻止结点的转动。这样一来，就得到了单跨超静定梁的组合体。这就是位移法的基本体系。

（2）位移法的基本体系是通过增加刚臂和链杆得到，一般情况下其基本体系是唯一的。这与力法不同，力法的基本结构是通过减少约束，用多余未知力来代替多余约束，采用静定结构作为基本结构，因此它的基本结构可有多种形式。

20．位移法分析等截面直杆时的关键是什么？如何表示超静定梁杆端弯矩和杆端剪力？杆端力的符号如何规定？

答：（1）位移法分析等截面直杆时，关键是要用杆端位移表示杆端力。

（2）两端固定的杆端弯矩和杆端剪力

其两端产生的位移为：A 端和B 端分别产生顺时针转角θA 和θB ，B 点产生垂直于AB 的线位移△，它绕AB 也是顺时针转动。杆端位移的符号规定为：杆端转角θ以顺时针方向转向为正，反之为负；杆端相对线位移△以使杆件顺时针转向为正，反之为负。由力法算得的杆端弯矩和杆端剪力为： ⎧⎪M AB

⎪⎪M ⎪BA

⎨⎪F QAB ⎪⎪F ⎪F QBA ⎩∆F +M AB l ∆F =2i θA +4i θB -6i +M BA l 6i 6i 12i F =-θA -θB +2∆+F QAB l l l 6i 6i 12i F =-θA -θB +2∆+F QBA l l l =4i θ

A +2i θB -6i

图6-19 式中i =EI 为杆件的线刚度。 l

（3）一端固定、一端铰支的杆端弯矩和杆端剪力

3i ⎧F M =3i θ

-∆+M AB A AB ⎪⎪l ⎨⎪F =-3i θ+3i ∆+F F

QAB A QAB ⎪l l 2⎩M BA =0F QBA 3i 3i F =-θA +2∆+F QBA l l

图6-20

（3）杆端力的符号规定

杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正(对结点或支座而言，则以逆时针转动为正) ，反之为负；杆端剪力绕着其所作用的隔离体内侧附近一点顺时针转动为正(简述为顺时针为正) ，

反时针转动为负。

21．形常数和载常数分别指的是什么？

答：当杆端位移为单位值时，所得的杆端力通常称为等截面直杆的刚度系数。刚度系数是只与杆件的长度、截面的几何形状、材料性质有关的常数，所以也叫形常数。

对于两端固定梁，其上作用有其它形式荷载，或对其它形式支座的单跨超静梁，其作用有某种形式的荷载，同样均可用力法算出其固端弯矩和固端剪力。因为它们是只与荷载形式有关的常数，所以又叫做载常数。

22．什么叫固端弯矩？

答：力矩分配法中，约束状态下的杆端弯矩称为固端弯矩。

23．如何计算附加刚臂上的约束力矩？

答：在附加刚臂上必有约束力矩M B ，约束力矩等于各杆固端弯矩之和。以顺时针转向为正，反之为负。

24．力矩分配法中杆端弯矩正、负号是如何规定的？

答：在力矩分配法中杆端弯矩正、负号的规定都与位移法相同，即杆端弯矩以顺时针转向为正，作用于结点的弯矩以逆时针转向为正；结点上的外力偶(荷载) 仍以顺时针转向为正等。

25．力矩分配法的三个要素是什么？分别是如何确定的？

答：力矩分配法的三要素为：转动刚度、分配系数和传递系数。

转动刚度：使杆端产生单位转角以θA =1时，所需施加的力矩称为转动刚度，用S AB 表示。转动刚度不仅与该梁的线刚度i 有关(i EI ) ，而且与远端的支承情况有关。 l

分配系数：相交于A 点的各杆的分配系数，等于该杆A 端的转动刚度S Aj ，除以汇交于A 点的各杆A 端转动刚度之和。

传递系数：各杆远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C 表示。对于等截面直杆来说，传递系数C 的大小与杆件远端的支承情况有关。

支撑情况与转动刚度、传递系数的关系

26．试述力矩分配法的基本原理。

答：力矩分配法可归结为单个结点的力矩分配与传递。为了能在结点上进行力矩分配，首先设想于结点处附加约束（固定结点），形成位移法基本结构，求得荷载作用下各杆固端力矩及约束力矩，即求得了固定状态的力矩；然后，放松约束使结构恢复其自然状态，以消除基本结构与原结构的差别，此时应在结点加上一个与约束力矩相反的力矩，并对此力矩进行分配、传递，即求得了放松状态的力矩；最后，与位移法相似叠加这两种状态的力矩，即各杆端力矩，并据此汇出弯矩图。

27．列出力矩分配法的基本步骤。

答：力矩分配法的基本步骤：

（1）将结点固定，求荷载作用下的杆端弯矩，即固端弯矩；

求各杆固端弯矩的代数和，得出结点的约束力矩。

（2）求各杆端的分配系数，将约束力矩冠以负号，分别乘以各杆的分配系数，得到分配弯矩。

（3）将分配弯矩乘以传递系数，得到远端的传递弯矩。

（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩相加，就得到结构在荷载作用下的杆端弯矩。

以上过程中的第一步是求约束状态下的杆端弯矩。第二、三步是求放松状态下的杆端弯矩，第四部是叠加约束状态和放松状态的杆端弯矩，求得结构在自然状态下的杆端弯矩。