带电圆弧圆心处的电场强度和电势|电场强度与电势的关系

　　摘要： 用微积分方法导出均匀带电圆弧在圆心处的电场强度和电势，进而讨论了几种带电圆弧组合在圆心处电场强度和电势。　　Abstract: The paper uses calculus to derive the electric field strength and potential at the circle center of a uniformly charged circle, and then discusses the electric field strength and electric potential at the center of several electric arc combination.
　　关键词： 均匀带电圆弧；圆心；电场强度；电势
　　Key words: uniformly charged circle；center of circle；electric field strength；strength potential
　　中图分类号：O441.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）25-0312-03
　　1 问题的提出
　　在物理中，通过对称性分析就可以得知均匀带电圆环在其圆心处的电场强度为零，而在圆心处的电势不为零，可用积分的方法求得。那么，对于均匀带电圆弧在圆心处产生的电场强度和电势是怎样的，下面通过微积分的方法进行探讨。
　　2 带电圆弧圆心处的电场强度
　　对于半径为R、张角（圆心角）为?兹、带电量为Q的均匀带电圆弧在圆心处的电场强度，我们可以通过下列方法求得。
　　建立如图1所示的坐标轴，在圆弧上取一个微分弧长段dl，取α到α+dα的圆弧作为电荷元dQ。这时，圆弧上的电荷密度?姿＝■，则电荷元dQ=?姿dl=■·R·d?琢=■d?琢，dQ在O点处的电场强度
　　由此可知，电场强度与带电荷密度成正比，这是任何带电体电场强度大小与所带电荷量成正比的基本性质；均匀带电圆弧在圆心处的电场强度与圆弧半径R成反比，圆弧半径越大，圆弧电荷离圆心越远，电场强度越小；电场强度与张角（圆心角）不是成简单比值关系，而是成半角正弦函数关系。可以发现，如果有不同半径的带电圆弧，只要它们对圆心的张角（圆心角）相等，它们在圆心处的电场强度与半径成反比，与带电荷密度成正比。
　　3 带电圆弧圆心处的电势
　　我们知道，对已知电荷分布的带电体，可用积分求得该带电体在空间中P点的电势为：
　　可以看出，均匀带电圆弧在圆心处的电势与带电荷密度成正比，这是任何带电体电势与所带电荷量成正比的基本性质；电势与张角（圆心角）成正比，说明圆弧上的电荷对圆心处电势的贡献是均等的，张角（圆心角）越大，圆弧所带电荷量越多，电势也就越大；电势与半径无关，这是非常特殊的性质，说明圆心是一个对均匀带电圆弧非常特别的点。
　　4 两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和电势
　　根据上述均匀带电圆弧在圆心处的电场强度大小和电势大小的特点，我们对下列两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和电势进行如下讨论。
　　先考察在R2=2R1，?姿2=2?姿1，条件下，下列两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和电势。
　　建立如上所示坐标系，根据对称性、电场强度迭加原理和公式（2）、公式（6）对于图2，有
　　建立如上所示坐标系，根据对称性、电场强度迭加原理和公式（2）、公式（6），类似于以上讨论，按照?兹1=?仔，?兹2=■，不难用同样的方法进行计算。
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