范文网 作文大全 【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学(集锦)

【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学(集锦)

【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学第八章 多元函数的微分学本章知识结构导图一、基础题1、求两点M 1(2,-1,3) 和M 2(-3,2,1) 之间的距离.2、 求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形.(1) z =z =ln(。

【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学

第八章 多元函数的微分学

本章知识结构导图

一、基础题

1、求两点M 1(2,-1,3) 和M 2(-3,2,1) 之间的距离.

2、 求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形.

(1) z =z =ln(x +y )

【解】 (1)要使函数z =必须有1-x 2-y 2≥0,即有x 2+y 2≤1. 故所求函数的定义域为D ={(x , y ) |x 2+y 2≤1}, 图形为图7.3.

(2)要使函数z =ln(x +y ) 有意义,必须有x +y >0. 故所有函数的定义域为

D ={(x , y ) |x +y >0},图形为图7.4.

7.3 图7.4

(3)、求函数z =

22 的定义域,并画出其定义域图形.

解 要使函数表达式有意义,自变量x , y 必须同时满足条件

⎧1-x 2-y 2>0, ⎧x 2+y 2

即 ⎨ ⎨22

⎩y -x >0, ⎩y >x .

于是所求定义域为D={(x,y)| x2+y2x2} (图7—1) . 说明: 求二元函数定义域的方法与求一元函数定义域的方法类似,自变量的取

值要使解析式有意义,主要限制式函数分母不能为零,对数函数零,偶次根式被开方式非负,及等的限制条件.在画定义域图形不等式写成等式,作出相应边界

o

y

条件是分

y =x 2x 2+y 2=1

x

真数大于三角函数时,要先将曲线图形,

图7—1

然后确定满足不等式的点(x , y ) 位于边界曲线的哪一侧,如果某个不等式是严格不等式,则相应边界曲线画成虚线,各不等式限定区域的公共部分就是定义域图形.

3、. 已知f (x , y ) =x 2y ,求f (x +y , x -y ) .

二、计算题 1、设z =x 3-2x 2y +3y 4,求

∂z ∂z ∂z ∂z

,,和

∂y ∂x ∂y ∂x (1,1)

(1, -1)

【解】对x 求偏导数,就是把y 看作常量对x 求导数,

对y 求偏导数,就是把x 看作常量对y 求导数,

∂z ∂z

=-2x 2+12y 3=3x 2-4xy x =1=-1;

∂y (1, -1)∂x (1,1)y =1

∂z

=3x 2-4xy ; ∂x

∂z

=-2x 2+12y 3; ∂y

x =1y =-1

=-14.

2、z =e x sin xy , 求

【解】

∂u ∂u , . ∂x ∂y

∂z

=e x sin xy +e x cos xy ⋅y =e x (sinxy +y cos xy ) , ∂x

∂z

=e x cos xy ⋅x , ∂y

3、设f (x , y ) =(1+xy ) y ln(1+x 2+y 2) ,求f x /(1, 0) .

【解】 如果先求偏导数f x "(x , y ) ,再求f x "(1, 0) 显然比较繁杂,可以先求一元函数f (x , 0) ,再求导数f x "(x , 0) . 因f (x , 0) =ln(1+x 2) ,所以f x "(x , 0) =

2x

. 故f x "(1, 0) =1. 2

1+x

4、求函数z =x 3y 2-3xy 3-xy +1的二阶偏导数. 【解】 因为函数的一阶偏导数为

∂z ∂z =3x 2y 2-3y 3-y , =2x 3y -9xy 2-x , ∂x ∂y

所以所求二阶偏导数为

∂2z ∂⎛∂z ⎫∂

= ⎪=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6xy 2, 2∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x

∂2z ∂⎛∂z ⎫∂

= ⎪=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6x 2y -9y 2-1,

∂x ∂y ∂y ⎝∂x ⎭∂y

∂2z ∂⎛∂z ⎫∂

= ⎪=(2x 3y -9xy 2-x ) =6x 2y -9y 2-1, ∂y ∂x ∂x ⎝∂y ⎭∂x

∂2z ∂⎛∂z ⎫∂

= ⎪=(2x 3y -9xy 2-x ) =2x 3-18xy . 2∂y ∂y ⎝∂y ⎭∂y

5、 求函数z =sin(x +y 2) 的全微分. 【解】 因为所以 dz =

∂z ∂z

=cos(x +y 2) ,=2y cos(x +y 2) , ∂x ∂y

∂z ∂z

dx +dy =cos(x +y 2) dx +2y cos(x +y 2) dy . ∂x ∂y

6、 设z =u 2ln v ,期中 u = ,v =2x -y ,求

x

y ∂z ∂z

和. ∂x ∂y

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1u 22x 2x 2

【解】=, +=2u ln v ⋅+⋅2=2ln (2x -y ) +2

∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y v y y (2x -y )

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x u 22x 2x 2

=+=2u ln v ⋅(-2) +⋅(-1) =-3ln (2x -y ) -2. ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y y v y y (2x -y )

7、 设u =f (x , y , z ) =e

x 2+y 2+z 2

2

, z =x sin y , 求

∂u ∂x

∂u . ∂y

∂u ∂u ∂u ∂z 22x 2+y 2+x 4sin 2y

=+=2xu +2zu ⋅2x sin y =2x (1+2x sin y ) e 【解】, ∂x ∂x ∂z ∂x

2242∂u ∂u ∂u ∂z

=+⋅=2yu +2zu ⋅x 2cos y =2(y +x 4sin y cos y ) e x +y +x sin y . ∂y ∂y ∂z ∂y

8、 设w =f (x +yz , xyz ) ,求

∂w ∂w

和. ∂x ∂y

【解】 令u =x +yz ,v =xyz , 则w =f (u , v ) ,于是

∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f

=⋅+⋅=+⋅yz , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v

∂f ∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f

=⋅z +⋅xz . =⋅+⋅

∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u

9、设方程z

x

=y

z

, 确定函数z =z (x , y ), 求∂z

∂z

. ∂x , ∂y

x z

F (x , y , z ) =z -y 解 方法一(公式法) 令 ,则

F x " =z ln z , F " =-zy

y

x

z -1

,F z " =xz x -1-y z ln y ,

z ln z F x " ∂z z x ln z

所以 =-=z =. x -1

z ln y -x ∂x F z " y ln y -xz

F y " z 2∂z zy z -1

=. =-=x -1

z

y (x -z ln y ) ∂y F z " xz -y ln y

10、 求函数 f (x , y ) =x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.

⎧f x =3x 2+6x -9=0⎪

【解】 令 ⎨,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) . 2

f =-3y +6y =0 ⎪⎩y

A =f xx =6x +6, B =f xy =0, C =f yy =-6y +6, 得B 2-AC =36(x +1)(y -1) .

列表如下:

故在点(1,0)处函数取得极小值f (1, 0) =-5;在点(-3,2)处函数取得极大值

f (-3, 2) =31.

11、 某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10元与9元,生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是

400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2) 元, 求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?

【解】 L (x , y ) 表示获得的总利润,则总利润等于总收益与总费用之差,即有

利润目标函数L (x , y ) =(10x +9y ) -[400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2)]

=8x +6y -0. 01(3x 2+xy +3y 2) -400, (x >0, y >0) ,

"=8-0. 01(6x +y ) =0⎧L x

令⎨,解得唯一驻点(120,80).

"⎩L y =6-0. 01(x +6y ) =0""=-0. 06

AC -B 2=3. 5⨯10-3>0.

得极大值L (120, 80) =320. 根据实际情况,此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.

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