【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学
第八章 多元函数的微分学
本章知识结构导图
一、基础题
1、求两点M 1(2,-1,3) 和M 2(-3,2,1) 之间的距离.
2、 求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z =z =ln(x +y )
【解】 (1)要使函数z =必须有1-x 2-y 2≥0，即有x 2+y 2≤1. 故所求函数的定义域为D ={(x , y ) |x 2+y 2≤1}, 图形为图7.3.
(2)要使函数z =ln(x +y ) 有意义，必须有x +y >0. 故所有函数的定义域为
D ={(x , y ) |x +y >0}，图形为图7.4.
图
7.3 图7.4
（3）、求函数z =
22 的定义域，并画出其定义域图形．
解 要使函数表达式有意义，自变量x , y 必须同时满足条件
⎧1-x 2-y 2>0, ⎧x 2+y 2
即 ⎨ ⎨22
⎩y -x >0, ⎩y >x .
于是所求定义域为D={(x,y)| x2+y2x2} (图7—1) ． 说明： 求二元函数定义域的方法与求一元函数定义域的方法类似，自变量的取
值要使解析式有意义，主要限制式函数分母不能为零，对数函数零，偶次根式被开方式非负，及等的限制条件．在画定义域图形不等式写成等式，作出相应边界
o
y
条件是分
y =x 2x 2+y 2=1
x
真数大于三角函数时，要先将曲线图形，
图7—1
然后确定满足不等式的点(x , y ) 位于边界曲线的哪一侧，如果某个不等式是严格不等式，则相应边界曲线画成虚线，各不等式限定区域的公共部分就是定义域图形．
3、. 已知f (x , y ) =x 2y ，求f (x +y , x -y ) .
二、计算题 1、设z =x 3-2x 2y +3y 4，求
∂z ∂z ∂z ∂z
，，和
∂y ∂x ∂y ∂x (1,1)
(1, -1)
【解】对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数，
对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数，
∂z ∂z
=-2x 2+12y 3＝3x 2-4xy x =1=-1；
∂y (1, -1)∂x (1,1)y =1
∂z
=3x 2-4xy ； ∂x
∂z
=-2x 2+12y 3； ∂y
x =1y =-1
=-14．
2、z =e x sin xy , 求
【解】
∂u ∂u , . ∂x ∂y
∂z
=e x sin xy +e x cos xy ⋅y =e x (sinxy +y cos xy ) , ∂x
∂z
=e x cos xy ⋅x , ∂y
3、设f (x , y ) =(1+xy ) y ln(1+x 2+y 2) ，求f x /(1, 0) .
【解】 如果先求偏导数f x "(x , y ) ，再求f x "(1, 0) 显然比较繁杂，可以先求一元函数f (x , 0) ，再求导数f x "(x , 0) . 因f (x , 0) =ln(1+x 2) ，所以f x "(x , 0) =
2x
. 故f x "(1, 0) =1. 2
1+x
4、求函数z =x 3y 2-3xy 3-xy +1的二阶偏导数． 【解】 因为函数的一阶偏导数为
∂z ∂z =3x 2y 2-3y 3-y , =2x 3y -9xy 2-x ， ∂x ∂y
所以所求二阶偏导数为
∂2z ∂⎛∂z ⎫∂
= ⎪=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6xy 2， 2∂x ∂x ⎝∂x ⎭∂x
∂2z ∂⎛∂z ⎫∂
= ⎪=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6x 2y -9y 2-1，
∂x ∂y ∂y ⎝∂x ⎭∂y
∂2z ∂⎛∂z ⎫∂
= ⎪=(2x 3y -9xy 2-x ) =6x 2y -9y 2-1， ∂y ∂x ∂x ⎝∂y ⎭∂x
∂2z ∂⎛∂z ⎫∂
= ⎪=(2x 3y -9xy 2-x ) =2x 3-18xy . 2∂y ∂y ⎝∂y ⎭∂y
5、 求函数z =sin(x +y 2) 的全微分. 【解】 因为所以 dz =
∂z ∂z
=cos(x +y 2) ，=2y cos(x +y 2) , ∂x ∂y
∂z ∂z
dx +dy =cos(x +y 2) dx +2y cos(x +y 2) dy . ∂x ∂y
6、 设z =u 2ln v ，期中 u = ，v =2x -y ，求
x
y ∂z ∂z
和． ∂x ∂y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1u 22x 2x 2
【解】=， +=2u ln v ⋅+⋅2=2ln (2x -y ) +2
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y v y y (2x -y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x u 22x 2x 2
=+=2u ln v ⋅(-2) +⋅(-1) =-3ln (2x -y ) -2. ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y y v y y (2x -y )
7、 设u =f (x , y , z ) =e
x 2+y 2+z 2
2
, z =x sin y , 求
∂u ∂x
和
∂u . ∂y
∂u ∂u ∂u ∂z 22x 2+y 2+x 4sin 2y
=+=2xu +2zu ⋅2x sin y =2x (1+2x sin y ) e 【解】, ∂x ∂x ∂z ∂x
2242∂u ∂u ∂u ∂z
=+⋅=2yu +2zu ⋅x 2cos y =2(y +x 4sin y cos y ) e x +y +x sin y . ∂y ∂y ∂z ∂y
8、 设w =f (x +yz , xyz ) ，求
∂w ∂w
和. ∂x ∂y
【解】 令u =x +yz ，v =xyz ， 则w =f (u , v ) ，于是
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f
=⋅+⋅=+⋅yz , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v
∂f ∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f
=⋅z +⋅xz ． =⋅+⋅
∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u
9、设方程z
x
=y
z
， 确定函数z =z (x , y ), 求∂z
∂z
． ∂x , ∂y
x z
F (x , y , z ) =z -y 解 方法一(公式法) 令 ，则
F x " =z ln z ， F " =-zy
y
x
z -1
，F z " =xz x -1-y z ln y ，
z ln z F x " ∂z z x ln z
所以 =-=z =． x -1
z ln y -x ∂x F z " y ln y -xz
F y " z 2∂z zy z -1
=． =-=x -1
z
y (x -z ln y ) ∂y F z " xz -y ln y
10、 求函数 f (x , y ) =x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.
⎧f x =3x 2+6x -9=0⎪
【解】 令 ⎨，得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) ． 2
f =-3y +6y =0 ⎪⎩y
A =f xx =6x +6, B =f xy =0, C =f yy =-6y +6, 得B 2-AC =36(x +1)(y -1) .
列表如下：
故在点（1，0）处函数取得极小值f (1, 0) =-5；在点（-3，2）处函数取得极大值
f (-3, 2) =31.
11、 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是
400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2) 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
【解】 L (x , y ) 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数L (x , y ) =(10x +9y ) -[400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2)]
=8x +6y -0. 01(3x 2+xy +3y 2) -400, (x >0, y >0) ，
"=8-0. 01(6x +y ) =0⎧L x
令⎨，解得唯一驻点（120，80）.
"⎩L y =6-0. 01(x +6y ) =0""=-0. 06
AC -B 2=3. 5⨯10-3>0.
得极大值L (120, 80) =320. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.