探讨洛必达法则求解极限|用洛必达法则求极限

第28卷 第12期 湖北广播电视大学学报 Vol.28, No.12 2008年12月 Journal of HuBei TV University December. 2008, 159～160

探讨洛必达法则求解极限

林清华

（福州教育学院，福建 福州 350001）

[内容提要] 极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终。本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨，针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法；利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式，充分体现了洛必达法则应用的广泛性，给求极限提供了强有力的工具。

[关键词] 极限；归结原则；洛必达法则；等价无穷小；泰勒公式；对数恒等式变换

[中图分类号] G42 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2008）12-0159-02

极限是初等数学与高等数学接壤部分，是高数中最基本的概念。导数、微积分等都是建立在极限概念的基础上，因此熟练掌握求极限的方法，对于学习后继课程至关重要。洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一而且应用广泛，本文就此方法进行探讨。

一、洛必达（L’Hospital）法则 定理1 若函数f和g满足

=0；（2）在点x的某空心邻域Uo(x)两者都（1）limf(x)=

00limg(x)

x→x0

x→x0

归结原则的意义在于把数列极限归结为函数列{x}极限都存在且相等。

n数极限问题来处理，但事实上函数极限的求解可以使用具有厚实理论基础的洛必达法则，所以我们常常间接地应用洛必达法则求数列未定式，把大多数数列极限转化为函数极限来求解。

存在，那么. 推论 若

x→+∞

limf(x)

limf(n)=limf(x)

n→∞

x→+∞

例1：（华中师范大学，1996年）求极限：

n2.

n→∞2nlim

（3）可导，且g′(x)≠0；

f(x)f′(x)

=lim=Ag(x)x→x0g(x)

x→x0

lim

f′(x)

=Ag(x)

（A可为实数，也可为±∞或∞），则

。

分析：若按数列求极限的方法技巧来求解，将会比较繁琐，考虑

到函数极限x2存在，且如果使用洛必达法则，则会比较容易求解，

limx→∞2故根据推论1，先求

x→x0

lim

定理2 若函数f和g满足（1）limf(x)=limg(x)=

x→x0

∞；（2）

x→x0

x→x0

解：因为

在点

且g′(x)≠0；（3）x0的某空心邻域Uo(x0)两者都可导，

lim

f(x)f′(x)

=lim=Ag(x)x→x0g(x)

x→∞

lim

x2，在根据归结原则有limn＝x2. limlimn→∞2x→∞2x→∞2x

，所以n2＝0. x22x2

lim

2=lim

x→∞

2

2ln2

=lim

x→∞

2(ln2)1

=0

n→∞

2

lim

f′(x)

=Ag(x)

例2：求lim

a→∞

解:原式=limnn