高考数学线性规划题型总结|高考数学线性规划(大全)-范文网

高考数学线性规划题型总结|高考数学线性规划

线性规划常见题型及解法 2016.5.5

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

⎧2x -y ≤2⎪

例1、设变量x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y 的最大值为。

⎪x +y ≥1⎩

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z

最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题, 由线性约束条件画出可行域, 然后求出目标函数的最大值. ，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

⎧x ≤2⎪

习题1、若x 、y 满足约束条件⎨y ≤2，则z=x+2y的取值范围是（）

⎪x +y ≥2⎩

A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y＝0，将

l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

⎧x ≥1, ⎪

例2、已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是⎪2x -y -2≤0⎩

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x 2+y 2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。x +y 的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

⎧2x +y -2≥0⎪

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -2y +4≥0 ，

⎪3x -y -3≤0⎩

则z=x+y的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2

图2

4C 、13， D

、

解：如图，作出可行域,x +y是点（x ，y ）到原点的距离

的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即

|AO|=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为

，选C 5

⎧x +2y -5≤0

，则

⎨x ≥1, y ≥0⎪x +2y -3≥0⎩

练习2、已知x ，y 满足⎪

的最大值为___________，最小值为____________．

2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

⎧x +y -2≤0

例3、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面

⎪y ≥0⎩

区域的面积是（）

(A)

(B)4 (C) (D)2

⎧x +y -2≤0

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示

⎪y ≥0⎩

的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于

是三角形的面积为：S =|BC |⋅|AO |=⨯4⨯2=4. 从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

⎧2x +y -6≥0⎪

习题3、不等式组⎨x +y -3≤0表示的平面

⎪y ≤2⎩

区域的面积为

（） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为

所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B

四、已知平面区域，

例4、已知双曲线x -y =4的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是（）

⎧x -y ≥0⎧x -y ≥0⎪⎪

(A)⎨x +y ≥0 (B)⎨x +y ≤0 (C)

⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩

⎧x -y ≤0⎧x -y ≤0

⎪⎪

⎨x +y ≤0 (D)⎨x +y ≥0 ⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩

解析：双曲线x -y =4的两条渐近线方程为y =±x ，与直线x =3围成一个三角形区域（如图4所示）时有⎪

⎧x -y ≥0

。

⎨x +y ≥0⎪0≤x ≤3⎩

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是

y >-2y >-2⎧⎧y >-2y ≥-2⎧⎧

⎪⎪A ⎪ B 3x -2y +6≥0 C ⎪D ．3x -2y +60⎨3x -2y +6>0

⎪⎪⎪⎪x ≤0x

（）

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

⎧x ≥0

例5、在约束条件⎪下，当3≤s ≤5时，目标函数⎪y ≥0

⎨

⎪y +x ≤s ⎪⎩y +2x ≤4

z =3x +2y 的最大值的变化范围是（）

A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示, 当3≤s

z max

E (0, 处取得最大值, 即

=3⨯0+2⨯4=8, 故z ∈[7,8], 从而选D;

在点

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则

m 的取值范围是（）

A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x－y ＋m|＜3等价于⎨

⎧2x -y +m +3>0

⎩2x -y +m -3

由右图可知⎨

⎧m +3>3

, 故0＜m ＜3，选C

⎩m -3

习题6、不等式|2x +y +m |

B ．0

D ．0

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

⎧1≤x +y ≤4

y 例7、已知变量x ，满足约束条件⎨。若目标函

-2≤x -y ≤2⎩

数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的

取值范围为。

解析：如图5作出可行域，由z =ax +y ⇒y =-ax +z 其表示为斜率为-a ，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y =-ax +z 过Ａ点且在直线x +y =4, x =3（不含界线）之间。即-a 1. 则a 的取值范围为(1,+∞) 。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘-a 与z 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

⎧x +y ≥5⎪

习题7、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -y +5≤0，使

⎪x ≤3⎩

z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为

（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay＝0，要使目标函

数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件

⎧5x -11y ≥-22, ⎪

则z =10x +10y 的最大值是 ⎨2x +3y ≥9,

⎪2x ≤11. ⎩

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由z =10x +10y ⇒y =-x +为斜率为-1，纵截距为

，它表示10

的平行直线系, 要使z =10x +10y 最得最大值。当直线z =10x +10y 10

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通过A (, ) z 取得最大值。因为x , y ∈N ，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点

附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Z max =90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个

⎧x +y ≤2⎪x -y ≤2⎪

解：|x|＋|y|≤2等价于⎨

⎪-x +y ≤2⎪⎩-x -y ≤2

(x ≥0, y ≥0)

(x ≥0, y 0)

(x 0, y ≥0) (x 0, y 0)

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C

习题9、不等式x +y

A ． 13个 B ．

10个 C ． 14个 D ． 17个 A

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