考研常用的n阶导数公式_导数含参量问题的解法探究

　　利用导数来研究函数的单调性和极值是高考命题的热点，近年高考导数综合题多是已知给定函数的最大值、最小值和极值，求函数中参数的取值范围的问题，且多以压轴题出现.本文综合运用数形结合、分类讨论、转化与化归思想来探索解决此类问题的有效方法。
　　一、含参数不等式恒成立问题
　　如果已知给定函数的最大值、最小值、极值，求解函数中参数的取值范围问题是综合性较强的问题.解决这类问题要求学生具有较好的数学素养和较强的数学能力，对基本的数学思想方法有较深刻的理解和认识.常用的求解策略有：
　　（1）最值或值减法：若a＞f(x)恒成立，则a＞■.若a＜f(x)恒成立，则a＜■（注意有无等号）.
　　（2）若函数在定义域内无最大值或最小值，则通过求函数的值域，利用恒成立确定a的取值范围.
　　二、2010年高考课标全国卷（理）21题第二问的几类解法
　　例：设函数（1）若a＝0，求f(x)的单调区间；
　　（2）若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
　　分析：第一问属于导数考查的常见问题，第二问是含参数问题的求解.
　　（1）解：若a＝0，f(x)=■ex-1-x，则f"(x)=■ex-1.
　　当x∈（－∞，0）时，f"(x)＜0；当x∈（0，＋∞）时，f"(x)＞0.
　　故f(x)在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.
　　（2）解法一：分类讨论
　　因为f"(x)=■ex-1-2ax，
　　①由（1）知■ex≥1+x，当且仅当x＝0时等号成立，所以f"(x)≥x-2ax=(1-2a)x，从而当1－2ax≥0即a≤■时，f"(x)≥0（x≥0），所以f(x)在[0，＋∞）上单调递增，而f(0)=0，于是当x≥0，f(x)≥0.
　　②由■ex>1+x（x≠0）可得■ex>1-x（x≠0），从而当a＞■时，
　　f"(x)<■ex-1+2a(■e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a).令■e-x(ex-1)(ex-2a)<0得1<ex<2a，所以0＜x＜In2a.故当x∈（0，In2a）时，f"(x)＜0.所以，f(x)在（0，In2a）上单调减少，而f(0)=0，于是当x∈（0，In2a）时，f(x)＜0不符合要求，综上可得a的取值范围为(－∞，■].
　　解法二：数形结合
　　因为f"(x)=ex-1-2ax，令g■(x)=ex,g■(x)=1+2ax,若f"(x)≥0则ex≥1+2ax.
　　①当a＞0时，因为x≥0所以ex≥1恒成立，故f"(x)≥0恒成立，所以a≤0时，f(x)≥0（x≥0）.
　　②a＞0时，g"■(x)=ex≥e0=1，g"■(x)=2a，若ex≥1+2ax则1≥2a即a≤■，如图：
　　■
　　则0＜a＜■时，f"(x)≥0，f(x)在[0，＋∞）上单调递增，则f(x)≥f(0)=0，所以0＜a＜■时，f(x)≥0（x≥0）.综上a≤■.
　　解法三：洛必达法则求值域
　　当x≥0时，f(x)≥0，则ex-1-x-ax2≥0恒成立，则a≤■.
　　令g(x)=■，当x＝0时分母无意义.ex=1+x+■+■+…+■，
　　根据洛必达法则：
　　limg(x)=■■=■■=■■=■，
　　∴g(x)≥■，又a≥g(x)恒成立，则a≤■.
　　再如，2010年高考课标全国卷（文）：设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
　　（1）若a＝■，求的单调区间；
　　（2）若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
　　该题也可用以上几种方法解决.
　　由以上例题可知，在含参问题中，学生要善于利用数学逻辑思维方法去分析和解决问题.