等价转化须谨慎:等价转化

　　等价转化能把未知的复杂问题转化成我们熟悉的问题，是解题的常用手段．但等价转化的过程中也存在着不少“陷阱”，很多转化看似等价，其实是不等价的．如果没有在转化时进行仔细的分析，就有可能导致出错，扩大或缩小解题范围．今天，我们就以一道导数题为例，谈谈如何避开转化的“陷阱”．
　　例　已知函数f（x）＝x3+（1-ａ）x2-a（a+2）x+b （a，b∈R）． 若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求实数ａ的取值范围．
　　错解： f′（x）＝3ｘ2+2（1-ａ）ｘ-ａ（ａ+2）． 函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，等价于导函数f′（x）在（-1，1）上既能取到大于0的值，也能取到小于0的值，即f′（x）在（-1，1）上存在零点． 由此可得f′（-1）? f′（1）<0，即［3-2（1-ａ）-ａ（ａ+2）］［3+2（1-ａ）-ａ（ａ+2）］＜0，整理得（ａ+5）（ａ+1）（ａ-1）2＜0，解得-5＜ａ＜-1．
　　错因分析： 如果f′（x）为线性函数，则“f′（-1）?f′（1）<0”的确等价于“函数f（x）在区间（-1，1）上不单调”．但在例题中， f′（x）＝3ｘ2+2（1-ａ）ｘ-ａ（ａ+2）是图象开口向上的二次函数，所以只要f′（x）在区间（-1，1）上至少有一个实根且该实根两侧的值正负相反，就满足“函数f（x）在区间（-1，1）上不单调”． 因此f′（-1），f′（1）的值可为一正一负（如图1或图2所示），也可均为正（如图3所示）．
　　错解中f′（-1）?f′（1）<0意味着f′（-1）， f′（1）的值必为一正一负，缩小了解题范围．
　　正解：由f′（x）=3ｘ2+2（1-ａ）ｘ-ａ（ａ+2）=（ｘ-ａ）（3ｘ+ａ+2）＝0得ｘ1＝ａ，ｘ2＝-． “函数f（x）在区间（-1，1）上不单调”等价于“f′（x）＝0在（-1，1）上有实数解且无重根”，即方程f′（x）＝0的两根ｘ1＝ａ，ｘ2＝- 至少有一个在区间（-1，1）上且ａ≠-． 所以-1　　小结： 为了保证等价转化前后的一致性，转化前后的内容应互为充分必要条件．值得注意的是，“等价转化”主要是针对求范围问题而言的. 在运用不等式证明中常用的分析法、放缩法等方法时，转化也可以不等价，比如要证明“+++…+<2”，只要证明“1+++…+<2”即可，这种转化显然并不等价.
　　【练一练】
　　已知函数f（x）=（2-ａ）ｌｎｘ-2ａｘ-． （1） 试讨论f（x）的单调性；（2） 记函数g（x）=f（x）+（ａ-4）ｌｎｘ+3ａｘ-. 若g（x）在区间（1，4）上不单调，求实数ａ的取值范围．
　　【参考答案】
　　解：（1） f（x）的定义域为ｘ＞0， f′（x）＝-2ａ+＝-．
　　当ａ≤0时， f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．
　　当ａ＞0时，由f′（x）＝0解得ｘ＝. 当ｘ∈0，时， f′（x）＞0， f（x）在0，上单调递增；当x∈，+∞时， f′（x）<0， f（x）在，+∞上单调递减．
　　（2） g（x）=f（x）+（ａ-4）ｌｎｘ+3ａｘ-=-2ｌｎｘ+ａｘ- （1＜ｘ＜4），ｇ′（x）＝-+ａ+＝．
　　“g（x）在区间（1，4）上不单调”等价于“方程ａｘ2-2ｘ+3a+2＝0在区间（1，4）上有解且无重根”.
　　当ａ＝0时，ｘ＝1，不满足题意.
　　当a≠0时，由Δ＞0解得ａ∈（-1，0）∪0，． 由ａｘ2-2ｘ+3a+2＝0可得a=. 令t（ｘ）＝，当ｘ∈（1，4）时，t（ｘ）＝＝+1+≥3，所以a=∈0，．
　　综上可得，实数a的取值范围是0