【三角恒等变换的技巧及其应用】 三角恒等变换技巧

　　一、技巧　　1.变角　　例1：求证：-2cos（α+β）=　　证明：∵2α+β=α+β+α　　∴sin（2α+β）-2cos（α+β）sinα
　　=sin［（α+β）+α］-2cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-2cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β-α）
　　=sinβ
　　∴-2cos（α+β）=
　　评析：“角”是三角函数的基本元素，研究三角恒等变换离不开“角”的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化，往往能起到化难为易、化繁为简的作用.
　　2.分类
　　例2：化简cos（-2x）+cos（+2x），其中k∈Z.
　　解析：（1）当k=4n（n∈Z）时，
　　原式=cos（2nπ-2x）+cos（2nπ+2x）
　　=cos2x+cos2x
　　=2cos2x
　　（2）当k=4n+1（n∈Z）时，
　　原式=cos（2nπ+-2x）+cos（2nπ++2x）
　　=cos（-2x）+cos（+2x）
　　=sin2x-sin2x
　　=0
　　（3）当k=4n+2（n∈Z）时，
　　原式=cos（2nπ+π-2x）+cos（2nπ+π+2x）
　　=cos（π-2x）+cos（π+2x）
　　=-cos2x-cos2x
　　=-2cos2x
　　（4）当k=4n+3（n∈Z）时，
　　原式=cos（2nπ+2π--2x）+cos（2nπ+2π-+2x）
　　=cos（-2x）+cos（+2x）
　　=-sin2x+sin2x
　　=0
　　评析：不少三角恒等变换问题中，都含有特定的字母常数，对特定的字母或常数恰当地进行分类讨论，往往能帮助我们快速解题.
　　3.降次
　　例3：求使函数f（x）=sinx+cosx+sin4x-为正值的x的集合.
　　解析：f（x）=sinx+cosx+sin4x-
　　=+cos4x+sin4x-
　　=sin（4x+）+
　　由sin（4x+）+＞0，
　　得sin（4x+）＞-，2kπ-＜4x+＜2kπ+，
　　∴-＜x＜+，k∈Z.
　　故使函数f（x）=sinx+cosx+sin4x-为正值的x的集合为{x|-＜x＜+，k∈Z}.
　　评析：对于某些含有高次（二次或二次以上）的问题，我们常常利用相关公式将高次三角式低次化，以达到解决问题的目的.
　　二、应用
　　1.求值
　　例4：已知sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，α、β为锐角，求：cos（α-β）的值.
　　解析：将sinα-sinβ=-及cosα-cosβ=两式平方后再相加，可得2-2（sinαsinβ+cosαcosβ）=，故cos（α-β）=.
　　2.证明
　　例5：已知A+B=45°，求证：（1+tanA）（1+tanB）=2.
　　证明：（1+tanA）（1+tanB）=1+tanAtanB+tanA+tanB
　　=1+tanAtanB+tan（A+B）（1-tanAtanB）
　　=1+tanAtanB+tan45°-tan45°tanAtanB
　　=2
　　3.化简
　　例6：化简5sinα+cosα+2sin2α.
　　解析：由sinα=，cosα=，可得
　　原式=5×+×+2sin2α
　　=2sin2α-2cos2α+3
　　=4（sin2α-cos2α）+3
　　=4sin（2α-）+3