[从了解学生到努力促进学生的发展]努力促进师幼发展

　　德国数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数,其余都是‘人为’的。”第一个人为的数就是分数。分数，既重要又难教。分数的学习，是小学数学教学的一个难点，何故？何为？本文拟对此作出分析并结合两则教学设计谈一些想法。
　　一、学生认识分数，难在哪儿
　　学生认识分数，是从分东西开始的。也就是说，他们认识的是“行为的分数”，他们把“分”的过程以及结果与“分数”建立起联系。我在二年级作了一项调查，让学生画图，或用文字表示“二分之一”代表的意思。二年级的学生尚未在学校的数学课程中认识分数，调查的班级共有46人，有45人在长方形（含正方形）、圆、三角形、线段图中“一分为二”，并用涂色等方式表示其中的一份为“二分之一”，还有一位学生这样写道：“二分之一是指把一个物品平均分成2份的其中一份。”由此可见，学生接触分数早于课程中的安排，他们建立起来的对分数的认知与分东西相关。
　　苏教版教材在三年级上册第一次组织学生学习“认识分数”，是把一个物体、一个图形平均分成几份，用几分之一、几分之几表示其中的一份或若干份。这里，是用面积的“部分——整体”表示分数，即用分数的面积模型认识分数。
　　苏教版三年级下册“认识分数”，是把由若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几这样的分数表示这个整体里的一份或几份。这里，不再是把一个物体、一个图形看做一个整体，而是把几个物体看做“1个整体”，所取的“一份”也不仅仅是“一个”，可能是“几个”作为“一份”。这里，是用集合的“子集——全集”来表示分数，即借助分数的集合模型扩展对分数的认识。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看做“1”。
　　苏教版五年级下册，继续借助分数的集合模型理解分数的含义，并帮助学生建立分数的“线性模型”。在学习分数的“份数”定义之后，学习“除法与分数”，使学生把对分数的理解与除法联系起来。在六年级认识“比”之后，又从另一个视角认识分数。
　　也就是说，分数的意义是多层次的，认识分数的模型也是多层次的。分数存在着多个不同的定义，包括“份数定义”、“商的定义”、“比的定义”等。定义的多元性，也就意味着教学活动的复杂性、学生理解的长期性。即学生认识分数的过程是一个不断发展与深化的过程，理解分数的意义，不是一蹴而就的。这又正如国外的一位学者所指出的：“研究者一致认为，对分数的教和学的复杂性产生影响的主要因素之一就是分数包含了一个多方位的构成。”
　　在编写第一学段“认识分数”时，苏教版教材独创性地把认识分数分成两个单元，分散在两册教材中，这样，学生对分数的理解有一个循序渐进、逐步提高的过程。这是针对学生学习过程中的难点作出的积极应答，既使学生在初步认识分数时获得对分数较为完整的认识，又为学生在第二学段认识分数的意义教学作了良好的铺垫。可以说是匠心独运，体现了“以生为本、据学论教”的教育理念。因而，教师在组织学生认识分数的过程中，要了解学生，直面学生的认识难点，把握学生认识分数的长期性与阶段性的关系，促进学生不断完成关于分数的认知结构的重组。
　　二、对李静教学设计的两点印象
　　无疑，苏教版三年级下册“认识分数”是学生学习的难点。分析南京市北京东路小学李静老师《认识分数》一课的教学设计，在以下两个方面给我留下了深刻印象。
　　1.找准学生的学习起点，逐步推进学生的认识。
　　在学习本课以前，学生已初步认识过分数，他们已经知道把一个物体平均分成若干份，其中的一份就是它的几分之一。上课开始，出示，结合图形或物体平均分的过程，激活学生对分数的已有认识。
　　在此基础上，教师出示问题：将一盒水果平均分给4只小猴，每只小猴分得这盒水果的几分之几？学生借助以前建立的“分”的行动与分数之间的关系，很自然地想到用表示。此时，学生并没有觉得“把1个水果平均分”与“把1盒水果平均分”有什么异样。当教师揭明这盒水果是4个桃，并让学生分一分的时候，学生初步感受了这里将4个桃组成一个整体。从认识一个物体的几分之一到认识一些物体组成的一个整体的几分之一，是认识分数教学上的一次飞跃。如前所述的对二年级学生所做的关于“二分之一”的调查，同样发现，学生所积累的都是：二分之一，把一个图形或一个物体平均分。没有出现把一些物体组成的整体平均分，恰恰说明了建立“整体”观需要待时而动。在李静老师的教学设计中，教师巧妙地先是“一盒”后是“4个”的呈现方式，让学生自然而然地开始建构“整体”观念。
　　接着，由4个桃改成8个苹果，学生进一步感受了把8个苹果看做一个整体。针对学生出现的“”与“”两种想法，组织学生讨论，继而对几幅图都用表示进行比较与追问，在新旧知识经验冲突化解的过程中，学生关于的认知结构发生重建。
　　从4只小猴分水果，到2只小猴分水果，尽管水果的个数不一样，但每只小猴都分得，在比较的过程中，学生对把分的行为用分数来表示有了更清晰的认识。
　　整节课的设计，环环紧扣，学生顺势拾级而上，在思考、交流、讨论、比较、练习的过程中，丰富着对分数的认识。
　　2.“放大”学生不同的声音，聚焦学习中的“难点”。
　　对于三年级的学生来说，由于分的是一些具体物体组成的一个整体，他们比较关注表示的个数与总个数的关系，而忽略了表示的份数与平均分的份数的关系。当“一份”是“一个”的时候，这样的“问题”被掩盖了。当“一份”是“几个”的时候，学生中也就自然地出现了不同的声音。而这，也恰恰说明了把“几个”看做“1”，建立一个整体观，对于小学生来说，真的是不容易的。
　　回头看李静老师的教学设计。把8个苹果平均分成4份，每只小猴分得几分之几？学生出现不同的想法。教师直面学生现实，指出：听到了不一样的声音。并组织学生将不同的想法都表达出来。
　　不同的想法，反映了学生学习的难点，又提供了鲜活的课堂教学资源。教师在最需要花力气的地方舍得花时间，组织学生讨论，在思辨、交流的过程中，学生把分的过程与“分数”再一次建立联系，从感性地认识分的个数和总个数的关系，转变到理性地认识每份和平均分的份数的关系，他们对分数意义的理解逐步逼近“份数定义”。