培养学生解题能力 用三次函数培养学生的解题能力用三次函数培养学生的解题能力
由于新的课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想,因此统观近几年的文科高考数学试题和各地模拟试题中,对函数的考查并不仅仅在一些常用的函数上,出现了许多以三次函数为背景,成功地培养和考查了学生各方面能力。
(一)以三次函数为依托,培养学生分析运用函数性质的能力
1。考查函数的奇偶性和单调性
例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)为奇函数,且在R上为增函数,则( )。
A。p=0,q=0 B。p∈R,q=0
C。p≤0,q≠0D。p≥0,q=0
解析 f′(x)=3x2+p≥0恒成立,易知p≥0,故选D。
2。运用函数性质和数形结合思想解题
例2 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则( )。
A。b∈(-∞,0)
B。b∈(0,1)
C。b∈(1,2)
D。b∈(2,+∞)
解析 由条件f(0)=0=d,
由f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax。
又 当x>2时,f(x)>0a>0,∴b=-3a0恒成立,求实数m的取值范围。
解 f(-x)=-f(x),又f′(x)=3x2≥0恒成立,f(x)为奇函数,又在(-∞,+∞)上为增函数,而f(msinθ)+f(1-m)>0f(msinθ)>f(m-1),
∴msinθ>m-1(1-sinθ)m1恒成立。
故m∈(-∞,1]。
(三)以三次函数为核心,培养学生分析、解决问题的能力
例5 已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)?ex,t∈R依次在x=a,x=b,x=c(a0恒成立,依条件f′(x)=0有三个不等实根,实质是g(x)=x3-3x2-9x+t+3有三个不同零点,由三次函数特性知,g(x)极大值>0,g(x)极小值<0。
又 g′(x)=3x2-6x-9,令g′(x)=0,则有x=-1或x=3。
而g′(x)>0x3,g′(x)0
g(3)0,
t-24<0,
∴-8<T
(2)由条件g(x)=x3-3x2-9x+3+t=(x-a)(x-b)?(x-c)。
即x3-3x2-9x+3+t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc。
∴a+b+c=3,
ab+ac+bc=-9,
-abc=t+3,
a+c=2b,
∴t=8。