[“洛比达法则”在高考中的运用]洛必达法则
我们知道，lim x→0f(x)g(x)=limx→0f′(x)g′(x),在高考中孤立参变量后用它来求字母的范围，效果良好，即使仍用分类讨论来求字母范围，它也是寻求分界点的一个有力手段。现以几个高考题为例，说明它的使用方法。
例1 （2006年全国I）f(x)=(x+1)ln(x+1).若对于所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求a的范围。
解： 原答案是讨论a的范围来解答的。
当x=0时，f(0)=0,显然f(x)≥ax成立。
当x≠0时，依题意f(x)≥ax在(0，+
䥺SymboleB@ ）上恒成立，它等价于f(x)x=(x+1)ln(x+1)x≥a在(0，+
䥺SymboleB@ ）上恒成立。
令g(x)=(x+1)ln(x+1)x(x>0),则g′(x)=x－ln(x+1)x2。
再令h(x)=x-ln(x+1)(x>0)可得，h′(x)=xx+1>0。
故h(x)在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增，所以h(x)>h(0)=0,所以g′(x)>0。
于是g(x)=(x+1)ln(x+1)x在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增，因此g(x)>limx→0(x+1)ln(x+1)x。
而由洛比达法则知limx→0(x+1)ln(x+1)x=
limx→0［(x+1)ln(x+1)］′x′=limx→0［1+ln(x+1)］=1，∴a≤1。
例2 （2007全国I）设f(x)=ex－e－x。(1)证明：f(x)的导函数f′(x)≥2；(2)若对所有的x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围。
解： （1）略；（2）当x=0时，f(0)=0≥ax明显成立；
当x≠0时，依题意f(x)x=ex－e－xx≥a在(0，+
䥺SymboleB@ ）上恒成立。
令g(x)=ex－e－xx(x>0)，则g′(x)=x(ex+e－x)－(ex－e－x)x2（x>0）。
令h(x)= x(ex+e－x)－(ex－e－x)（x>0），则
h′(x)=x(ex－e－x)>0。
所以h(x)在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增，故h(x)>h(0)=0。所以g′(x)>0。
因此g(x) 在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增。
所以g(x)>limx→0ex－e－xx=limx→0(ex－e－x)′x′=
limx→0(ex+e－x)=2。
所以a
䥺SymbolcB@ 2。
例3 （2010年全国新课标文）f(x)=(ex－1)x－ax2。(1)若a=12,求f(x)的单调区间；（2）若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围。
解： （1）略；（2）当x=0时，f(0)=0≥0恒成立。
当x≠0时，依题意ex－1x≥a在(0，+
䥺SymboleB@ ）上恒成立。
令g(x)=ex－1x(x>0)，则g′(x)=ex?x－ex+1x2(x>0)。
令h(x)=x?ex－ex+1(x>0)，则h′(x)=x?ex>0。
所以h(x) 在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增,所以h(x)>h(0)=0。
所以g′(x)>0，故g(x) 在(0，+
䥺SymboleB@ ）上递增。
所以g(x)>limx→0g(x)=limx→0ex－1x=limx→0(ex－1)′x′=limx→0ex=1。
∴a≤1。
从以上三题可以看出，洛比达法则在求字母取值范围时，须先讨论x=0时，不等式恒成立；而当x≠0时，再把x除到左边字母上，孤立出a,重新构造函数，利用函数的单调性，来求出函数最小值的极限值，而极限值大于或等于a即可求出a的范围。它的步骤可表达为：
题目：f(x)≥ax在［0,+
䥺SymboleB@ )恒成立
解：依题意，当x=0时，显然成立；
当x≠0时，f(x)x≥a恒成立
令g(x)=f(x)x(x>0),利用导数判断g(x)递增，从而
g(x)>limx→0g(x)=limx→0f(x)x=limx→0f′(x)(x)′=limx→0f′(x)，
∴a≤limx→0f′(x)。
确定作用非常大。
（作者单位：河南省正阳县第二高级中学）